Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения первого порядка
Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Как решать дифференциальные уравнения первого порядка
Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
,
где .
Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.
Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.
Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
.
Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Делаем подстановку . Тогда
;
.
Далее разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>
Однородные уравнения
Решаем подстановкой:
,
где – функция от . Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>
Уравнения, приводящиеся к однородным
Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>
Обобщенные однородные уравнения
Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>
Линейные дифференциальные уравнения
Есть три метода решения линейных уравнений.
1) Метод интегрирующего множителя.
Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :
;
.
Далее интегрируем.
Подробнее >>>
2) Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Подробнее >>>
3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Подробнее >>>
Уравнения Бернулли
Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.
Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Уравнения Риккати
Оно не решается в общем виде. Подстановкой
уравнение Риккати приводится к виду:
,
где – постоянная; ; .
Далее, подстановкой:
оно приводится к виду:
,
где .
Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>
Уравнения Якоби
Уравнения в полных дифференциалах
При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.
Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Подробнее >>>
Интегрирующий множитель
Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция , при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Подробнее >>>
Уравнения, не решенные относительно производной y’
Уравнения, допускающие решение относительно производной y’
Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.
Уравнения, допускающие разложение на множители
Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;
;
Подробнее >>>
Уравнения, не содержащие x и y
Уравнения, не содержащие x или y
или
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .
Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
;
.
Подробнее >>>
Уравнения, разрешенные относительно y
Уравнения Клеро
Такое уравнение имеет общее решение
Подробнее >>>
Уравнения Лагранжа
Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.
Подробнее >>>
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли
Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Подробнее >>>
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-05-2016
Линейные уравнения первого порядка
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y’+y=b(x) .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Теорема. Пусть a1(x) , a0(x) , b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a1≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x0, y0), x0∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) = y0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y’+a0(x)y=0 .
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = e x , записывается в форме
Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде
Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем
где C1— некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.
Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).
Пример . Решить уравнение y’ + 2y = 4x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y’ + 2y = 0 . Решая его, получаем y = Ce -2 x . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e -2 x . Подставляя y и y’ = C'(x)e -2 x — 2C(x)e -2 x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe 2 x , откуда C(x) = 2xe 2 x — e 2 x + C1 и y(x) = (2xe 2 x — e 2 x + C1)e -2 x = 2x — 1 + C1e -2 x — общее решение исходного уравнения. В этом решении y1(x) = 2x-1 — движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y2(x) = C1e -2 x -собственное движение объекта.
Пример №2 . Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y’+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y’ = u’v + uv’.
3u v tg(3x)+u v’+u’ v = 2cos(3x)/sin 2 2x или u(3v tg(3x)+v’) + u’ v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v’) = 0
2. u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v’ = 0
Представим в виде: v’ = -3v tg(3x)
Интегирируя, получаем:
ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u’ = 2/sin 2 2x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/
http://math.semestr.ru/math/lec_diffur_5.php