Общее решение уравнения лапласа в сферических координатах

Боковая панель

Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!

Эту запись можно посмотреть в nbviewer.

Уравнение Лапласа в сферических координатах

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид

где $ r, \vartheta = 90^\circ — \varphi, \lambda $ — радиус, полярное расстояние (дополнение широты $\varphi$ до $90^\circ$), долгота соответственно.

Решить уравнение Лапласа это значит найти конкретный вид гармонической функции $f \left( r, \vartheta, \lambda \right)$, удовлетворяющей ему.

Прежде, чем переходить к решению, заметим важное и полезное свойство уравнения Лапласа: оно линейно. Это означает, что если есть два решения этого уравнения $f_1$ и $f_2$, то есть

$$ \Delta f_1 = 0,\qquad \Delta f_2 = 0, $$

то их линейная комбинация

$$ f = \alpha f_1 + \beta f_2 $$

тоже является решением $\Delta f = 0$.

Разделение переменных

Будем искать решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, суть которого в следующем. Представим искомую функцию $f$ трёх переменных $r, \vartheta, \lambda$ как произведение трёх других функций

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right), \end

каждая из которых теперь зависит только от одной переменной: $R$ есть функция только от $r$, $\Theta$ есть функция только от $\vartheta$, а $\Lambda$ есть функция только от $\lambda$. Стоит заметить, что не всякая система координат позволяет решить уравнение Лапласа методом разделения переменных, например этого нельзя сделать в геодезических координатах $H, B, L$.

Итак, делаем подстановку

Замечаем, что частные производные заменены на полные дифференциалы, поскольку функции $R, \Theta, \Lambda$ имеют только одну переменную. Разделим обе части уравнения на $R\Theta\Lambda$ и умножим на $r^2$:

Первый член уравнения зависит только от $r$, а вся оставшаяся часть зависит только от угловых величин $\vartheta, \lambda$. Для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\alpha$:

Первое уравнение будем называть радиальной частью уравнения Лапласа, поскольку она зависит только от $r$. Оставшуюся часть умножим на $\sin^<2><\left(\vartheta \right)>$ и запишем уравнение

которое является угловой частью уравнения Лапласа и называется дифференциальным уравнением сферических функций, поскольку, как увидим позже, именно они будут его решением.

И снова становится очевидным, что для сохранения равенства в полученном уравнении необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\beta$:

Таким образом, уравнение Лапласа, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, разбивается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

$$ \begin r^2 \frac R>> + 2 r \frac — \alpha R &= 0, \label \tag<1>\\ \frac<1> <\Theta>\frac \Theta>> + \frac<1>< \tan<\left(\vartheta \right)>> \frac— \alpha \Theta \sin^<2><\left(\vartheta \right)>— \dfrac<\beta \Theta><\sin<\vartheta>> &= 0, \label \tag <2>\\ \frac\Lambda>> + \beta \Lambda &= 0. \label \tag <3>\end $$ Нам требуется теперь решить каждое из уравнений в отдельности, а заодно и определить вид постоянных $\alpha$ и $\beta$.

Отметим, что угловая часть уравнения Лапласа $Y (\vartheta, \lambda) = \Theta (\vartheta) \Lambda (\lambda)$ зависит только от полярного расстояния $\vartheta$ и долготы $\lambda$, то есть явялется функцией, заданной на сфере, следовательно решение этой части должно быть периодическим: $\pi$ для широтной части и $2\pi$ для долготной части. Только при этих условиях функция $Y (\vartheta, \lambda)$ может быть однозначно заданной на сфере.

Уравнение гармонических колебаний

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

называется уравнением гармонических (или свободных) колебаний.

Оно имеет два линейно независимых решения при $\beta > 0$

что легко проверяется подстановкой.

Как уже было сказано выше, для того, чтобы функция $Y \left( \vartheta, \lambda \right)$ была однозначной на сфере, необходимо, чтобы функция $\Lambda$ имела период $2\pi$. Из последнего уравнения нетрудно установить, что такое возможно только при $\beta = m^2$, $m = 0, 1, 2, …$ Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний принимают вид

линейная комбинация которых

является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Присоединённое уравнение Лежандра

Перепишем второе уравнение, подставив в него значение $\beta = m^2$:

И подставляя всё это, получим уравнение без тригонометрических функций в явном виде:

$$ \left( 1 — t^2 \right) \dfrac— 2 t \dfrac

+ \left[ \alpha — \dfrac <1 — t^2>\right] P = 0. $$

Сначала установим некоторые свойства решения этого уравнения.

Во-первых, поскольку $t = \cos<\vartheta>$, то $-1 \leq t \leq +1$. Таким образом, областью определения $P (t)$ является интервал $[-1, 1]$.
Во-вторых, поскольку $0 \leq \vartheta \leq \pi$ и $-1 \leq t \leq +1$, то по теорема Вейерштрасса функция $P (t)$ является ограниченной и должна принимать некоторые конечные значения на этом интервале:

$$ \left|P (-1)\right| Сферические функции

Пользуясь полученными нами решениями уравнения гармонических колебаний и присоединённого уравнения Лежандра, мы можем записать теперь решение дифференциального уравнения для сферических функций (или угловой части уравнения Лапласа) в виде:

$$ Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos<\vartheta>) \cos ,\qquad Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos<\vartheta>) \sin ,\qquad $$

Функции такого вида называют элементарными сферическими функциями степени $n$ и порядка $m$. Видно, что степень и порядок элементарной сферической функции определяется степенью и порядком присоединённой функции Лежандра.

Поскольку дифференциальное уравнение для сферических функций является линейным, то и линейная комбинация его решений также будет решением. Эту комбинацию можно записать как

где $A_n^m$ и $B_n^m$ являются произвольными константами, которые ещё называют гармоническими коэффициентами или просто гармониками. Мы получили общее выражение для сферической функции степени $n$.

Уравнение Коши-Эйлера

Наконец, найдём решение радиальной части уравнения Лапласа. Запишем её снова:

\begin r^2 \frac + 2 r\frac — \alpha R = 0. \end

Это уравнение Коши—Эйлера — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Будем искать решение в виде степенной функции $R = r^n$, тогда

Подставляем в дифференциальное уравнение и после тривиальных преобразований, получаем

\begin n(n — 1) r^n + 2nr^n — \alpha r^n = 0. \end

Сокращаем на $r^n$, получаем характеристическое уравнение

\begin n^2 + n — \alpha = 0, \end

два корня которого легко находим из решения квадратного уравнения

откуда, возвращаясь к нашей подстановке $R = r^n$, получаем два линейно независимых решения

Теперь, пользуясь значением для $\alpha = n (n + 1)$, которое мы установили выше при рассмотрении присоединённого уравнения Лежандра, находим решения

линейная комбинация которых

по свойству линейных ОДУ второго порядка, является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1, C_2$ — произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили решение радиальной (зависимой только от $r$) части уравнения Лапласа.

Шаровые функции

Итак, мы решили все обыкновенные дифференциальные уравнения, возникшие после разделения переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Осталось найти окончательный вид решения. Напоминаю, что искали мы его в виде

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right) = R(r) \cdot Y \left( \vartheta, \lambda \right). \end

Подставляем сюда выражения \eqref для $R$ и получаем два решения вида

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = r^ Y (\vartheta, \lambda),\quad f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = r^ <-n-1>Y (\vartheta, \lambda), \end

которые называются шаровыми функциями (solid spherical harmonics), а функции $Y (\vartheta, \lambda)$ — сферическими (spherical harmonics). Таким образом, последние два выражения устанавливают связь шаровых и сферических функций.

Используя общее выражение для сферической функции степени $n$ \eqref, шаровые функции можно записать так

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= r^ \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>),\\ f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \dfrac<1>> \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>). \end

Вспоминая свойство линейности, о котором мы упоминали в самом начале, можно записать общее решение уравнения Лапласа, как линейную комбинацию частных решений в виде ряда по степеням $n$:

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \sum\limits_^ <\infty>r^ \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>),\\ f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \sum\limits_^ <\infty>\dfrac<1>> \sum\limits_^n (A_n^m \cos + B_n^m \sin) P_n^m (\cos<\vartheta>). \end

Эти выражения называются рядами шаровых функций, а при $r = 1$ они обратятся в ряды сферических функций или ряды Лапласа.

Ряды шаровых функций и являются решением уравнения Лапласа в сферических координатах.

Для геодезии, изучающей внешнее гравитационное поле, куда более важными являются шаровые функции вида $f = r^ <-n-1>Y_n (\vartheta, \lambda)$, через которые может быть выражен потенциал притяжения вне притягивающих масс, поскольку $r$ здесь, как и у потенциала притяжения стоит в знаменателе. Вообще говоря, любая гармоническая вне сферы функция $f_e$ ($e$, external) может быть разложена в ряд

$$ f_e = \sum\limits_^ <\infty>r^ <-n-1>Y_n (\vartheta, \lambda) $$,

а любая гармоническая внутри сферы функция $f_i$ ($i$, internal) может быть разложена в ряд

$$ f_i = \sum\limits_^ <\infty>r^n Y_n (\vartheta, \lambda).$$

источники: