Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Оглавление
. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
. Бесселевы функции первого рода
. Общее решение уравнения Бесселя
. Функции Бесселя полуцелого порядка
. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
Список использованной литературы
Введение
Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.
Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
х2 у» + ху’ + (х2 — ν2)у = 0
где ν — произвольное вещественное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя ν и (-ν) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ν). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
1.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
, , ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на )
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
; ;
; ;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
, ;
, .
Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
, (3)
, ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , — любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию — буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Боковая панель
Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!
Эту запись можно посмотреть в nbviewer.
Уравнение Лапласа в сферических координатах
Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид
где $ r, \vartheta = 90^\circ — \varphi, \lambda $ — радиус, полярное расстояние (дополнение широты $\varphi$ до $90^\circ$), долгота соответственно.
Решить уравнение Лапласа это значит найти конкретный вид гармонической функции $f \left( r, \vartheta, \lambda \right)$, удовлетворяющей ему.
Прежде, чем переходить к решению, заметим важное и полезное свойство уравнения Лапласа: оно линейно. Это означает, что если есть два решения этого уравнения $f_1$ и $f_2$, то есть
$$ \Delta f_1 = 0,\qquad \Delta f_2 = 0, $$
то их линейная комбинация
$$ f = \alpha f_1 + \beta f_2 $$
тоже является решением $\Delta f = 0$.
Разделение переменных
Будем искать решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, суть которого в следующем. Представим искомую функцию $f$ трёх переменных $r, \vartheta, \lambda$ как произведение трёх других функций
\begin
каждая из которых теперь зависит только от одной переменной: $R$ есть функция только от $r$, $\Theta$ есть функция только от $\vartheta$, а $\Lambda$ есть функция только от $\lambda$. Стоит заметить, что не всякая система координат позволяет решить уравнение Лапласа методом разделения переменных, например этого нельзя сделать в геодезических координатах $H, B, L$.
Итак, делаем подстановку
Замечаем, что частные производные заменены на полные дифференциалы, поскольку функции $R, \Theta, \Lambda$ имеют только одну переменную. Разделим обе части уравнения на $R\Theta\Lambda$ и умножим на $r^2$:
Первый член уравнения зависит только от $r$, а вся оставшаяся часть зависит только от угловых величин $\vartheta, \lambda$. Для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\alpha$:
Первое уравнение будем называть радиальной частью уравнения Лапласа, поскольку она зависит только от $r$. Оставшуюся часть умножим на $\sin^<2><\left(\vartheta \right)>$ и запишем уравнение
которое является угловой частью уравнения Лапласа и называется дифференциальным уравнением сферических функций, поскольку, как увидим позже, именно они будут его решением.
И снова становится очевидным, что для сохранения равенства в полученном уравнении необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\beta$:
Таким образом, уравнение Лапласа, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, разбивается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:
$$ \begin
Отметим, что угловая часть уравнения Лапласа $Y (\vartheta, \lambda) = \Theta (\vartheta) \Lambda (\lambda)$ зависит только от полярного расстояния $\vartheta$ и долготы $\lambda$, то есть явялется функцией, заданной на сфере, следовательно решение этой части должно быть периодическим: $\pi$ для широтной части и $2\pi$ для долготной части. Только при этих условиях функция $Y (\vartheta, \lambda)$ может быть однозначно заданной на сфере.
Уравнение гармонических колебаний
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида
называется уравнением гармонических (или свободных) колебаний.
Оно имеет два линейно независимых решения при $\beta > 0$
что легко проверяется подстановкой.
Как уже было сказано выше, для того, чтобы функция $Y \left( \vartheta, \lambda \right)$ была однозначной на сфере, необходимо, чтобы функция $\Lambda$ имела период $2\pi$. Из последнего уравнения нетрудно установить, что такое возможно только при $\beta = m^2$, $m = 0, 1, 2, …$ Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний принимают вид
линейная комбинация которых
является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.
Присоединённое уравнение Лежандра
Перепишем второе уравнение, подставив в него значение $\beta = m^2$:
И подставляя всё это, получим уравнение без тригонометрических функций в явном виде:
$$ \left( 1 — t^2 \right) \dfrac
Сначала установим некоторые свойства решения этого уравнения.
- Во-первых, поскольку $t = \cos<\vartheta>$, то $-1 \leq t \leq +1$. Таким образом, областью определения $P (t)$ является интервал $[-1, 1]$.
- Во-вторых, поскольку $0 \leq \vartheta \leq \pi$ и $-1 \leq t \leq +1$, то по теорема Вейерштрасса функция $P (t)$ является ограниченной и должна принимать некоторые конечные значения на этом интервале:
$$ \left|P (-1)\right| Сферические функции
Пользуясь полученными нами решениями уравнения гармонических колебаний и присоединённого уравнения Лежандра, мы можем записать теперь решение дифференциального уравнения для сферических функций (или угловой части уравнения Лапласа) в виде:
$$ Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos<\vartheta>) \cos
Функции такого вида называют элементарными сферическими функциями степени $n$ и порядка $m$. Видно, что степень и порядок элементарной сферической функции определяется степенью и порядком присоединённой функции Лежандра.
Поскольку дифференциальное уравнение для сферических функций является линейным, то и линейная комбинация его решений также будет решением. Эту комбинацию можно записать как
где $A_n^m$ и $B_n^m$ являются произвольными константами, которые ещё называют гармоническими коэффициентами или просто гармониками. Мы получили общее выражение для сферической функции степени $n$.
Уравнение Коши-Эйлера
Наконец, найдём решение радиальной части уравнения Лапласа. Запишем её снова:
\begin
Это уравнение Коши—Эйлера — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Будем искать решение в виде степенной функции $R = r^n$, тогда
Подставляем в дифференциальное уравнение и после тривиальных преобразований, получаем
\begin
Сокращаем на $r^n$, получаем характеристическое уравнение
\begin
два корня которого легко находим из решения квадратного уравнения
откуда, возвращаясь к нашей подстановке $R = r^n$, получаем два линейно независимых решения
Теперь, пользуясь значением для $\alpha = n (n + 1)$, которое мы установили выше при рассмотрении присоединённого уравнения Лежандра, находим решения
линейная комбинация которых
по свойству линейных ОДУ второго порядка, является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1, C_2$ — произвольные постоянные.
Таким образом, мы получили решение радиальной (зависимой только от $r$) части уравнения Лапласа.
Шаровые функции
Итак, мы решили все обыкновенные дифференциальные уравнения, возникшие после разделения переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Осталось найти окончательный вид решения. Напоминаю, что искали мы его в виде
\begin
Подставляем сюда выражения \eqref
\begin
которые называются шаровыми функциями (solid spherical harmonics), а функции $Y (\vartheta, \lambda)$ — сферическими (spherical harmonics). Таким образом, последние два выражения устанавливают связь шаровых и сферических функций.
Используя общее выражение для сферической функции степени $n$ \eqref
\begin
Вспоминая свойство линейности, о котором мы упоминали в самом начале, можно записать общее решение уравнения Лапласа, как линейную комбинацию частных решений в виде ряда по степеням $n$:
\begin
Эти выражения называются рядами шаровых функций, а при $r = 1$ они обратятся в ряды сферических функций или ряды Лапласа.
Ряды шаровых функций и являются решением уравнения Лапласа в сферических координатах.
Для геодезии, изучающей внешнее гравитационное поле, куда более важными являются шаровые функции вида $f = r^ <-n-1>Y_n (\vartheta, \lambda)$, через которые может быть выражен потенциал притяжения вне притягивающих масс, поскольку $r$ здесь, как и у потенциала притяжения стоит в знаменателе. Вообще говоря, любая гармоническая вне сферы функция $f_e$ ($e$, external) может быть разложена в ряд
$$ f_e = \sum\limits_
а любая гармоническая внутри сферы функция $f_i$ ($i$, internal) может быть разложена в ряд
$$ f_i = \sum\limits_
http://thegeodesy.com/solving-laplace-equation/