Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных
Немного теории
Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.
ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).
В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.
ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).
Приведение к каноническому виду
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение
Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.
Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:
Решение ДУ в ЧП
Задача 4. Решить уравнение Пфаффа
$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$
Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных
$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$
Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных
Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.
$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$
Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных
$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$
Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных
Разные задачи на исследование ДУ в ЧП
Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию
Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.
Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что
Помощь с решением ДУ в ЧП
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка
Федеральное агентство по образованию
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, экономики и информатики
Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………
1.1. Необходимый теоретический материал………………………..
1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к
каноническому виду уравнений гиперболического типа) .
1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к
каноническому виду уравнений параболического типа)
1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к
каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..
1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….
Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2.1. Необходимый теоретический материал …………………..
2.2. Пример выполнения задачи 4
2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..
В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.
Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.
§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
Задача. Определить тип уравнения
(1)
и привести его к каноническому виду.
1.1. Необходимый теоретический материал.
I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения 
:
· если 
в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;
· если 
в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;
· если 
в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.
Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.
Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение 
является уравнением эллиптического типа в точках 
; параболического типа в точках 
; и гиперболического типа в точках 
.
II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:
1. Определить коэффициенты 
;
2. Вычислить выражение ;
3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );
4. Записать уравнение характеристик:
; (2)
5. Решить уравнение (2). Для этого:
а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:
; (3)
б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):
· 
(4)
в случае уравнения гиперболического типа;
· 
, (5)
в случае уравнения параболического типа;
· 
, (6)
в случае уравнения эллиптического типа.
6. Ввести новые (характеристические) переменные 
и 
:
· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.
· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. 
, в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию 
, не выражающуюся через 
, т. е. 
;
· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):
7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:
,
,
, (7)
,
.
8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:
· в случае уравнения гиперболического типа:
;
· в случае уравнения параболического типа:
;
· в случае уравнения эллиптического типа:
.
1.2. Пример выполнения задачи 1.
Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты :
2. Вычислим выражение :
.
3. 
уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (9)
5. Решим уравнение (9). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: 
;
;
(10)
б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):
6. Введём характеристические переменные:
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Или после деления на -100 (коэффициент при 
):
Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где 
1.3. Пример выполнения задачи 2.
Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:
2. Вычислим выражение :
.
3. 
уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (12)
5. Решим уравнение (12). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:
;
(13)
б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):
6. Введём характеристические переменные: одну из переменных 
вводим как и ранее
а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть
;
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.
После деления на 25 (коэффициент при 
):
Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где 
1.4. Пример выполнения задачи 3.
Определить тип уравнения
(14)
и привести его к каноническому виду.
1. Определим коэффициенты :
2. Вычислим выражение :
.
3. 
уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
. (15)
5. Решим уравнение (15). Для этого:
а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: 
; (16)
б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)
(17)
6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
Или после деления на 4 (коэффициент при 
и 
):
Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид
где 
1.5. Задачи для самостоятельного решения.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
§2. Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2. 1. Необходимый теоретический материал
В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид
(1)
Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов
· в случае уравнения гиперболического типа:
; (11)
· в случае уравнения параболического типа:
; (12)
· в случае уравнения эллиптического типа:
. (13)
Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции
, (14)
где 
- новая неизвестная функция, 
- параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид
;
;
.
Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам
(15)
Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим
. (16)
В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при 
и 
Откуда 
Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на 
, придем к уравнению
,
где 
.
2.2. Пример выполнения задачи 4
к каноническому виду и упростить группу младших производных.
9. Определим коэффициенты :
10. Вычислим выражение :
.
11. 
уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.
12. Запишем уравнение характеристик:
. (18)
5. Решим уравнение (18). Для этого:
а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: 
;
; (19)
б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):
6. Введём характеристические переменные:
13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Используя формулы (7), получим:
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.
14. Собирая подобные слагаемые, получим:
(20)
Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)
упростим группу младших производных.
Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим
. (21)
В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и
Откуда 
Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению
.
Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид
,
где 
.
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 - 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 - 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x - 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x - 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
http://pandia.ru/text/80/113/36843.php
http://math.semestr.ru/line/curve.php