Общее уравнение для rlc контура

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: . Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(**)

Физическая величина называется коэффициентом затухания . Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель , описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в , называется временем затухания .

В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности колебательной системы:

где – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для -контура добротность выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями и . Но при этим различием можно пренебречь.

RLC-контур. Свободные колебания

R L C -контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный R L C -контур, изображенный на рис. 2 . 2 . 1 .

Рисунок 2 . 2 . 1 . Последовательный R L C -контур.

Находясь в положении 1 , ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ . Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R . При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой R L C -цепи закон Ома представляет из себя выражение:

J R + U = — L d J d t .

В данной формуле U = q C – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J = d q d t – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q ( t ) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в R L C -контуре уравнение может быть приведено к виду:

q · · + R L q · + 1 L C q = 0 .

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

q · · + ω 0 2 q = 0 .

Примем обозначение ω 0 2 = 1 L C . Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в L C — контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2 . 2 . 2 . На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x ( t ) груза и q ( t ) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J ( t ) и скорости груза υ ( t ) за период T = 2 π ω 0 колебаний.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Свободные колебания

Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

Такие колебания происходят по закону:

q ( t ) = q 0 cos ( ω t + φ 0 ) .

Параметры L и C колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

«Начальными условиями», определяющими амплитуду q 0 и начальную фазу φ 0 , называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

Например, для процесса колебаний, который начнется в контуре, изображенном на рисунке 2 . 2 . 1 , после перевода ключа K в второе положение, q 0 = C δ , φ 0 = 0 .

Процесс свободных колебаниях провоцирует повторяющееся превращение запасенной в конденсаторе электрической энергии W э в магнитную энергию катушки W м и наоборот. В ситуации, когда потери энергии равны нулю, полная электромагнитная энергия системы не претерпевает изменений:

W = W э + W м = q 2 2 C + L J 2 2 = c o n s t

Однако любой реально существующий контур, в отличие от идеального, включает в себя некоторое сопротивление R . По этой причине, процесс свободных колебаний в подобном контуре не подчиняется гармоническому закону. Запасенная в контуре энергия с каждым периодом колебаний теряется, превращаясь в джоулево тепло, из-за чего колебания становятся затухающими (рис. 2 . 2 . 3 ).

Рисунок 2 . 2 . 3 . Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: F т р = – β υ .

В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β . Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

q · · + 2 δ q · + ω 0 2 q = 0

Коэффициентом затухания называется физическая величина δ = R 2 L .

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) ,

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель e x p ( – δ t ) . Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.

Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2 , 7 раза, называется временем затухания.

Понятие добротности Q колебательной системы:

где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ .

Любая добротность Q , относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение:

Q = 2 π З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д

Добротность Q , принадлежащая R L C -контуру, выражают формулой:

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω 0 идеального контура с такими же значениями L и C . Однако при Q ≥ ( 5 ÷ 10 ) данным различием можно пренебречь.

Рисунок 2 . 2 . 4 . Модель свободных колебаний в R L C -контуре.

Переходные процессы в колебательных контурах

Содержание:

Переходные процессы в колебательных контурах:

В современных системах телекоммуникации, построенных на принципах цифровой обработки сигналов, сообщения представляются в виде последовательностей одно- или двухполярных импульсов напряжения или тока. Формы импульсов могут быть различными. Здесь рассматриваются только прямоугольные импульсы.

Одиночный прямоугольный импульс с фиксированными длительностью

Импульсы в последовательности могут иметь как строго определённую длительность, так и переменную, обычно кратную длительности одного видеоимпульса

Однако в канал связи собственно импульсы, за редким исключением, не передаются. Они заменяются отрезками гармонического колебания (рис. 19.1, в) длительностью период гармонического колебания Т на отрезке всегда

существенно меньше наименьшей длительности импульса такие импульсы называют радиоимпульсами, а отрезок гармонического колебания часто называют высокочастотным заполнением.

Свободные колебания в RC-цепи при воздействии видеоимпульса

Задача 19.1.

Определить закон изменения напряжения на ёмкости в RС-цепи при воздействии видеоимпульса (рис. 19.2) при нулевых начальных условиях.

Решение. Реакцию на видеоимпульс можно определить, воспользовавшись принципом суперпозиции, а именно: представить видеоимпульс

как сумму двух ступенчатых воздействий одинаковых амплитуд одно из которых задержано на (рис. 19.2, а—в):

Тогда в силу линейности цепи реакция на сумму воздействий будет равна сумме реакций на каждое из воздействий
(рис. 19.2, г—е):

где согласно (18.3) имеем:

а реакция запишется как сумма полученных колебаний:

(19.1)

Полученные выражения и рисунок показывают, что за время переходного процесса, ограниченное длительностью видеоимпульса , ёмкость может не успеть зарядиться до значения Е , а по окончании воздействия видеоимпульса происходит процесс разряда ёмкости. При этом чем больше постоянная времени тем длительнее оказываются переходные процессы заряда и разряда ёмкости, т. е. тем медленнее заряжается ёмкость и тем меньшим оказывается напряжение заряда к моменту окончания воздействия видеоимпульса.

Посмотрим, к чему может привести такое явление при передаче по системе связи не одного, а последовательности импульсов
(рис. 19.3, а), что имеет место в действительности. Если очередной импульс будет передаваться прежде, чем завершится разряд ёмкости1, произойдёт перекрытие, или наложение двух переходных процессов. В результате разряд ёмкости прекратится, и её заряд начнётся не с нуля, а с некоторого напряжения, достигнутого на ёмкости к этому моменту (рис. 19.3, б), т. е. последует частичное перекрытие соседних импульсов во времени, которое приведёт к искажению передаваемых и принимаемых импульсов. Причём от импульса к импульсу искажения будут нарастать.

Искажения такого рода называются межсимвольной интерференцией. Рассмотренное перекрытие соседних импульсов является наиболее простым примером межсимвольной интерференции. Борьба с межсимвольной интерференцией является весьма сложной и актуальной задачей.

Разряд считается завершённым, если напряжение на ёмкости не превышает 0,01 амплитуды Е.

Наиболее остро эта задача стоит перед разработчиками средств современной беспроводной связи, которые весьма широко используются в офисных и домашних сетях передачи информации, в интерфейсах «ноутбук — настольный компьютер», для обеспечения беспроводного доступа в Интернет, для организации сотовой связи. Скорость передачи данных в таких сетях исчисляется в десятках и сотнях гигагерц и имеет тенденцию к дальнейшему её росту.

Для передачи последовательности импульсов с такими скоростями без искажений требуется ряд условий, которые предъявляются к конкретным системам связи и которые изучаются в других дисциплинах.

Добиться исключения межсимвольной интерференции на этапе формирования первичных импульсов и ускорить процесс разряда ёмкости можно, если потребовать, чтобы постоянная времени была не больше длительности видеоимпульса (рис. 19.3, в):

(19.2)

Свободные колебания в параллельном контуре без потерь

Параллельные и последовательные колебательные контуры являются основой избирательных фильтров, амплитудных и фазовых корректоров и входят в состав полосовых усилителей. Свойства перечисленных устройств зависят от свойств колебательных контуров, которые изучим при различных воздействиях.

Задача 19.2.

Пусть до момента t = 0 размыкания ключа цепь находилась в режиме постоянного тока: через индуктивность протекал постоянный ток а напряжение на ёмкости равнялось нулю. Следовательно, в момент коммутации начальные условия не являются нулевыми и описываются равенствами:

Найти законы изменения тока в контуре и напряжения на контуре

Решение. Для исследования процессов, происходящих в контуре после коммутации, воспользуемся операторным методом и запишем изображение напряжения на контуре:

(19.3)

Умножая числитель и знаменатель (19.3) на получаем табличную функцию

которой соответствует оригинал (см. табл. 16.1, строка № 10):

(19.4)

Для определения закона изменения тока в контуре воспользуемся законом Ома в операторной форме

которой соответствует оригинал (см. табл. 16.1 строка № 11):

(19.5)

Графики временной зависимости напряжения и тока в контуре без потерь представлены на рис. 19.5.

Заметим, что выражение (19.3) является изображением решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, которое описывает процесс свободных колебаний в контуре:

Его характеристическое уравнение

совпадает с характеристическим уравнением выражения (19.3) и имеет пару комплексно сопряжённых мнимых корней

располагающихся на мнимой оси р-плоскости симметрично относительно начала координат (рис. 19.6).

Анализ полученных решений приводит к следующим выводам:

1. свободные колебания тока в контуре без потерь и напряжения на его элементах являются отрезками незатухающих гармонических колебаний;
2. круговая частота колебаний .называемая частотой колебаний контура, определяется только параметрами контура L и С и не зависит от начальных условий;
3. начальные условия определяют амплитуды колебаний тока и напряжения
4. отношение амплитуд колебаний напряжения и тока в контуре равно его волновому, или характеристическому сопротивлению и не зависит от начальных условий;
5. начальные фазы колебаний тока и напряжения различны и в общем случае зависят от начальных условий.

Свободные колебания в последовательном RLC-контуре

Незатухающий характер колебаний в рассмотренном идеальном LC-контуре объясняется отсутствием потерь (т. е. активной проводимости G); в этом случае свободные колебания представляют собой периодический процесс перехода энергии из одного вида в другой: из магнитной в электрическую и обратно. Любой реальный контур содержит не идеальные конденсаторы и катушки индуктивности, что приводит к потерям энергии за счёт её рассеяния (см.разд. 3.3). Наличием потерь обусловлен затухающий характер свободных колебаний, что показывается ниже на примере последовательного колебательного RLС-контура, т. е. контура с потерями, что отражается введением резистивного элемента.

Задача 19.3.

Пусть в момент коммутации t(0) к последовательной RL-цепи (рис. 19.7, а) подключена заряженная ёмкость Найти закон изменения тока i(t) в последовательном колебательном RLС-контуре.

Решение. До коммутации напряжение на ёмкости было равно Е, а ток в индуктивности равнялся нулю. По закону коммутации в образовавшемся RLC-контуре имеем:

Воспользуемся операторной схемой замещения анализируемого контура, для чего, как и в задаче 18.1, представим операторную схему замещения заряженной ёмкости в виде последовательно соединённых источника напряжения и незаряженной емкости С.

Согласно закону Ома в операторной форме (рис. 19.7, б) изображение реакции (тока) имеет вид:

(19.6)
где:

коэффициент затухания контура;

круговая частота собственных колебаний контура без потерь.

Для оценки характера свободных колебаний обратимся к характеристическому уравнению рассматриваемой цепи, которое получается приравниванием знаменателя (19.6) нулю:

(19.7)

и изучим корни этого уравнения

(19.8)

которые являются полюсами функции (19.6).

Поскольку коэффициенты характеристического уравнения вещественны (вследствие вещественности значений параметров R, L и С), его корни (полюсы функции (19.6)) согласно основной теореме алгебры могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряжённую пару.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Корни (полюсы) комплексно-сопряжённые:

(19.9)

Расположение таких корней на р-плоскости показано на рис. 19.8, а. Такие корни могут быть лишь при условии выполнения неравенства

или, что то же самое, при

Исходя из таблицы соответствий (см. табл. 16.1, строка № 12)

согласно (19.6) получаем формулу для тока в контуре:

(19.10)

Из последнего выражения видно, что амплитуда колебаний является функцией времени и убывает по экспоненциальному
закону Такой режим свободных колебаний называется режимом затухающих гармонических колебаний (рис. 19.9, а). Скорость убывания амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания 5, характеризующего потери в контуре.

(19.11)

называется частотой собственных затухающих колебаний контура. Она меньше частоты собственных незатухающих колебаний и зависит от значений всех элементов контура, а не только от значений реактивных элементов.

Период затухающих колебаний равен

(19.12)

Назовём добротностью контура отношение сопротивления элемента индуктивности к сопротивлению резистивного элемента

тогда коэффициент затухания примет вид:

откуда следует, что колебания в контуре убывают тем медленнее, чем выше добротность контура.

Поскольку частота собственных затухающих колебаний контура (19.9), выраженная через добротность, записывается в виде:

то колебательному режиму в контуре соответствуют значения добротности причём чем больше добротность, тем ближе друг к другу частоты а при имеет место

Как говорилось ранее (см. задачу 19.1), процесс свободных колебаний считается оконченным, если амплитуда колебаний становится равной от первоначального значения. Следовательно, длительность свободных колебаний в контуре согласно (19.10) может быть принятой в пределах:

2. Корни характеристического уравнения вещественные кратные.

Если два корня (полюса) равны друг другу то такие корни называются кратными. В данном случае кратные вещественные корни (полюсы) являются отрицательными и равны

Расположение кратных вещественных корней на р-плоскости показано на рис. 19.8, б. Такие корни согласно (19.8) возможны только при равенстве

т.е. когда

Это — предельный случай колебательного режима, когда частота собственных затухающих колебаний равна нулю:

чему соответствует бесконечно большой период колебаний Ток в этом случае имеет вид

Такой режим свободных колебаний (рис. 19.9, б) называют критическим.

3. Корни вещественные и различные.

Вещественные различные корни можно представить выражением

при условии вещественности

т. е. при В свою очередь, это означает, что корни являются отрицательными. Расположение корней и показано на
рис. 19.8, в. Следовательно, первичные параметры контура должны удовлетворять неравенству:

Найдём ток в контуре, для чего преобразуем выражение (19.6)

Представим дробь в виде суммы простых дробей

и определим неизвестные коэффициенты разложения и

Для равенства левой и правой дробей необходимо, чтобы их числители были равными, поэтому записываем систему уравнений:

из которой нетрудно получить значения искомых коэффициентов:

Подставим найденные коэффициенты разложения в формулу операторного тока:

Для получения формулы протекающего в контуре токавоспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей соответствий (см. табл. 16.1, строка № 7):

откуда следует, что ток в цепи представляет собой алгебраическую сумму двух экспоненциальных функций, абсолютные значения которых убывают во времени, поскольку корни отрицательны:

Этот режим (рис. 19.9, в) называется апериодическим.

Колебания в последовательном RLC-контуре при воздействии в виде отрезка гармонического колебания

Задача 19.4.

Пусть при нулевых начальных условиях на последовательный RLC-контур, имеющий резонансную частоту действует отрезок гармонического колебания с той же частотой

Найти закон изменения тока в контуре.

Решение. Запишем ток в операторной форме согласно закону Ома:

и подставим сюда изображение воздействия

и операторное сопротивление контура

— коэффициент затухания контура,

— резонансная частота.

В результате получаем сложную функцию

(9.13)

не имеющую табличного соответствия. Для определения оригинала представим (19.13) в виде суммы простых дробей:

(19.14)

Коэффициенты А, В, С, D определим методом неопределённых коэффициентов, как это было сделано в разд. 19.3.3, для чего приведём дроби (19.14) к общему знаменателю и приравняем числители новой дроби числителю (19.13). После этих несложных преобразований получаем равенство

которое, как нетрудно видеть, справедливо при следующих соотношениях между коэффициентами:

Решение этой системы линейных уравнений даёт:

Подставляя коэффициенты в (19.14), имеем:

Оригиналы для дробей, стоящих в скобках, известны (см. табл. 16.1), и можно сразу записать выражение для тока:

(19.15)

— частота собственных затухающих колебаний контура с потерями.

Выражение для тока (19.15) существенно упрощается, если учесть, что на практике применяются контуры высокой добротности для которых

При этих условиях выражение для тока принимает вид:

(19.16)

Функция (19.16) описывает колебание (рис. 19.10), которое отличается от гармонического воздействия тем, что его амплитуда возрастает по экспоненциальному закону, стремясь к значению

которое принято называть установившимся.

Из (19.16) следует, что нарастание амплитуды тока происходит тем быстрее, чем больше коэффициент затухания контура 5. Напомним, что процесс установления колебаний в контуре происходит за время

Найдём связь между длительностью переходного процесса и шириной полосы пропускания контура, для чего подставим в формулу для значение

откуда полагают, что

(19.17)

Выводы:

• чем выше добротность контура, т. е. чем уже его полоса пропускания, тем больше длительность переходного процесса, а это, в свою очередь, приводит к большим искажениям формы передаваемого сигнала;
• произведение полосы пропускания контура на длительность переходного процесса в контуре согласно (19.17) приближённо равно единице ; это справедливо и для более сложных избирательных цепей.

Прохождение радиоимпульса через колебательный контур

Пусть на контур воздействует радиоимпульс длительности и частотой, равной резонансной частоте контура (рис. 19.11, а):

Реакцию контура на радиоимпульс можно найти на основании принципа суперпозиции с учётом полученного в разд. 19.4
решения (19.16).

В зависимости от полосы пропускания контура, т. е. от величины коэффициента затухания контура , возможны три типичных случая (рис. 19.11):

1. Длительность радиоимпульса меньше времени установления колебаний: т.е. полоса пропускания контура достаточно узкая (рис. 19.11,6); импульс значительно искажается, поскольку к моменту окончания воздействия колебания в контуре не являются установившимися.
2. Длительность радиоимпульса равна времени установления колебаний — полоса пропускания контура оптимальная (рис. 19.11, в) выполняется соотношение (19.17). В этом случае колебания в контуре могут считаться установившимися к моменту окончания воздействия. Такое же время потребуется на затухание колебаний в контуре до величины, равной от установившегося значения. Следовательно, через время с момента начала воздействия контур будет готов к приёму очередного радиоимпульса.
3. Длительность радиоимпульса больше времени установления колебаний: в этом случае установление колебаний и затухание происходят быстрее (рис. 19.11, г), поэтому очередной радиоимпульс может быть подан на колебательный контур через время

• Расчет переходных процессов
• Классический метод расчета переходных процессов
• Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки
• Операторный метод расчета переходных процессов
• Переходные процессы
• Переходные процессы в линейных цепях
• Переходные процессы в нелинейных цепях
• Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.