Общее уравнение движения сплошной среды

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Уравнения движения сплошной среды

В напряжениях

Перейдем теперь к выводу одного из основных уравнений механики сплошной среды — уравнения движения. Это уравнение представляет собой выражение 2-го закона Ньютона, применительно к сплошной среде. Согласно ему, сумма всех внешних сил, включая сил инерции, действующих на произвольно выделенный объем сплошной среды, равна нулю (или сумма внешних сил равна массе этого объема умноженной на ускорение его центра масс).

Рассмотрим произвольный объем сплошной среды, который для удобства возьмем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами , и и гранями, перпендикулярными координатным осям (рис. 1.11).

Силы, действующие на среду в выделенном объеме, можно разделить на три группы:

а) внешние массовые силы:

;

,

в) поверхностные силы:

Рис. 1.11. К выводу уравнений движения сплошной среды

Отметим, что точка представляет собой центр параллелепипеда; грани, перпендикулярные оси ОХ имеют уравнения и , соответственно, грани, перпендикулярные оси OY: , и грани, перпендикулярные оси OZ: Векторы напряжений берутся при соответствующих им аргументах.

Используя формулу конечных приращений, записанную, например, для вектора :

,

где точки обозначают бесконечно малые второго порядка по , сумму поверхностных сил можно представить в следующем виде:

На основании 2-го закона Ньютона получаем уравнение

или после сокращения на — уравнение:

. (1.29)

Это есть искомое уравнение движения, записанное в векторном виде.

Если использовать формулы (1.25), то векторное уравнение движения можно переписать в виде трех скалярных уравнений:

(1.30)

Уравнения (1.30) называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях. Они применимы для описания любой сплошной среды: будь то вода, нефть, нефтепродукты, металл, смола или газ. Конкретные свойства среды, которая подлежит рассмотрению, будут учтены тогда, когда будет задана связь между напряжениями и деформациями, которые вызываются этими напряжениями. В записи этой связи появятся такие важные коэффициенты как вязкость, коэффициенты упругости и т.п.

Замечание о симметрии компонентов напряжений.Уравнение движения сплошной среды в напряжениях были получены путем составления баланса сил, действующих на произвольный объем среды. В теоретической механике известно, что при движении любой конечной частицы имеет место еще один закон — закон об изменении момента количества движения. Согласно этому закону, изменение момента количества движения равно сумме моментов всех внешних сил, приложенных к выделенной частице. Не производя выкладок, отметим, что такие уравнения приводят к равенству некоторых компонент напряжений, а именно:

, , . (1.31)

Эти равенства называют условиями симметрии касательных напряжений. Подробный вывод этих условий приводится в учебниках по механике сплошной среды [ ].

1. Сплошная среда и ее состояния. Поля

Гидродинамика

Встает вопрос: что такое материя? сплошная среда? поле? что такое движение и покой? что такое скорость? что такое относительная скорость? с какой относительной скоростью могут двигаться две м.т. или две области пространства (материи) друг относительно друга? что такое волна? диффузия? что такое, в конце концов, скорость света?

Ответить на первый вопрос почти невозможно. Можно сказать, что материя – это физическая реальность, все то, что может изменяться, двигаться, главное — взаимодействовать. Кроме идеализированных м.т. и м.о., материя может существовать в непрерывной форме – это сплошная среда и физические поля. Только во взаимодействии может проявиться материя. В физической реальности мы можем наблюдать три вида материи. Это, во первых, сплошные среды . Обычные сплошные среды – газ, жидкость, твердые тела. Во вторых, физические поля – электромагнитное (по Максвеллу), гравитационное (по Ньютону). Эйнштейн ввел еще один вид материи – гравитационное поле, проявляющее себя как геометрия пространства-времени . Физики, изучающие микромир, оперируют с еще одним специфическим видом материи – квантовыми полями элементарных частиц и физическим вакуумом , в котором «кипят» все элементарные частицы в виртуальном состоянии и которые имеют очень сложную, возможно, многомерную, структуру. Непосредственному наблюдению доступны только сплошные среды и электромагнитные поля в виде света.

На второй вопрос ответить проще. Сплошная среда – это физический объект, свойства которого в соседних точках мало отличаются. С.с. – это материя, которую можно ощутить, взвесить. Она обладает массой, весом (на Земле). Она может находиться в состоянии движения или покоя. Ее можно увидеть. Хотя и не всегда: воздух практически невидим, но ее можно хотя бы ощутить. Она оказывает сопротивление. Сплошная среда обладает свойством непрерывности и делимости. Почти бесконечной – до неделимого «атома», настолько малого, что о ней практически никто не знал. Кроме Платона. Дискретное строение вещества было обнаружено лишь в конце XIX века, а опыты, доказывающие существование молекул, проведены в 1908 году французским физиком Жаном Батистом Перреном. Физические поля тоже, оказалось, проявляют дискретные свойства.

Ответа на третий вопрос никто не знает. Ответом может быть только соглашение: любую непрерывную в пространстве и времени (и в вакууме тоже) материю описывать с помощью понятия « поле », под которым математики понимают любую непрерывную (хотя бы в статистике, как для вещества), с точностью до первой или второй производной, возможно, многомерную, функцию параметров материи от координат. Поля обладают тем свойством, что через них можно определить любую непрерывную структуру и с определенным приближением – бесконечные дискретные структуры (вещества) со среднестатистическими параметрами, находящимися в состоянии термодинамического равновесия, а их свойства описываются небольшим числом макроскопических параметров.

Понятие «среднестатистическое» связано с определенной процедурой усреднения параметров с.с. Оно, в частности, означает, что законы движения с.с. определены не для любых объемов, а только для тех, в которых находится достаточно большое количество атомов, молекул вещества, но и, с другой стороны, достаточно малый объем этого вещества. На практике законы движения с.с. соблюдаются не для любой формы и не для любого малого объема. На величину объема обычно накладывается ограничение D V_min D V D V_max . Для изучения вещества в обычных условиях ограничение снизу обусловлено молекулярной структурой вещества. Минимальный объем должен содержать достаточно большое число молекул, чтобы можно было пренебречь флуктуациями. Максимальный размер элементарного объема не критичен, но выбирается из условий достижения приемлемой точности описания.

Через понятие «поле» можно рассмотреть все виды с.с., но понятие «поле» – гораздо шире. Среди этих расширении – свободные и связанные поля взаимодействии и геометрические свойства пространства . Это именно обобщающее понятие.

В свете этого поля обладают материальными свойствами – энергией, импульсом и моментом импульса, которые подчиняются законам сохранения, точно так же, как и движение с.с. – количеством вещества, энергией, импульсом и моментом импульса. Поэтому они сами должны описываться уравнениями движения с.с. Движения полей есть разновидность движения с.с. скорее всего, идеальной или близкой к ней. Но поля в общем виде должны обладать и другими параметрами в некотором фазовом пространстве. Например, ЭМП обладает электрической и магнитной составляющими поля, и плотность и импульс являются лишь ее функциями.

Попробуем ответить на остальные вопросы. Все они касаются описания движения материи, в частности, с.с.

Все параметры с.с. можно описать с помощью обобщающего понятия «поле». С точностью до усреднения параметров с.с. Движение с.с. в модели определяется непрерывным конвективным перемещением каждой точки континуума во времени по некоторой траектории.

1.1. Конвективное движение

Состояние сплошной среды описывается в 3-мерном (для пленок – 2-мерном, для струн – в одномерном) пространстве с помощью 3–мерного (в релятивистском случае больших скоростей – 4–мерного) скалярного, векторного и других тензорных полей разного ранга в галилеевой, ньютоновой и релятивистской формулировках. Основными 3–мерными параметрами сплошной среды являются следующие энергетические, кинематические и динамические параметры.

· плотность вещества ρ ,

· давление (плотность внутренней энергии) p ,

· скорость движения с.с. v i ,

· плотность импульса p i ,

· плотность момента импульса p ij .

· плотность силы f i ,

· плотность момента силы p ij .

Замечание. При рассмотрении параметров 1) с точки зрения классической 3-мерной механики верхние и нижние индексы не отличаются, 2) с точки зрения 4-мерной СТО они отличаются знаками и при этом кроме параметра t имеется скалярный интервал s , по которой тоже производится дифференцирование, 3) с точки зрения галилеевой механики индексы невозможно ни опускать, ни поднимать.

Это минимальный набор параметров среды. С помощью этих параметров описывается текущее состояние и движение с.с. в пространстве и времени. С помощью этих параметров мы можем определить два понятия – состояния покоя и движения. Состоянию покоя соответствует плотность импульса p i = 0, состоянию движения — плотность импульса p i ≠ 0. С точки зрения этих определений электромагнитные волны, в общем – любые волны, не могут находиться в состоянии покоя. Состояние покоя для них соответствует отсутствию явления.

Основным свойством полей типа с.с. является положительность квадрата полного 4-мерного импульса элемента с.с. Но это возможно только в с.о. с 4-метрикой. В галилеевой механике имеется только более слабое условие – наличие у с.с. конвективного движения с произвольной, зависящей от с.о., скоростью.

Некоторые параметры с.с. являются аддитивными. Аддитивный параметр – это параметр, линейно складывающийся по составляющим тело объемам. По другому, аддитивный параметр является интегрируемым параметром. Это – сам объем, масса, заряд, энергия, импульс, сила, момент силы, момент импульса. Например, масса M объема V с.с. определяется интегралом

.

Момент силы и импульса тоже являются аддитивными параметрами, если они определены относительно одной и той же точки.

Механика с.с. основывается на тех же законах, что и механика м.т. – три закона механики Ньютона. Также, как и для м.т., действуют законы сохранения массы, энергии, импульса, момента импульса. Но, в отличие от механики м.т., в законе сохранения энергии учитывается помимо потенциальной и кинетической еще и внутренняя энергия (например, тепловая, гравитационная, электромагнитная), а в законе изменения импульса кроме обычных объемных сил – гравитационных, электромагнитных и инерционных – на вещество действуют дополнительно и поверхностные силы, например, давление, сила Гука, силы трения. Законы сохранения могут быть описаны с помощью дифференциальных, интегральных уравнений в векторной и дифференциальной формах.

1.2. Волновое движение

Кроме конвективного, движение с.с. может быть описано волновыми движениями. Волновое движение может быть как самостоятельным, так и зависимым от конвективного типом движения. Волновое движение объединяет подходы Эйлера и Лагранжа к описанию движения с.с.

1.3. Диффузионное движение

Диффузионное движение является независимым от конвективного движением с.с., хотя и происходит на фоне конвективного. Диффузионное движение проявляется в конвективном через вязкость вещества и тепловое движение.

Сущность теплового движения заключается в том, что каждый индивидуальный элемент с.с. беспорядочно двигается примерно около своей точки равновесия. Средняя скорость этого движения зависит от температуры с.с. Имеется вполне определенный равновесный спектр средней температурной скорости таких элементов. Именно это движение является причиной диффузионного движения с.с. Именно им определяются термодинамические законы физики. Именно это движение является одной из причин однонаправленности течения времени.

1.4. Агрегатные состояния материи

С.с. может находиться в различных агрегатных состояниях. Различают следующие агрегатные состояния (или виды) сплошных сред: газ , плазма , жидкость , аморфное тело , твердое тело . Отдельным видом с.с. можно считать сыпучие среды. Из них основными являются три агрегатных состояния — газ, жидкость и твердое тело. Но они дают лишь очень слабое представление о всём многообразии реализующихся в природе структур вещества. Одно и то же вещество в твердом состоянии в зависимости от давления и температуры может существовать в совершенно разных агрегатных состояниях и термодинамических фазах. Например, у самой обычной воды известно уже 12 разных кристаллических фаз (то есть 12 типов льда) и подозревается наличие как минимум двух разных жидких фаз.

При изменении температуры или давления вещества может произойти изменение агрегатного состояния и фазовый переход из одного состояния в другое. Он сопровождается перестройкой кристаллической решетки, изменениями термодинамических параметров, а иногда при этом меняется даже внешний вид и цвет вещества (как это имеет место, например, в твердом кислороде ).

2. Что такое скорость?

2.1. Скорость м.т. и с.с.

С тензорной точки зрения скорость м.т. является вектором относительного движения м.т. относительно текущей локальной параметризации с.к. пространства. В принципе она может быть произвольной (для классических механик. Для релятивистской механики это не так – скорость в ней ограничена и не может быть произвольной). А относительная скорость двух м.т. предполагает, что вычитаются скорости двух м.т. в разных точках пространства. Такая операция законна, только если пространство является евклидовым без кривизны. Тогда эти две скорости можно вычесть, переместив параллельно самому себе в другую точку. В общем случае это невозможно или неоднозначно. Следовательно, операции сравнения скорости и определения относительной скорости объектов в разных точках пространства не законны, и так называемая относительная скорость м.о. может быть произвольной и ничем не ограничена. Такая операция законна только в одной и той же точке пространства-времени.

Точно также определяется скорость движения с.с. относительно текущих координат как скорость локализованной точки с.с. Такое движение с.с. называется конвективным. И точно также скорость конвективного движения может быть произвольной (для классических механик).

2.2. Скорость света

Но что такое тогда скорость света? Это не скорость м.о., ведь она может быть произвольной. Скорость света – это и не скорость конвективного движения. Это даже не скаляр и не константа. Точнее ответ может быть следующий: это скорость распространения (волны) возмущений полевых параметров среды (пространства) в пространстве–времени, или коэффициент в волновом уравнении:

Это может быть 1) свернутый метрический коэффициент ранга 2 при скалярном произведении векторов или 2) коэффициент метрического соответствия ранга 1 между пространственной и временной составляющей векторов. В силу этих свойств он обладает некоторыми инвариантными свойствами тензорного характера и может быть принят в качестве элемента эталона. Эти же свойства скорости света позволили Эйнштейну открыть СТО и ОТО. И это уже пахнет релятивизмом. При соответствующем подходе.

К непосредственному механическому (конвективному) движению элементарного объема с.с. он не имеет никакого отношения. Но он может иметь (и имеет) отношение к механической средней скорости колебаний составляющих элементов (объемов) с.с. около среднего положения и, следовательно, диффузионным параметрам с.с.

3. Параметры сплошной среды

Если рассматривать взаимодействие большого количества м.т., находящихся на малом расстоянии друг от друга, то взаимодействие непосредственно путем соударений между соседними м.т. в статистике переходит в движение элементарных объемов с.с. под действием полей, задаваемых усредненными параметрами этой среды (поле давления в газе, объединенное потенциальное поле атомов кристаллической решетки в жидком или твердом теле). Законы такого взаимодействия изучаются физикой сплошных сред.

Для описания движения с.с. можно использовать две формы представления вектора – задание его с помощью проекций в выбранной декартовой системе, например x i , v i , где индекс i пробегает значения от 1 до 3, либо как абстрактный геометрический объект, отмечая векторы стрелкой и т. д. Для краткости представление векторов в первом виде называется тензорным, а второе — векторным. В дальнейшем при описании движения с.с. не будем различать верхние и нижние индексы, потому что в ортонормированном евклидовом пространстве они не будут отличаться своими значениями.

Во многих случаях использование векторных обозначений вместо тензорных (там где это возможно) оказывается предпочтительным, поскольку вид уравнений, записанных в векторной форме, не связан с конкретным выбором координат. В частности, векторная форма может быть использована для записи уравнений в произвольных ортогональных координатах, например, цилиндрических или сферических.

Состояние сплошной среды описывается с помощью 3–мерного (в релятивистском случае больших скоростей – 4–мерного) скалярного, векторного и других тензорных полей разного ранга. Основными 3–мерными параметрами сплошной среды являются следующие энергетические, кинематические и динамические параметры:

· плотность вещества ρ ,

· плотность кинетической энергии движения E_K ,

· плотность тепловой энергии E_T ,

· плотность потенциальной энергии E_T ,

· плотность других связанных энергии E_e , …,

· плотность полной энергии E ,

· скорость движения v i ,

· плотность импульса p i ,

· расходимость энергии в пространстве p 0 _i ,

· расходимость импульса во времени p i ₀ и

· циркуляция импульса p i _j ,