VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Поверхности. Касательная плоскость и нормаль
Краткие теоретические сведения
Способы задания поверхностей
Рассматриваем вектор–функцию двух скалярных аргументов: $$\vec
Запишем четыре способа задания поверхности: 1. Векторное уравнение: $$\vec
Поверхность называется регулярной ($k$ раз дифференцируемой), если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая регулярную параметризацию (то есть функции $x(u,v), y(u,v),z=z(u,v)$ $k$ раз непрерывно дифференцируемы). При $k=1$ поверхность называется гладкой.
Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает бесчисленное множество параметризаций.
Кривая, лежащая на поверхности $\vec
Решение задач
Задача 1 (Феденко №544)
Дана поверхность \begin
Ответ. Точка $A$ принадлежит, так как ее координаты удовлетворяют системе уравнений, задающих поверхность. Точка $B$ не принадлежит поверхности.
Задача 2 (Феденко № 546)
Найдите неявное уравнение поверхности, заданной параметрическими уравнениями: \begin
Ответ. Эллипсоид с полуосями $a$, $b$, $c$ и центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$: \begin
Задача 3 (Феденко №528)
В плоскости $xOz$ задана кривая $x=f(u)$, $z=g(u)$, не пересекающая ось $Oz$. Найдите параметризацию поверхности, полученной при вращении этой кривой вокруг оси $Oz$.
Решение задачи 3
Произвольная точка $M$, принадлежащая кривой и имеющая координаты $x_0=f(u_0)$, $y_0=0$, $z_0=g(u_0)$, движется по окружности с центром на оси $Oz$ и радиусом $R=f(u_0)$ в плоскости, параллельной плоскости $xOy$: $z=g(u_0)$. Поэтому изменение ее координат можно записать следующими уравнениями: \begin
Поскольку точка $M$ произвольная, уравнение искомой поверхности: \begin
Касательная плоскость. Нормаль
Краткие теоретические сведения
Пусть $\vec
Пусть точка $P$ не является особой, то есть ранг матрицы \begin
Касательная к кривой $u=u(t)$, $v=v(t)$ на поверхности $\vec
Обозначения:
— $\vec
— $\vec
— Частные производные $x_u$, $y_u$, $z_u$, $x_v$, $y_v$, $z_v$ вычисляются в точке $P(u_0, v_0)$.
Уравнение касательной плоскости:
1. Если поверхность задана векторно, то уравнение касательной плоскости можно записать через смешанное произведение трех линейно зависимых векторов: $$ \left(\vec
Нормалью поверхности в точке $P$ называется прямая, проходящая через $P$ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Уравнение нормали:
1.$$ \vec
Решение задач
Задача 1 (Феденко №574)
Дана поверхность \begin
а) уравнение касательной плоскости к поверхности;
б] уравнение нормали к поверхности;
в) касательной к линии $u=2$
в точке $M\left(u=2, v=\displaystyle\frac<\pi><4>\right)$ поверхности.
Задача 2
Через точки $A(0,1,0)$ и $B(1,0,0)$ провести плоскость, касательную к поверхности $\vec
Ответ. $z=0, -2X-2Y+Z+2=0$.
Задача 3
Построить касательную плоскость к поверхности $y=x^2+z^2$, перпендикулярную вектору $\vec\<2,1,-1\>$.
Задача 4
Через точку $M(1,2,1)$ провести плоскость, касательную к поверхности $x^2+y^2-z^2=0$.
Ответ. $X-Z=0$, $3X-4Y+5Z=0$.
Задача 5 (Феденко №594)
Докажите, что поверхности \begin
Решение задачи 5
Запишем направляющие векторы нормалей к поверхностям, проведенным в точках их пересечения: \begin
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Уравнение касательной к плоскости и нормали
Вы будете перенаправлены на Автор24
Данный вопрос изучается в разделе высшей математики о дифференциальном исчислении функции нескольких переменных. Обычно этой теме предшествует изучение дифференциального исчисления функции одной переменной, где рассматриваются теория и практика предела функции, производной, касательной и нормали. Для решения заданий на тему данной статьи, необходимо помимо вышеперечисленных пунктов также уметь находить частные производные.
В данной статье будем исходить из того, что читателю известны основные понятия и методы математического анализа: понятия функции, предела и основные теоремы. Поэтому изложение этих основных понятий и сопутствующих методов в данной статье будут опущены. Также в данной статье не будет рассматриваться графическое представление, так как для его понимания нужно вводить дополнительно понятия градиента и других, что для решения примеров не обязательно.
Для облегчения понимания теоретической и практической частей, стоит напомнить, что изучение данного раздела должно происходить с отвлечением от физического или иного конкретного смысла той или иной величины (переменной). На практике подобный анализ находит своё место в различных расчётах, необходимых, например, в поиске природных закономерностей, моделирования работы производств или процессов, экономике и прочем.
Теоретическая часть
Касательная плоскость к поверхности $P$ в точке $M_0$ — это плоскость, которая проведена через точку $M_0$ и содержит касательные ко всем кривым, проходящим через $M_0$ и лежащим на поверхности $P$.
Уравнение касательной плоскости к поверхности $F(x,y,z)=0$ в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$:
Рисунок 1. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Готовые работы на аналогичную тему
Если поверхность $P$ задана уравнением $z=f(x,y)$, то:
Рисунок 2. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Предполагается, что частные производные существуют, непрерывны и хотя бы одна из них не равна нулю.
Нормаль к поверхности в точке $M_0$ — это прямая, которая проведена перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$.
Уравнение нормали к поверхности $F(x,y,z)$ в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$:
Рисунок 3. Уравнение нормали к поверхности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Практическая часть в примерах
Задана поверхность $\frac
Рисунок 5. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
следует $6(x-6)+3(y-6)+(z-8)=0; 6x-36+3y-18+z-8=6x+3y+z-62=0$;
Задание то же. Задана поверхности $z=\frac<5y>
Получается, что мы имеем абсциссу $x_0=2$ и ординату $y_0=-1$ точки касания. Найдём аппликату этой точки: $z_0=\frac<5\cdot(-1)><1-2>=5.$ Для составления искомых уравнений нам потребуются значения частных производных в точке касания:
Рисунок 6. Значения частных производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 7. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Другие примеры имеют аналогичный характер.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 05 2021
http://math.semestr.ru/math/tangent-plane.php
http://spravochnick.ru/matematika/uravnenie_kasatelnoy_k_ploskosti_i_normali/