Общее уравнение линий второго порядка

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линии второго порядка

1. Основные понятия.

6. Общее уравнение линий второго порядка.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

.

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

ОКРУЖНОСТЬ

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию .

Каноническое уравнение окружности .

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса .

у

с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось.

и называются фокальными радиусами. ,

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

Определение.Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет – величина, определяемая отношением: .

Замечание. Для эллипса .

Определение.Прямые называются директрисами эллипса.

Теорема. Если ­­– расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусы директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Замечание. Если a = b, то c = 0, а значит, фокусы сливаются, и эллипс превращается в окружность.

Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁ (0;с); F₂(0;-с), где b 2 = a 2 + c 2 .

Пример. Составьте уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), а большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом,

a 2 – b 2 = c 2 = .

По условию большая ось равна 2, то есть 2а = 2, откуда получаем, что

а = 1, b = .

Тогда искомое уравнение эллипса имеет вид: .

Гипербола

Определение. Гиперболойназывается линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы .

y

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси гиперболы связаны соотношением:

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2а и2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Замечание.Для гиперболы эксцентриситет .

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Определение. Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны ( ).

Ее каноническое уравнение .

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается : .

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось которой расположена на оси , а мнимая ось – на оси .

Гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Пример. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

Найдем фокусное расстояние для эллипса:

Тогда искомое уравнение гиперболы .

Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы y 2 = 2px .

у

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Лекция 8. Линии второго порядка.

8.1. Окружность, исследование уравнения окружности.

8.2. Вывод канонического уравнения эллипса.

8.3. Гипербола и парабола, их канонические уравнения.

8.4. Линии второго порядка. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

8.5. Полярное уравнение кривой второго порядка.

8.1

Окружностьюназывается множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности) на расстояние, равное радиусу окружности.

Пусть С(а,в) – центр окружности, r – радиус окружности, M(x,y) – произвольная точка окружности (Рисунок 8.1). По определению окружности . Выразим это равенство в координатах: . Возведем обе части в квадрат:

. (8.1)

Таким образом, координаты любой точки, лежащей на окружности, удовлетворяют уравнению (8.1). Покажем, что координаты точки, не лежащей на окружности, не удовлетворяют уравнению (8.1).

Действительно, если точка М — внутри окружности, то расстояние , т.е. , а если точка M — вне окружности, то , т.е. . Следовательно, уравнению (8.1) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на окружности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на окружности. Поэтому уравнение (81) и есть уравнение окружности.

Если в уравнении (8.1) раскрыть скобки, то получим уравнение

, (8.2)

где , , .

Если , то уравнение (8.2) определяет окружность.

Если , то уравнение (8.2) определяет точку .

Если , то уравнение (8.2) не имеет геометрического смысла. В этом случае говорят о мнимой окружности.

Рисунок 8.2.Окружность, имеющая

Уравнение (8.1) можно упростить, если поместить начало новой системы координат в центр окружности (Рисунок 8.2). Тогда ее уравнение будет иметь вид:

. (8.2)

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности, т.е. уравнением самого простого вида.

8.2

Эллипсомназывается множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают 2а) и большая, чем расстояние между фокусами.

Середина расстояния между фокусами называется центром эллипса, т.к. относительно этой точки эллипс симметричен.

Длина |F₁F₂| называется фокусным расстоянием, обозначим ее 2с, а половина этого расстояния называется полуфокусным расстоянием, оно равно с.

Примем центр эллипса за начало координат, за ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы (Рисунок 8.3).

Рисунок 8.3. Эллипс

Тогда координаты фокусов будут F₁(-c;0), F₂(c;0). Всякий отрезок, соединяющий две точки эллипса, если он проходит через центр, называется диаметром эллипса. Наибольший диаметр проходит через фокусы, этот диаметр A₁A₂ называется большой осью эллипса. Длина большой оси эллипса |A₁A₂|=2a. Действительно, по определению эллипса |F₁A₂|+|F₂A₂|=2a, но |F₁A₂|=|OA₂|+c, |F₂A₂|=|OA₂|-c. Тогда получаем 2|OA₂|=2a, или |OA₂|=a. Аналогично |A₁O|=a, следовательно, |A₁A₂|=2a. Число а называется большой полуосью. Наименьший диаметр эллипса перпендикулярен наибольшему, его называют малой осью эллипса и обозначают через 2b, так что |B₁B₂|=2b. Число b называется малой полуосью. Концы осей, т.е. точки A₁,A₂,B₁,B₂ называются вершинами эллипса. Основное свойство эллипса применимо и для вершин В₁ и В₂. Например, для вершины В₂ получим |F₁B₂|+|F₂B₂|=2a, а т.к. |F₁B₂|=|F₂B₂|, то 2|F₂B₂|=2a, или |F₂B₂|=a. Тогда из прямоугольного ∆OF₂B₂ получаем важное соотношение:

(8.4)

Форма эллипса при заданном а зависит только от расстояния между фокусами, т.е. от с. При сближении фокусов и при совпадении их с началом координат эллипс постепенно обратится в окружность. Наоборот, если фокусы отодвигаются от начала координат, эллипс постепенно сплющивается и вырождается в прямолинейный отрезок A₁A₂. Степень сжатия эллипса определяется его эксцентриситетом, который определяется дробью:

(8.5)

Для эллипса эксцентриситет может изменяться от 0 до 1, причем для окружности , для эллипса, выродившегося в прямолинейный отрезок, .

Для получения канонического уравнения эллипса возьмем произвольную точку эллипса М(x,y). Тогда по определению |MF₁|+|MF₂|=2a. Выразим это равенство в координатах:

(8.6)

Для упрощения уравнения (8.6) придется дважды его возводить в квадрат и приводить подобные члены. В результате будет получено уравнение

или после деления на –

Далее учитывая, что b 2 =a 2 -c 2 , получаем каноническое уравнение эллипса:

(8.7)

Построение эллипса, согласно его определению, можно осуществить посредством нити длиной 2а, закрепленной концами в фокусах. Зацепив нить острием карандаша, и двигая его так, чтобы нить всё время была в натянутом состоянии, мы заставим острие вычертить эллипс.

8.3

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная (её обозначают 2а) и меньшая расстояния между фокусами (2с).

Середина расстояния между фокусами называется центром гиперболы, так как относительно этой точки гипербола симметрична. Длина — называется фокусным расстоянием, а половина этого расстояния полуфокусным расстоянием. Удобно центр гиперболы принять за начало координат, а за ось абсцисс принять прямую, проходящую через фокусы (Рисунок 8.4).

Всякий отрезок, соединяющий две точки гиперболы и проходящий через центр, называется диаметром гиперболы. Наименьший диаметр лежит на оси абсцисс; этот диаметр называется действительной осью гиперболы, причем . Действительно по определению гиперболы , но , , тогда , или . Аналогично , следовательно, .

Число называется действительной полуосью, точки и называются вершинами гиперболы. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, причем для гиперболы .

Рисунок 8.4. Гипербола

Пусть — произвольная точка гиперболы. Тогда по определению , или в координатной форме

. (8.8)

Уравнение (8.8) в результате преобразований, аналогичных проводимым при выводе уравнения эллипса, может быть сведено к виду:

.

Обозначая , получаем каноническое уравнение гиперболы:

. (8.9)

Прямые являются асимптотами гиперболы. Это прямые, к которым гипербола приближается в бесконечности, но не пересекает их. С геометрической точки зрения — ордината асимптоты, восстановленной из вершины гиперболы. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить прямоугольник со сторонами и , параллельными координатным осям и с центром в начале координат (такой прямоугольник называется основным прямоугольником гиперболы). Точки и определяют мнимую ось гиперболы .

Если в уравнении (8.9) , то гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты образуют прямой угол. Если за оси принять асимптоты, то уравнение примет вид . Таким образом, равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности.

Заметим, что уравнение

(8.10)

тоже определяет гиперболу, у которой действительная ось расположена на оси , а мнимая ось – на оси .

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (называемой фокусом параболы) и от данной прямой (называемой директрисойпараболы).

Для вывода канонического уравнения параболы проведем ось прямоугольной системы координат через фокус перпендикулярно директрисе, начало координат поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы (Рисунок 8.5). Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через (оно называется параметром параболы). Тогда , а директриса задается уравнением . Пусть — произвольная точка параболы. Опустим перпендикуляр на директрису . Тогда по определению . Выразим это условие в координатах:

.

Рисунок 8.5. Парабола.

Возводя в квадрат и приводя подобные, получаем каноническое уравнение параболы:

. (8.11)

Вершинойпараболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии. Ось симметрии параболы называется осью параболы. Парабола, определяемая уравнением (8.11), имеет ось, совпадающую с осью .

Заметим, что уравнение определяет параболу, симметричную относительно оси .

8.4

Между эллипсом, гиперболой и параболой имеется близкое родство. Это объясняется тем, что все они — линии второго порядка. Все эти линии могут быть получены при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью, поворачивающейся вокруг оси, выбранной, например, перпендикулярно к оси конуса (Рисунок 8.6). Пока наклон мал, в сечении получается эллипс. При увеличении наклона эллипс удлиняется, его эксцентриситет растет. Когда плоскость наклонена к оси конуса так же, как образующие, в сечении получается парабола. Наконец, когда плоскость будет пересекать обе половины конуса, в сечении будет гипербола. По этой причине эллипс, гиперболу и параболу иногда называют коническими сечениями.

Рисунок 8.6. Родство кривых второго порядка.

Родство между указанными линиями обусловлено тем, что все они задаются уравнением второй степени, а поэтому и носят общее название линий(или кривых) второго порядка.

Общим уравнением линий второго порядканазывается уравнение вида

. (8.12)

Путем преобразования координат это уравнение можно привести к каноническому виду. Осуществим поворот осей координат на угол по формулам:

(8.13)

Угол выберем таким, чтобы получилось уравнение, не содержащее произведение координат. Для этого подставляем (8.13) в (8.12) и приравниваем коэффициент при к . В результате получаем уравнение для определения угла поворота:

, (8.14)

. (8.15)

Формула (8.15) определяет 4 возможных значения для любое из которых позволяет привести уравнение (8.12) к виду:

(8.16)

Если , то уравнение (8.16) может быть приведено к виду:

, (8.17)

которое с помощью параллельного переноса начала координат

(8.18)

сводится к каноническому виду.

Если , т.е. или , то уравнение (8.16) может быть приведено к виду:

, (8.19)

. (8.20)

Применяя параллельный перенос (8.18), где или , уравнения (8.19) или (8.20) сводятся к каноническому виду.

Заметим, что при любом повороте осей координат (8.13), хотя координаты при членах второй степени, вообще говоря, меняются, выражение при этом остается инвариантным (т.е. неизменным). Таким образом, . По знаку этого выражения можно определить вид кривой.

1. Если , то уравнение (8.12) задает эллипс , точку , или мнимый эллипс , иначе говоря, кривую эллиптического типа.

2. Если , то уравнение (8.12) задает гиперболу , или пару пересекающихся прямых , иначе говоря, кривую гиперболического типа.

3. Если , то уравнение (8.12) задает параболу или , пару параллельных или совпадающих прямых ( или ) или мнимую кривую ( или ), иначе говоря, кривую параболического типа.

8.5

Выведем полярное уравнение линии второго порядка на примере эллипса.

Рисунок 8.7. Полярное уравнение эллипса

Поместим полюс полярной системы координат в правый фокус эллипса (точка ), расположив полярную ось на положительной части оси (Рисунок 8.7). Пусть — произвольная точка эллипса. По теореме косинусов из имеем

.

Учитывая, что , , , , получаем .

Откуда, заменяя , получим:

.

Обозначим и назовем эту величину параметром эллипса, — эксцентриситет.

– (8.21)

полярное уравнение эллипса.

Если поместить полюс в левый фокус эллипса, то полярное уравнение будет иметь вид

. (8.22)

Заметим, что уравнения (8.21) и (8.22) являются полярными уравнениями любой кривой второго порядка, его вид определяется величиной эксцентриситета. Если , то кривая эллиптического типа. Если , то кривая гиперболического типа. При – кривая параболического типа.

Дата добавления: 2015-08-21 ; просмотров: 2213 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ