МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА РЕАКТОРА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС РЕАКТОРОВ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО И НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМОВ ИХ РАБОТЫ.
Исходным уравнением для получения характеристического уравнения реактора любого типа является материальный баланс в следующем виде:
Составим материальный баланс по исходному веществу А при проведении простой необратимой реакции А → R [6].
В общем виде уравнение материального баланса записывается так
(58)
где 
– массовый расход
Учитывая, что поступившее в реактор вещество А расходуется в трех направлениях, можно записать
(59)
где 
– масса вещества А, вступившего в реакционном объеме в химическую реакцию в единицу времени; 
– сток вещества А – масса вещества А, выходящего из реакционного объема в единицу времени; 
– накопление вещества А – масса вещества А, остающегося в реакционном объеме в неизменном виде в единицу времени.
С учетом уравнения (59) уравнение (58) записывается в виде
(60)
Разность между массой вещества А, поступающего в единицу времени в реактор 
и выходящего из него 
– это масса вещества А, переносимого конвективным потоком 
(61)
Принимая это во внимание, уравнение (61) можно записать в такой форме
(62)
В каждом конкретном случае уравнение материального баланса принимает различную форму. Оно может составляться для единицы объема реакционной массы, либо для бесконечно малого (элементарного) объема, либо для реактора в целом. При этом можно рассчитывать материальные потоки, проходящие через объем за единицу времени, а можно относить эти потоки к 1 молю одного из исходных реагентов.
Так, в общем случае, когда состав реакционной смеси, температура и другие параметры непостоянны в различных точках реактора или непостоянны во времени, материальный баланс составляют в дифференциальной форме для элементарного объема реактора. В результате получают уравнение конвективного массообмена [10], дополненное членом vА, который учитывает протекание химической реакции. Составленное по исходному реагенту А, оно имеет вид
(63)
где СА – концентрация вещества А в реакционной смеси; x, y, z – пространственные координаты; D – коэффициент молекулярной и турбулентной диффузии; vА – скорость химической реакции.
Член в левой части уравнения (63) отражает общее изменение концентрации исходного вещества во времени в элементарном объеме, для которого составляется материальный баланс. Это накопление вещества А. Этому члену соответствует величина 
в уравнении баланса (62).
Уравнения (70) и (71) представляют математическое описание потоков тепла в нестационарном режиме, когда имеет место накопление тепла, и температура процесса изменяется во времени.
Для реакторов непрерывного действия характерен стационарный режим. Неустановившееся состояние наблюдается только в пусковой период и в период остановки реактора. В дальнейшем все реакторы непрерывного действия будут рассматриваться только в стационарном режиме, когда отсутствует накопление тепла, т. е. Qнак = 0.
(71)
где ρ – плотность реакционной смеси; Ср – удельная теплоемкость реакционной смеси; х, y, z – пространственные координаты; Wx, Wy, Wz – составляющие скорости движения потока в направлении осей Х, Y, Z; λ – коэффициент молекулярной и турбулентной теплопроводности реакционной смеси; Fуд – удельная поверхность теплообмена; K – коэффициент теплопередачи; ΔТ = Т – Тт; Т – температура реакционной смеси; Тт – температура в теплообменнике; v – скорость химической реакции; ΔН – изменение энтальпии реакции.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ РЕАКТОРОВ РИС – П, РИВ И РИС – Н И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБЪЕМОВ РЕАКТОРОВ.
Реактор идеального смешения периодический (РИС-П). Это реактор периодического действия с перемешивающим устройством. Перемешивание в таком реакторе настолько интенсивное, что в каждый данный момент времени концентрация реагентов одинакова по всему объему реактора и меняется лишь во времени по мере протекания химической реакции.
Математической моделью РИС-П является его характеристическое уравнение. Исходя из этого уравнения, представляется возможным установить размеры реактора, а также исследовать эту модель с точки зрения определения оптимальных значений всех параметров, входящих в характеристическое уравнение.
Исходным соотношением для получения характеристического уравнения реактора, как уже отмечалось, является уравнение материального баланса в дифференциальной форме.
В РИС-П все параметры (в том числе и концентрация СА реагента А) одинаковы по всему объему реактора в любой момент времени, так как реакционная смесь интенсивно перемешивается. Производная любого порядка от концентрации по х, y, z равна нулю, поэтому можно записать
;
С учетом полученных значений уравнение упрощается и может быть записано не в частных производных, а в виде обыкновенного дифференциального уравнения:
При выражении скорости реакции по исходному веществу А 
. Поэтому перед 
и vA ставят знак «–», чтобы скорость являлась положительной величиной.
Реакторы непрерывного действия (проточные реакторы): реактор идеального смешения (РИС-Н) и реактор идеального вытеснения (РИВ).В реакторах непрерывного действия питание их реагентами и отвод продуктов реакции осуществляется непрерывно.
Если в периодическом реакторе можно непосредственно (по часам) измерить продолжительность реакции, так как показатели процесса меняются во времени, то в реакторе непрерывного действия это сделать невозможно (при установившемся режиме параметры не меняются со временем). Поэтому для непрерывных реакторов удобней пользоваться понятием условного времени пребывания реагентов в системе (времени контакта), которое определяется уравнением
τ = 
где τ – время пребывания; Vр – объем реактора; V0 – объем реакционной смеси, поступающей в реактор в единицу времени (объемный расход реагентов), измеренный при определенных условиях.
Для получения характеристического уравнения РИВ исходят из дифференциального уравнения материального баланса (63), упрощая его на основе указанных выше особенностей этого реактора. Поскольку в РИВ реакционная смесь двигается только в одном направлении (по длине l), то для первой группы членов правой части уравнения (63) можно записать (выбрав за направление оси Х направление движения потока реагентов в реакторе):
где W – линейная скорость движения реакционной смеси в реакторе; l – длина пути, пройденного элементом объема реакционной смеси в реакторе.
Непрерывный реактор идеального смешения (РИС-Н) – это реактор с мешалкой, в который непрерывно подают реагенты и выводят из него продукты реакции.
Это характеристическое уравнение реактора идеального смешения. Для более общего случая, когда начальная степень превращения хА0 не равна нулю, оно записывается
АДИАБАТИЧЕСКИЙ, ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ И ПОЛИТРОПИЧЕСКИЙ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ РЕАКТОРОВ РИС — П, РИВ И РИС – Н
В адиабатическом реакторе отсутствует теплообмен с окружающей средой, и тепло химической реакции полностью расходуется на изменение температуры реакционной смеси.
В изотермическом реакторе путем подвода или отвода тепла поддерживают постоянную температуру в течение всего процесса.
В политропическом реакторе температура не постоянна, при этом часть тепла отводится или подводится.
Адиабатический и изотермический реакторы представляют предельные случаи, которых на практике не бывает, но режим работы многих промышленных реакторов приближается к этим крайним моделям, поэтому с достаточной для практических целей точностью реакторы могут рассчитываться по уравнениям, полученным для адиабатических и изотермических режимов.
Исходным уравнением для расчета реакторов с учетом переноса тепла является уравнение теплового баланса, 
которое обычно составляют по одному из компонентов реакционной смеси.
Адиабатический реактор периодического действия, например реактор идеального смешения (А-РИС-П), представляет собой аппарат с мешалкой, стенки которого имеют тепловую изоляцию для поддержания адиабатического режима. В адиабатических реакторах нет теплообмена, т. е. Qт = 0. В периодическом реакторе отсутствует также и конвективный поток, поэтому Qконв = 0 
Адиабатические реакторы непрерывного действия. В адиабатических проточных реакторах отсутствует теплообмен с окружающей средой (Qт = 0), для стационарных условий не происходит также накопление тепла (Qнак = 0), поэтому уравнение принимает вид 
Адиабатический реактор идеального вытеснения (А-РИВ) представляет собой трубчатый реактор, снабженный тепловой изоляцией. Значения тепловых потоков, входящих в уравнение , для элементарного объема реактораdVр можно определить из общего дифференциального уравнения с учетом ряда упрощений, соответствующих гидродинамической обстановке и тепловому режиму в данном реакторе.
В реакторе идеального вытеснения конвективный перенос тепла (так же, как и вещества) происходит только в направлении основного перемещения потока реагентов, т. е. по длине реактора l (или по оси Х), а по осям Y и Z градиенты параметров равны нулю, поэтому можно записать 
Адиабатический реактор идеального смешения непрерывный (А-РИС-Н) снабжен мешалкой и тепловой изоляцией для поддержания в нем адиабатического режима. Следует помнить, что в РИС-Н благодаря интенсивному перемешиванию все параметры процесса, имеющие на входе в реактор значения CА0, хА0, Т0, мгновенно изменяются до CА, хА, Т, имеющих одинаковые значения по всему объему реактора и отличающихся от выходных параметров.
Рассмотрим вывод уравнения теплового баланса для А-РИС-Н, работающего в стационарном режиме, для которого Qнак = 0 и Qт = 0, и уравнение (70) принимает вид 
При этом 
где 
– молярные теплоемкости потока реагентов на входе в реактор и выходящего потока, отнесенные к 1 молю вещества А; Т0, Т – температура реагентов на входе в реактор и выходящего потока.
В изотермическом реакторе идеального смешения непрерывном отвод (или подвод) тепла осуществляется через стенку, которая охлаждается каким-либохладоагентом или с помощью теплообменных элементов, расположенных внутри реактора.
Так как в изотермических условиях температура реакционной среды не изменяется (Т0 = Т), уравнение 
принимает вид 
Политропические реакторы
В политропическом реакторе имеет место теплообмен, и температура реакционной среды меняется, причем изменение температуры может происходить по любому закону, независимо от величины теплового эффекта протекающих в нем реакций и степени превращения. Поэтому наиболее важная задача при расчете политропических реакторов состоит в определении оптимального профиля (во времени или в пространстве) температуры, при которой скорость процесса в любой момент времени реактора РИС или в любом сечении реактора РИВ была бы максимально высокой. Уравнение теплового баланса (70) политропического реактора для стационарных условий запишется в виде 
Уравнение материального баланса для элементарного объема проточного химического реактора
Прежде чем рассмотреть отдельные типы химических реакторов в соответствии с приведенной классификацией, составим уравнение материального баланса по произвольному участнику реакции – веществу J – для элементарного объема произвольного проточного химического реактора и элементарного промежутка времени.
Рассмотрим поток жидкости, протекающей через реактор. О ходе химического процесса в реакторе будем судить по изменению молярной концентрации вещества J в жидкости сJ. Так как, в общем случае, в реакторе имеет место то, или иное распределение концентрации сJ по объему, а в каждой произвольно выбранной точке еще и распределение концентрации во времени, то считается, что сJ является функцией четырех переменных: трех пространственных координат х, у, z и времени τ: сJ = сJ(х, у, z, τ).
В соответствии с рассмотренными в § 4.2 требованиями к размеру элементарного объема и значению элементарного промежутка времени выберем в качестве элементарного промежутка времени бесконечно малый интервал dτ (dτ 
0), а в качестве элементарного промежутка пространства – параллелепипед с бесконечно малыми сторонами dx, dy и dz и объемом dV = dxdydz (рис. 4.1).
В уравнении материального баланса по веществу J должны быть отражены, как указано выше, все изменения, которые произойдут за время dτ с веществом J при прохождении потоком элементарного объема. Эти изменения могут быть связаны с тремя причинами: конвективным переносом, диффузионным переносом и химической реакцией.
Рис. 4.1. Элементарный объем химического реактора:
1, 1 / – конвективный и 2, 2 / – диффузионный потоки соответственно
на входе в элементарный объем и на выходе из него
Конвективный перенос, или перенос импульса, вызван движением потока со скоростью u в результате какого-либо внешнего воздействия (например, из-за перепада давления, созданного насосом или компрессором). При макроскопическом движении жидкости каждый данный ее участок передвигается как целое с неизменным составом, и в результате происходит чисто механическое перемешивание: хотя состав каждого передвигающегося участка жидкости может оставаться неизменным (если нет химической реакции) в каждой неподвижной точке пространства (неподвижном элементарном объеме), концентрация жидкости будет со временем меняться. Охарактеризовать конвективный перенос можно изменением импульса единицы объема жидкости с, и.
Диффузионный перенос вызван наличием неравномерного распределения вещества J в пространстве. Вследствие выравнивания концентрации молекулярным переносом веществ реакционной смеси из одного участка жидкости в другой также происходит изменение состава внутри элементарного объема. Охарактеризовать диффузионный перенос можно в соответствии с законами Фика изменением диффузионного потока вещества J, равного D grad cJ (D – коэффициент диффузии).
Протекание химической реакции в элементарном объеме – неотъемлемая часть любого химического процесса. Расход или образование вещества J в ходе химической реакции пропорционален скорости реакции wrJ.
Алгебраическая сумма всех этих трех изменений должна быть равна накоплению (положительному или отрицательному) вещества J в элементарном объеме, т. е. изменению количества вещества J, находящегося внутри элементарного объема, за тот промежуток времени, для которого составляется материальный баланс.
Запишем теперь отдельные составляющие уравнения материального баланса.
Количество вещества, попадающее за время dτ в элементарный объем с конвективным потоком, можно рассматривать как сумму составляющих потока, которые войдут через отдельные грани параллелепипеда. В направлении оси z через грань dx dy за время dτ войдет cJ иz dx dy dt моль вещества J.
Аналогично через грань dy dz войдет cJ ux dy dz dτмоль вещества J, а через грань dx dz cJ uy dx dz dτмоль J.
Суммарно с конвективным потоком в элементарный объем будет внесено
При прохождении элементарного объема произойдет изменение импульса единицы объема (так как в общем случае и сJ и скорость и имеют неравномерное распределение в пространстве). В результате количество вещества J, которое будет вынесено за тот же промежуток времени dτ через противоположные грани параллелепипеда, составит:
· в направлении оси z
· в направлении оси у
· в направлении оси х
Суммарно по всем осям:
где 
.
После вычитания выражения (4.2) из (4.1) получим (с учетом того, что для несжимаемой жидкости div u = 0) изменение количества вещества в элементарном объеме в результате конвективного переноса за время dτ:
Аналогично получим член уравнения материального баланса, описывающий изменение количества вещества J в результате диффузионного переноса. Диффузионный поток на входе в параллелепипед через грань dxdy (в направлении оси z)в соответствии с первым законом Фика равен
При прохождении потока через элементарный объем произойдет изменение градиента концентрации dcJ/dz на величину (d 2 cJ /dz 2 )dz,следовательно, диффузионный поток на выходе из параллелепипеда через противоположную грань составит
Изменение количества вещества J в результате диффузионного переноса через все грани параллелепипеда за время dτ
(4.4)
Расход вещества на химическую реакцию (или его образование в ходе химической реакции) внутри элементарного объема dV заэлементарный промежуток времени dτ пропорционален скорости реакции wrJ (она определяется концентрацией вещества JcJ,установившейся внутри элементарного объема), объему dV ивремени dτ:
. (4.5)
Следует отметить, что в соответствии с формальным правилом о знаках при составлении кинетических уравнений (см. §3.2) ∆nJ,хрположительно, если вещество J – реагент, и отрицательно, если J – продукт. Поэтому для сохранения физического смысла в уравнение материального баланса член ∆nJ,хрдолжен всегда входить со знаком «минус».
Накопление вещества J за время dτ внутри элементарного объема может произойти в результате приращения концентрации сJ при изменении времени на величину dτ. Это изменение концентрации равно (дcj/дτ)dτ. Соответственно накопление вещества в элементарном объеме dV
(4.6)
Таким образом, уравнение материального баланса по веществу J в соответствии с выражениями (4.3)–(4.6) можно записать как:
или, сократив все его члены на dFdx,
(4.7)
Уравнение (4.7) достаточно полно описывает химический процесс, протекающий в любом химическом реакторе (при его выводе не было принято никаких допущений об его применимости только к какому-то одному определенному типу химических реакторов). В нем отражен перенос импульса (первый член уравнения), диффузионный перенос (второй член) и протекание химической реакции (третий член).
Уравнение (4.7) вместе с уравнением теплового баланса, учитывающим явления теплопереноса в элементарном объеме реактора, составят полную математическую модель реактора. Таким образом, будет решен вопрос и о небольшом числе уравнений, составляющих математическую модель, и об ее полноте.
Однако уравнение (4.7) слишком сложно для решения (дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных). Следовательно, реальный путь создания математических моделей, пригодных для решения практических инженерных задач по расчету и проектированию химических реакторов, заключается в упрощении математической модели, которое можно провести для различных частных случаев.
В соответствии с такой концепцией рассмотрим математические модели различных типов реакторов:
· реакторов для гомогенных процессов, работающих в изотермическом режиме;
Материальный баланс РИС-П
Описание модели РИС-П
Реактор идеального смешения периодического действия представляет собой ёмкостный аппарат с перемешивающим устройством.
В периодический реактор все реагенты помещают до начала реакции, а продукты извлекают из него только после проведения процесса.
Общая масса реакционной смеси в реакторе остается постоянной, а изменяется лишь ее состав.
Условием идеальности работы реактора смешения периодического действия является мгновенное установление одинаковых параметров процесса в реакционном объеме аппарата в результате интенсивного перемешивания.
 |
Схема реактора идеального смешения периодического действия:
1 – внутренний объем реактора;
2 – реакционный объем;
3 – мешалка;
4 – штуцер для опорожнения реактора;
5 – загрузочное отверстие;
Т.Н. – теплоноситель или хладагент, поступающий в теплообменную рубашку.
РИС-П работает в нестационарном режиме, т.е. в разные моменты времени условия в периодическом реакторе разные (концентрация реагентов, продуктов, скорость реакции и т. д.). Однако в каждый момент времени в силу допущения об идеальности эти параметры одинаковы во всем объеме реактора.
Исходя из допущений об идеальности РИС-П, за элементарный объем аппарата принимают весь реакционный объем (Vp). Так как РИС-П работает в нестационарном режиме, за элементарный промежуток времени принимают бесконечно малую величину dτ. 
 |
Изменение концентрации реагента А в реакторе идеального смешения периодического действия во времени процесса и в объеме в разные моменты времени
В реальных условиях приблизиться к режиму идеального смешения можно, применяя интенсивное перемешивание реакционной смеси. Наряду с этим, форма и размеры емкостного аппарата должны быть оптимальными для уменьшения объема застойных зон.
Материальный баланс РИС-П
Материальный баланс показывает изменение количества реагента или продукта за счёт его поступления (со знаком плюс) и расходования (со знаком минус) в элементарном объёме за элементарный промежуток времени. Материальный баланс РИС-П составляют на стадию химической реакции при отсутствии подачи реагентов и отвода продуктов (NAвх = NAвых= 0).
Запишем материальный баланс РИС-П по взятому в недостатке реагенту A:
Здесь NAх.р − количество (в молях) реагента A, расходуемого на протекание химической реакции в элементарном объёме за элементарный промежуток времени,
NAнак − количество (в молях) реагента A, накопленное вэлементарном объёме за элементарный промежуток времени.
Входящие в состав материального баланса РИС-П слагаемые могут быть выражены через параметры процесса следующим образом:
(здесь WA − скорость химической реакции по компоненту A, Vр − реакционный объём реактора, dτ − элементарный промежуток времени),
(здесь Vр − реакционный объём реактора, dCA − изменение концентрации реагента A в элементарном объёме за элементарный промежуток времени).
При подстановке полученных выражений в уравнение материального баланса РИС-П получим:
Преобразуем выражение, сократив на реакционный объём реактораVр:
Выразим отсюда элементарный промежуток времени dτ:
Проинтегрировав dτ на интервале от 0 до τх.р, рассчитаем полное время протекания химической реакции в РИС-П τх.р:
Учитывая, что 
, получаем характеристическое уравнение РИС-П:
Тепловой баланс РИС-П
Тепловой баланс показывает изменение количества теплоты за счёт её поступления (со знаком плюс) и расходования (со знаком минус) в элементарном объёме за элементарный промежуток времени. Тепловой баланс РИС-П составляют на стадию химической реакции при отсутствии подачи реагентов и отвода продуктов (Qвх = Qвых = 0).
Запишем тепловой баланс политермического РИС-П:
Здесь Qх.р − количество теплоты, выделяющейся (со знаком плюс) или поглощаемой (со знаком минус) при протекании химической реакции в элементарном объёме за элементарный промежуток времени,
Qт.о − количество теплоты, вносимой (со знаком плюс) в элементарный объём или отводимой (со знаком минус) из него за счёт теплообмена с теплоносителем или хладагентом за элементарный промежуток времени,
Qнак − количество теплоты, накопленное в элементарном объёме за элементарный промежуток времени.
Входящие в состав теплового баланса РИС-П слагаемые могут быть выражены через параметры процесса следующим образом:
(здесь ΔH − тепловой эффект химической реакции, WA − скорость химической реакции по компоненту A, Vр − реакционный объём реактора, dτ − элементарный промежуток времени)
(здесь Kт − коэффициент теплопередачи между теплоносителем или хладагентом и реакционной массой, F − поверхность теплообмена между теплоносителем или хладагентом и реакционной массой, ΔT− положительная разность температур между теплоносителем или хладагентом и реакционной массой, dτ − элементарный промежуток времени)
(здесь ρ − плотность реакционной массы в реакционном объёме реактора, Vр − реакционный объём реактора, cp − удельная теплоёмкость реакционной массы в реакционном объёме реактора,dT − изменение температуры в реакционном объёме реактора за элементарный промежуток времени dτ)
При подстановке полученных выражений в уравнение теплового баланса РИС-П получим:
Преобразуем выражение, разделив на реакционный объём реактораVр:
Выразим из материального баланса РИС-П скорость реакцииWA:
Подставим это выражение в тепловой баланс и разделим все слагаемые на CAo:
Учитывая, что мольная теплоёмкость с ‘ p может быть рассчитана по формуле 
, получим конечное выражение теплового баланса для политермического РИС-П:
В случае адиабатического теплового режима, характеризующегося отсутствием теплообмена реакционной смеси с теплоносителем или хладагентом (тепловая изоляция реактора), тепловой баланс РИС-П примет вид:
=> вся теплота, выделяемая или поглощаемая в ходе химической реакции, идёт на изменение температуры реакционной смеси.
В случае изотермического теплового режима, характеризующегося постоянством температуры реакционной смеси (dT = 0) получим:
=> вся теплота, выделяемая или поглощаемая в ходе химической реакции, компенсируется теплообменом с хладагентом или теплоносителем.
http://helpiks.org/3-86530.html
http://poisk-ru.ru/s27869t12.html