Общее уравнение плоскости как пересечение прямых

Уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся или две параллельные прямые.

В этой статье собрана информация, необходимая для нахождения уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся или параллельные прямые. Сначала разобран принцип составления уравнения плоскости, которая проходит через две заданные прямые, после этого приведены подробные решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Прежде чем приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, напомним одну теорему: в трехмерном пространстве через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Это утверждение является следствием из двух аксиом геометрии:

• через три различные и не лежащие на одной прямой точки проходит единственная плоскость;
• если две несовпадающие точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Таким образом, конкретную плоскость в трехмерном пространстве можно задать, указав две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Теперь покажем, что плоскость, проходящая через две заданные пересекающиеся прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья – на другой прямой.

Пусть заданные прямые a и b пересекаются в точке М . Отметим на прямой a две различные точки М₁ и М₂ (одна из них может совпадать с точкой M ), а на прямой b точку М₃ , отличную от точки М . Покажем, что плоскость М₁М₂М₃ есть плоскость, проходящая через заданные пересекающиеся прямые a и b .

Так как в плоскости М₁М₂М₃ лежат две точки прямой a (точки М₁ и М₂ ), то из озвученной в начале этого пункта аксиомы следует, что все точки прямой a лежат в плоскости М₁М₂М₃ , в частности, точка М . Тогда в плоскости М₁М₂М₃ лежат все точки прямой b , так как две несовпадающие точки прямой b (точки М и М₃ ) лежат в указанной плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и b , и плоскость, проходящая через три точки М₁ , М₂ и М₂ , совпадают.

Итак, поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , заданы две пересекающиеся прямые a и b , и требуется написать уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и b .

Сведем решение этой задачи к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Для этого нужно определить координаты двух различных точек M₁ и M₂ , лежащих на одной из заданных пересекающихся прямых, и координаты точки M₃ , лежащей на другой прямой и не являющейся точкой пересечения заданных прямых. Для нахождения координат точек М₁ , М₂ и М₃ все средства хороши. Например, можно получить параметрические уравнения прямой a в пространстве вида . Из них видны координаты точки М₁ (они получаются при ), а координаты точки М₂ можно вычислить, придав параметру любое ненулевое действительное значение (к примеру, ). После этого можно получить параметрические уравнения прямой b и при некотором значении параметра вычислить координаты точки М₃ , не забыв удостовериться, что она не является точкой пересечения заданных прямых (что она не лежит на прямой a ).

Будем считать, что координаты точек М₁ , М₂ и М₃ найдены. После этого мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и в виде . Вычислив определитель матицы вида , мы получим общее уравнение плоскости М₁М₂М₃ , которое и будет уравнением плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые a и b .

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Прежде чем получить уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые, вспомним теорему: через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Эта теорема доказывается на основе аксиомы о единственной плоскости, проходящей через три заданные точки, с использованием утверждения: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Таким образом, мы можем задать конкретную плоскость в трехмерном пространстве, указав две параллельные прямые, лежащие в этой плоскости.

Очевидно, что плоскость, проходящая через две заданные параллельные прямые, совпадает с плоскостью, проходящей через три различные точки, две из которых лежат на одной из заданных параллельных прямых, а третья лежит на другой прямой.

Теперь можно приступать к нахождению уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , заданы две параллельные прямые a и b и требуется составить уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b .

Эта задача, также как и задача о нахождении уравнения плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые, сводится к составлению уравнения плоскости, проходящей через три точки. Действительно, мы можем определить координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на одной из заданных параллельных прямых, и координаты точки М₃ , лежащей на другой прямой. После этого нам лишь нужно написать уравнение плоскости, проходящей через три точки и , в виде . Это уравнение является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через две прямые.

Итак, чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные или пересекающиеся прямые, нужно найти координаты трех различных точек, две из которых лежат на одной из заданных прямых, а третья точка – на другой прямой, после чего записать уравнение плоскости, проходящей через три точки. Покажем применение этого алгоритма при решении примеров.

Известно, что прямая a в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве проходит через точку и пересекает координатную прямую Oy в точке . Напишите уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые a и Oy .

Из условия нам известны координаты двух точек М₁ и М₂ , лежащих на прямой a . Очевидно, что точка лежит на координатной прямой Oy и не совпадает с точками М₁ и М₂ . Тогда плоскость, проходящая через три точки , и , есть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые a и Oy . Напишем ее уравнение:

.

Рассмотрим еще один пример, в котором координаты точек, лежащих на заданных пересекающихся прямых, не так очевидны.

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые a и b , заданные уравнениями и соответственно.

Сначала найдем координаты двух точек, лежащих на прямой a , и координаты точки, лежащей на прямой b .

Прямая, которую в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида , проходит через точку . Перейдем к параметрическим уравнениям этой прямой, чтобы определить координаты еще одной точки (обозначим ее М₂ ), лежащей на ней. Имеем , примем и из параметрических уравнений прямой вычислим координаты точки М₂ : . Следовательно, .

Очевидно, что прямая проходит через точку . Проверим, не является ли точка точкой пересечения заданных прямых, подставив ее координаты в уравнения прямой a : . Канонические уравнения прямой a обратились в тождества, следовательно, точка М₃ лежит на прямой a и является точкой пересечения заданных прямых. Таким образом, нам нужно взять другую точку М₃ , лежащую на прямой b , так как сейчас найденные точки М₁ , М₂ и М₃ лежат на одной прямой. Для этого мы также переходим к параметрическим уравнениям прямой b : , и вычисляем координаты точки М₃ , приняв : .

Теперь мы можем получить уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , которое является искомым уравнением плоскости, проходящей через две заданные пересекающиеся прямые:

.

Не правда ли, что нахождение координат точек, лежащих на заданных прямых, является самым трудоемким процессом при составлении уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые?

Осталось рассмотреть пример составления уравнения плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .

По параметрическим уравнениям прямой при и вычислим координаты двух точек М₁ и М₂ :

Очевидно, что прямая проходит через точку .

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁ , М₂ и М₃ :

Это уравнение и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

.

Уравнение плоскости, которая проходит через две пересекающиеся или две параллельные прямые

В данном материале мы расскажем, как правильно вычислить уравнение плоскости, которая проходит через 2 пересекающиеся или параллельные прямые. Начнем с формулировки основного принципа, а потом, как всегда, разберем несколько задач, где можно применить этот принцип на практике.

Как найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые?

Для того чтобы вывести это уравнение, нам понадобится вспомнить одну теорему. Она звучит так:

Через две пересекающиеся прямые может проходить только одна плоскость.

Доказательство этого утверждения основано на двух аксиомах:

1. через три точки с разными координатами, которые не лежат на одной прямой, проходит только одна плоскость;
2. если у нас есть две точки прямой с разными координатами, расположенные в некоторой плоскости, то все точки этой прямой находятся в этой плоскости.

В итоге мы можем утверждать, что с помощью указания двух пересекающихся прямых мы можем задать определенную плоскость в трехмерном пространстве.

Далее нам нужно доказать, что плоскость, которая проходит через две определенные прямые, совпадет с той, что проходит через три заданные точки, две из которых находятся на тех самых прямых.

Допустим, у нас есть две прямые a и b с пересечением в некой точке M . Теперь расположим на первой прямой две точки М 1 и М 2 . У них должны быть разные координаты, но при этом одна из них может совпадать с точкой пересечения. На второй прямой отметим точку М 3 (но она совпадать с точкой M не должна). Теперь нам надо показать, что плоскость, проходящая через М 1 М 2 М 3 , – это та же самая плоскость, что проходит через пересекающиеся прямые a и b .

Посмотрим на схему:

Поскольку мы имеем точки прямой a , которые находятся в плоскости М 1 М 2 М 3 ( М 1 и М 2 ), то, используя аксиому, которую мы приводили выше, можно утверждать, что все точки этой прямой находятся в данной плоскости. Все точки прямой b тоже будут находиться в ней, поскольку там расположены две несовпадающие точки данной прямой ( М и М 3 ). Таким образом, мы доказали, что плоскости, в которых лежат данные прямые, совпадают.

Теперь перейдем непосредственно к формулировке уравнения плоскости, которая проходит через пересекающиеся прямые. Возьмем a и b , которые заданы в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве и являются пересекающимися. Напишем уравнение плоскости, которая проходит через эти прямые.

Все решение можно свести к нахождению уже изученного уравнения плоскости, проходящей через три точки. Сначала нам надо найти координаты двух точек M 1 и M 2 , которые расположены на пересекающихся прямых, и точки M 3 , которая находится на другой прямой и не является точкой их пересечения. Для этого можно использовать разные способы. Так, мы можем составить параметрические уравнения для первой прямой в пространстве. В итоге получим:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Отсюда можно вывести координаты x 1 , y 1 , z 1 точки M 1 , если λ = 0 . Для М 2 эти данные можно вычислить, если придать параметру любое действительное значение, отличное от нуля, например, единицу.

Далее мы можем составить такие же параметрические уравнения для второй прямой и, используя некоторое значение параметра, высчитать координаты М 3 . Важно проверить, чтобы она не лежала в точке пересечения прямых и вообще не находилась на прямой a .

Итак, мы нашли координаты всех нужных точек – М 1 , М 2 и М 3 . Переходим к написанию уравнения плоскости, которая через них проходит. Запишем:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

Теперь найдем определитель матрицы x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 и получим общее уравнение для нужной нам плоскости, которая будет проходит через две заданные прямые a и b .

Как найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые?

Для этого нам понадобится вспомнить теорему, которая формулируется так:

Через две параллельные прямые проходит только одна плоскость.

Ее можно доказать, используя аксиому о единственной плоскости, которая проходит через три точки, а также утверждение о двух параллельных прямых (если одна из параллельных прямых пресекает некоторую плоскость, то это же делает и другая).

Итак, возможно задать плоскость в пространстве, если указать две параллельные прямые, которые в ней находятся.

Очевиден тот факт, что плоскость, которая проходит через 2 параллельные прямые и плоскость, которая проходит через три точки, две из которой лежат на одной из этих прямых, будут совпадать.

После этого мы можем найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, которая обозначается O x y z . Составим уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b .

Сводим задачу опять же к нахождению уравнения для плоскости с тремя точками. В самом деле, можно определить, какие точно координаты будут иметь М 1 и М 2 , лежащие на одной из параллельных прямых, и М 3 , расположенная на другой прямой. После этого просто запишем нужное нам уравнение для плоскости, проходящей через три точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в следующем виде:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, проходящей через заданные параллельные прямые.

Примеры задач на нахождение подобных уравнений

Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через 2 пересекающиеся или параллельные прямые, требуется вычислить координаты трех точек, которые расположены на этих прямых (две точки на одной прямой и третья на другой). Посмотрим, как это принцип реализуется на практике.

У нас задана прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Расположенная в ней прямая a проходит через точку M 1 ( — 3 , 1 , — 4 ) и пересекает координатную прямую O y в точке M 2 ( 0 , 5 , 0 ) . Составьте уравнение плоскости, которая будет проходить через пересекающиеся a и O y .

Решение

Изначально у нас заданы координаты двух точек, которые расположены на исходной прямой. Для составления уравнения нам нужна третья. Возьмем точку начала координат O ( 0 , 0 , 0 ) . Она расположена на O y и не совпадает с координатами двух точек, которые были заданы в условии. Та плоскость, что будет проходить через них, и есть та, для которой нам надо вывести уравнение. Запишем его в координатном виде:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 0 y — 0 z — 0 — 3 — 0 1 — 0 — 4 — 0 0 — 0 5 — 0 0 — 0 = 0 ⇔ ⇔ x y z — 3 1 — 4 0 5 0 = 0 ⇔ 20 x — 15 z = 0 ⇔ 4 x — 3 z = 0

Ответ: 4 x — 3 z = 0 .

Возьмем более сложный пример, где координаты нужных точек не будут столь очевидными.

У нас есть две пересекающиеся прямые a и b , которые заданы с помощью уравнений.

x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 x — 3 1 = y — 2 — 3 = z — 1 5

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через них.

Решение

Начнем с вычисления координат трех необходимых точек. Две из них расположены на прямой a , третья – на b .

Прямая в условии задана с помощью канонических уравнений в пространстве вида x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 , следовательно, она будет проходить через точку x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 .

Для вычисления координат второй точки нам надо записать параметрическое уравнение:

x — 7 4 = y — 7 5 = z + 5 — 6 ⇔ x = 7 + 4 · λ y = 7 + 5 · λ z = — 5 — 6 · λ

Если мы примем λ = 1 , то сможем подсчитать координаты второй точки:

x = 7 + 4 · λ y = 7 + 5 · λ z = — 5 — 6 · λ ⇔ x = 11 y = 12 z = — 11

Мы получили, что M 2 ( 11 , 12 , — 11 ) .

Понятно, что прямая, заданная с помощью уравнения x — 3 1 = y — 2 — 3 = z — 1 5 , будет проходить через точку M 3 ( 3 , 2 , 1 ) . Перед вычислениями надо проверить, не лежит ли она в точке пересечения прямых. Для этого надо подставить ее координаты во второе уравнение:

3 — 7 4 = 2 — 7 5 = 1 + 5 — 6 ⇔ — 1 ≡ — 1 ≡ — 1

Мы видим, что канонические уравнения прямой свелись к тождествам. Тогда наша третья точка лежит именно в месте пересечения прямых, значит, нам надо взять еще одну, которая будет находится на прямой b . Для этого также запишем параметрические уравнения:

x — 3 1 = y — 2 — 3 = z — 1 5 ⇔ x = 3 + μ y = 2 — 3 · μ z = 1 + 5 · μ

Высчитаем нужные координаты, приняв μ = 1 .

x = 3 + 1 y = 2 — 3 · 1 z = 1 + 5 · 1 ⇔ x = 4 y = — 1 z = 6 ⇔ M 3 ( 4 , — 1 , 6 )

Далее мы можем переходить непосредственно у формулированию уравнения нужной нам плоскости, которая будет проходить через M 1 ( 7 , 7 , — 5 ) , M 2 ( 11 , 12 , — 11 ) , M 3 ( 4 , — 1 , 6 ) :

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 7 y — 7 z — ( — 5 ) 11 — 7 12 — 7 — 11 — ( — 5 ) 4 — 7 — 1 — 7 6 — ( — 5 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 7 y — 7 z + 5 4 5 — 6 — 3 — 8 11 = 0 ⇔ 7 x — 26 y — 17 z + 48 = 0

Ответ: 7 x — 26 y — 17 z + 48 = 0 .

Очевидно, что процесс вычисления координат нужных нам точек занимает больше всего времени при решении подобных задач.

Нам осталось разобрать пример плоскости, которая проходит через две прямые, являющиеся параллельными.

Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две параллельные прямые. Они выражены с помощью уравнений x = 2 · λ y = 1 + λ z = — 1 — λ и x — 3 2 = y 1 = z + 5 — 1 .

Решение

Вычисляем координаты двух нужных точек по параметрическим уравнениям, приняв λ = 0 и λ = 1 .

λ = 0 : x = 2 · 0 y = 1 + 0 z = — 1 — 0 ⇔ x = 0 y = 1 z = — 1 ⇔ M 1 ( 0 , 1 , — 1 ) λ = 1 : x = 2 · 1 y = 1 + 1 z = — 1 — 1 ⇔ x = 2 y = 2 z = — 2 ⇔ M 2 ( 2 , 2 , — 2 )

У нас получается, что прямая x — 3 2 = y 1 = z + 5 — 1 будет проходить через точку M 3 ( 3 , 0 , — 5 ) .

Переходим к уравнению плоскости для трех точек М 1 , М 2 и М 3 :

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 0 y — 1 z — ( — 1 ) 2 — 0 2 — 1 — 2 — ( — 1 ) 3 — 0 0 — 1 — 5 — ( — 1 ) = 0 ⇔ ⇔ x y — 1 z + 1 2 1 — 1 3 — 1 — 4 = 0 ⇔ — 5 x + 5 y — 5 z — 10 = 0 ⇔ x — y — z + 2 = 0

Ответ: x — y — z + 2 = 0 .

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

,

(5)

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

.

(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

.

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

.

(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.

(10)

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

.

(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

.

(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(14)

(15)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(17)

(18)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.