Общее уравнение поверхности первого порядка

Порядок поверхности.

В пространстве аналитическая геометрия изучает поверхности, которые в прямоугольных декартовых координатах определяются алгебраическими уравнениями первой, второй и т.д. степени относительно X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Аx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

и т.п. Порядок уравнения называется порядком поверхности им определяемой. Мы уже видели, что уравнение первого порядка (линейное) (1) всегда задаёт плоскость — это единственная поверхность первого порядка. Поверхностей второго порядка уже много. Рассмотрим наиболее важные из них.

§2. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей.

Пусть в плоскости XОY, например, задана некоторая линия L, её уравнение есть F(x,y)=0 (1) . Тогда множество прямых, параллельных оси oz (образующие) и проходящих через точки на L, образуют поверхность S, называемую цилиндрической поверхностью.

Покажем, что уравнение (1), не содержащее переменной z, и есть уравнение этой цилиндрической поверхности S. Возьмём произвольную точку М(x,y,z), принадлежащую S. Пусть образующая, проходя через М пересекает L в точке N. Точка N имеет координаты N(x,y,0), они удовлетворяют уравнению (1), т.к. (·)N принадлежит L. Но тогда и координаты (x,y,z,) удовлетворяют (1), т.к. оно не содержит z. Значит, координаты любой точки цилиндрической поверхности S удовлетворяют уравнению (1). Значит, F(x,y)=0 — уравнение этой цилиндрической поверхности. Кривая L называется направляющей (кривой) цилиндрической поверхности. Заметим, что в пространственной системе L должна задаваться, вообще-то, двумя уравнениями F(x,y)=0 , z=0, как линия пересечения.

1) Если направляющей служит окружность x²+y²=R², то соответствующая поверхность называется круговым цилиндром.

2)
Уравнения , , задают в пространстве соответственно эллиптический цилиндр, параболический цилиндр, гиперболический цилиндр.

Направляющими в плоскости хоу являются эллипс, парабола, гипербола. Очевидно, уравнения F=(y,z)=0 и F(x,z)=0 задают соответственно цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси OX и OY. Их направляющие лежат в плоскостях YOZ и XOZ соответственно.

Замечание. Цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка. Например, есть цилиндрическая поверхность 3го порядка, а уравнение y=sin(x) задаёт синусоидальный цилиндр, которому никакого порядка не приписывают, это вообще, не алгебраическая поверхность.

Уравнения поверхности и линии в пространстве с примерами решения

Содержание:

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Определение: Уравнение м поверхности в пространстве Oxyz называется такое уравнение между переменными х, у у z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. То есть если

— уравнение поверхности Р (рис. 189), то при М(х, у, z)

Таким образом, уравнение (1) выполнено тогда и только тогда, когда точка М(х, у, z) принадлежит данной поверхности. Координаты произвольной точки поверхности называются текущими координатами точки. Поэтому составить уравнение поверхности — это значит найти связь между текущими координатами ее точек.

Пример (уравнения координатных плоскостей):

Каждая точка М(х, у, z), лежащая на координатной плоскости Oyz, имеет абсциссу х = 0; обратно, если для какой-нибудь точки М(х, у, z) абсцисса ее х = 0, то эта точка расположена на плоскости Oyz. Следовательно,

— уравнение координатной плоскости Oyz. Аналогично,

— соответственно уравнения координатных плоскостей Oxz и Оху.

Формула обозначает, что точка М принадлежит Р. Формула обозначает, что точка N не принадлежит Р.

В более общем случае

— уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответствующим координатным осям Ох, Оу, Ог и отсекающих на них отрезки, численно равные

Теорема: Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны координатной оси, не содержит текущей координаты, одноименной с этой координатной осью, и обратно.

Доказательство: Пусть, например, цилиндрическая поверхность Р образована перемещением прямой (образующая) вдоль заданной линии L, лежащей в плоскости Оху (направляющая) (рис. 190).

Обозначим через М(х, у, z) точку поверхности Р с текущими координатами х, у и z. Образующая MN, проходящая через точку М, пересекает направляющую, очевидно, в точке N(x, у, 0).

— уравнение направляющей L в координатной плоскости Оху. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки N. Так как точка М поверхности Р имеет ту же самую абсциссу хиту же самую ординату у, что и точка N, а переменная г в уравнение (3) не входит, то координаты точки М также удовлетворяют уравнению (3). Таким образом, координаты любой точки М(х, у, z) поверхности Р удовлетворяют уравнению (3). Обратно, если координаты какой-нибудь точки М(х, у, z) удовлетворяют уравнению (3), то эта точка расположена на прямой MN || Оz такой, что ее след на плоскости Оху, точка N(x, у, 0), лежит на линии L, а значит, точка М принадлежит цилиндрической поверхности Р. Следовательно,

является уравнением цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz, причем в этом уравнении отсутствует координата z.

Пример (уравнение эллиптического цилиндра):

Эллиптический цилиндр, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и b, а осью служит ось Оz (рис. 191), на основании предыдущей теоремы имеет уравнение

В частности, при а = b получаем уравнение кругового цилиндра

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух данных поверхностей (рис. 192). Точка , лежащая на линии L, принадлежит как поверхности так и поверхности , и, следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих поверхностей.

Поэтому под уравнениями линии в пространстве понимается совокупность двух уравнений:

являющихся уравнениями поверхностей, определяющих данную линию.

Не нужно думать, что для нахождения уравнений линий систему (4) следует «решить». Этого, вообще говоря, нельзя сделать, так как число уравнений системы (4) меньше числа неизвестных. Точный смысл, который придается равенствам (4), следующий: линии L принадлежат те и только те точки , координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям системы (4).

Заметим, что данную линию можно по-разному задавать как пересечение поверхностей. Поэтому линии в пространстве соответствует бесчисленное множество равносильных между собой систем уравнений.

Определение: Уравнениями линии в пространстве называется такая пара уравнений между переменными , которой удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на данной линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Пример (уравнения координатных осей):

Ось Ох можно, рассматривать как пересечение координатных плоскостей Оху и Oxz. Поэтому

— уравнения оси Ох. Аналогично,

— уравнения осей Оу и Oz соответственно.

Пример:

Написать уравнения окружности Г радиуса R = 1, центр которой находится в точке С(0, 0, 2) и плоскость которой параллельна координатной плоскости Оху (рис. 193).

Решение:

Окружность Г можно рассматривать как пересечение кругового цилиндра радиуса 1 с осью Oz и горизонтальной плоскости, расположенной выше координатной плоскости Оху на две единицы. Поэтому уравнения данной окружности есть

В механике линию L часто рассматривают как след движущейся точки (рис. 194). Пусть х, у, z — текущие координаты точки М линии L. Так как с течением времени точка М перемещается и ее координаты меняются, то они являются функциями времени t. Следовательно, имеем

где — некоторые определенные функции. Обобщая уравнения (5), под t понимают вспомогательную переменную (параметр)> не обязательно время; поэтому уравнения (5) носят название параметрических уравнений линии в пространстве.

Исключая из уравнений (5) параметр t, мы получим два соотношения между текущими координатами х, у и z, которые представляют собой уравнения некоторых поверхностей, проходящих через данную линию.

Пример:

Написать уравнения винтовой линии радиуса а и шага (рис. 195).

Решение:

Пусть М (х, у, z) — текущая точка винтовой линии, М’ (х, у, 0) — ее проекция на плоскость Оху.

Приняв за параметр и учитывая, что аппликата г винтовой линии растет пропорционально углу поворота t, будем иметь

Для определения коэффициента пропорциональности b положим ; тогда . Следовательно,

Исключая параметр t из первого и второго, а также из первого и третьего уравнений (6), получаем

Следовательно, винтовая линия представляет собой пересечение кругового цилиндра с образующими, параллельными оси Oz, и цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Оу, и имеющей своей направляющей косинусоиду, лежащую в плоскости . Из уравнений (6′) также вытекает, что проекция винтовой линии (6′) на координатную плоскость Оху есть окружность, а на координатную плоскость — косинусоида.

Текущую точку кривой L можно характеризовать ее радиусом-вектором («следящий радиус-вектор») (рис. 196)

( — орты). Тогда из (5) получаем векторное уравнение линии

— так называемая вектор-функция скалярного аргумента t.

В механике в качестве параметра t обычно берут время. В таком случае линию (7) называют траекторией точки М(х, у, z).

Множество всех точек М(х, у, г) пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (или системе уравнений), называется геометрическим образом (графиком) данного уравнения (или системы уравнений).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует уравнению

Решение:

Из уравнения (8) получаем или . Следовательно, графиком уравнения (8) является пара плоскостей, параллельных координатной плоскости Оху и отстоящих от нее на расстояниях, равных единице (рис. 197).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует паре уравнений

Решение:

Искомый график представляет собой пересечение плоскостей х = 2 и у = 3 и, следовательно, является прямой линией, параллельной оси Oz и имеющей след N (2, 3, 0) на координатной плоскости Оху (рис. 198).

• Общее уравнение плоскости
• Угол между плоскостями
• Понятие о производной вектор-функции
• Криволинейные интегралы
• Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
• Линии второго порядка
• Полярные координаты
• Непрерывность функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Алгебраические уравнения поверхностей

Напомним, что многочленом степени одной переменной называется выражение вида

где — действительные числа (коэффициенты многочлена), — старший коэффициент, — свободный член. Степень многочлена обозначается .

Многочленом трех переменных называется выражение вида

называется степенью многочлена трёх переменных.

Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида

где — многочлен трех переменных .

Уравнение вида (4.11) называется алгебраическим уравнением с тремя неизвестными. Степенью уравнения (4.11) называется степень многочлена . Одна и та же поверхность может быть задана уравнением вида (4.11) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической поверхности называется наименьшая из степеней этих многочленов.

Всякую неалгебраическую поверхность называют трансцендентной.

В примере 4.1,а,б,в,г — поверхности алгебраические: а — первого порядка. б,в,г — второго порядка. Примером трансцендентной поверхности служит цилиндрическая поверхность (см. рисунок), образующие которой, параллельные оси , пересекают координатную плоскость в точках синусоиды . Эту линию нельзя задать уравнением вида (4.11).

Теорема (4.1) об инвариантности порядка алгебраической поверхности

Если в некоторой аффинной системе координат в пространстве поверхность задана уравнением (4.11), то и в любой другой аффинной системе координат эта поверхность задается уравнением того же вида (4.11) и той же степени. Другими словами, порядок алгебраической поверхности является инвариантом (остается неизменным в любой аффинной системе координат).

Теорема доказывается аналогично теореме 3.1.

В аналитической геометрии в пространстве изучаются:

– алгебраические поверхности первого порядка , описываемые алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными

– алгебраические поверхности второго порядка , описываемые алгебраическим уравнением второй степени с тремя неизвестными

1. Теорема 4.1 фактически выражает свойство многочленов: при линейной невырожденной замене переменных

где , степень многочлена не изменяется.

2. Алгебраическое уравнение (4.11) может не иметь действительных решений. Например, в пространстве нет точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Однако в области комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому каждое алгебраическое уравнение (4.11) вида , где задает некоторую алгебраическую поверхность в трехмерном комплексном пространстве (см. пункт 2 замечаний 2.9). Если все точки этой поверхности вещественные (действительные), т.е. а то поверхность называют вещественной (действительной). В противном случае поверхность называют мнимой.

3. Алгебраическими неравенствами с тремя неизвестными называются неравенства вида

где — многочлен трех переменных . Степенью алгебраического неравенства называется степень многочлена .

4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенства) первой степени называются линейными.

5. Многочлен второй степени

называется также квадратичной функцией трех переменных; многочлен

называется квадратичной формой (квадратичной частью функции), многочлен — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент — свободным членом. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнения алгебраических преобразований.

6. Квадратичную функцию (см. пункт 5) можно записать:

а) в матричном виде

где — матрица квадратичной функции; — расширенный (дополненный единицей) столбец переменных;

б) выделяя квадратичную и линейную части:

где — матрица квадратичной формы, — столбец коэффициентов линейной формы, — столбец переменных.

Матрицы и называются также матрицами малой и большой квадратичных форм квадратичной функции .

7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются квадратичными (квадратными).

8. Теорема 4.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем координат на плоскости. Напомним, что преобразования прямоугольных систем координат являются ортогональными (см. пункт 5 замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим преобразованиям линейные замены переменных (см. пункт 1) с ортогональной матрицей называются ортогональными (неоднородными при или однородными при ). Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат .