Общее уравнение равновесия жидкости уравнение эйлера

Дифференциальные уравнения Эйлера равновесия жидкости

В покоящейся однородной жидкости расположим декартовы оси координат произвольным образом. В первом квадранте выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными соответствующим осям координат (рис. 3.3). Предположим, что жидкость в нем затвердела. Тогда на грани параллелепипеда действуют силы давления dF_1…6 от окружающей жидкости, а в его центре масс (точка О) приложена равнодействующая всех массовых сил dG. Для покоящейся жидкости dG является силой тяжести. При таких допущениях условия равновесия не нарушаются. Рассмотрим условия равновесия данного параллелепипеда для оси Х:

. (3.7)

Обозначим давление в центре масс параллелепипеда через р. Тогда в соответствии с уравнением (3.3) давление в точке приложения силы dF₁ (точка А) будет равно . Соответственно, давление в точке приложения силы dF₂ (точка В) давление будет равно . Так как площадь грани, на которую действует сила dF₁, бесконечно мала, то давление в точках А и В можно считать средним гидростатическим давлением, действующим на соответствующие грани. Тогда:

, а .

Равнодействующая всех массовых сил dG равна:

где j – ускорение, вызванное силой dG.

Тогда проекция dG на ось Х будет иметь вид:

Подставим соответствующие значения проекций сил в уравнение (3.7) и разделим на ρ dx dy dz. В результате получим:

Проведя аналогичные рассуждения для осей Y и Z получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера:

(3.8)

Для удобства практического использования вместо системы уравнений (3.8) получим одно эквивалентное уравнение. Для этого умножим первое уравнение системы (3.8) на dx, втрое – на dy , третье – на dz и сложим эти уравнения. В результате получим:

(3.9)

Трехчлен, находящийся в скобках, является полным дифференциалом давления dp (см. 3.3). С учетом этого уравнение (3.9) примет вид:

(3.10)

Уравнение (3.10) получено Эйлером в 1755 г. называют дифференциальным уравнением равновесия жидкости или основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Уравнение (3.10) справедливо также и для газа при совместном использовании с уравнением Клапейрона – Менделеева (2.12).

Дата добавления: 2016-01-26 ; просмотров: 1734 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера). пусть p = p (x, y, r) давление жидкости. выделим куб в жидкости с бесконечно малыми ребрами bx, boo, bg и рассмотрим его равновесие под действием объемных и поверхностных сил(рис.2.2). сделайте сумму проекций на оси x равной нулю bhb Все силы, действующие на куб. ВХ Б Б 2 Плотность распределения массовых(объемных) сил выражается через Γ=(Cx, Gu, Gg), а объемные силы, действующие на куб, проецируются на ось x, равную Ghrbhubg.

Поскольку напряжение сдвига в гидростатических условиях равно нулю, поверхностные силы, перпендикулярные оси y и оси 2, дают нулевую проекцию на ось X. Людмила Фирмаль

• Внутри куба(с учетом того, что он мал) разложение P (x, y, r) ряда Тейлора предполагает, что могут рассматриваться только члены, линейно зависящие от приращения координат. давление на левой стороне куба, перпендикулярной оси x, представлено p ( \ , y, 2) , но давление на правой стороне равно Тридцать Равный p + (3x. если рассматривать эти аспекты как основную область dx Лицо-это P c! Y будет равно yg, правая сторона /P + -^ 3x / память 32 。О Коэффициент давления, то проекция на ось Х давления слева.

• В этом случае проекция всех поверхностных сил на ось x будет равна Р 1год-^ р + с! х | yudg =-^ о 1г мкг. сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Х равна нулю: Гр р О ВН да. ^О с! Г г = 0.(2.10)） ГР Отделения больницы ГГ Р ДХ -=0; 1 др р ДГ = 0. (2.11） Если все члены разделить на ryhbubg, мы получим первое уравнение равновесия. Если вы оцениваете другие 2 уравнения аналогичным образом и проецируете силу на ось y и ось 2.

Вы получаете систему дифференциальных уравнений жидкого покоя (гидростатические уравнения Эйлера). Людмила Фирмаль

• Введем единичные векторы 1,\ и K, соответствующие осям Х, Y и R. 1 = 0,0、0）、] =（0、1,0）、k =(0,0, 1). (2.12） Гх> +ГУ1+Г2к F. F. Ф, п, п,+ -) + к1=° dh. дециграмм Умножьте уравнения системы (2.11)на 1.] и k соответственно и сложите их. Возьми Или в векторном формате Г -§ 11р = 0.(2.13） П Газ! п = F 1 dh. (2.14） Векторное уравнение (2.13) эквивалентно системе из 3 уравнений (2.12).Где вектор§gas1p определяется проекцией на координатные оси вида: EGA 3 p = F dr Er] ж » до » dg / (2.15） Тридцать одна В формате матрицы.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института