Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности
При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.
Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:
Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.
Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.
Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть Ux CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t — kSUx(x, t)∆t.
Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:
Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид
Ut = a 2 Uxx,
где 
— коэффициент температуропроводности.
В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности
Начальные условия и граничные условия.
Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.
Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g1(t) ≡ Т1 и g2(t) ≡ Т2, где Т1 и Т2 — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т1= Т2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g1(t) = g2(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:
Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h1 > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g1(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:
Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.
Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h1, очень большой.
Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:
Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.
Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:
Найти решение уравнения
удолетворяющее граничным условиям
и начальному условию
Решим эту задачу методом Фурье.
Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).
Найдем частные производные:
Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:
По основной лемме получим
Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:
Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля
Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.
Собственные значения равны
Собственные функции равны (См. решение задачи)
Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:
Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):
В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация
Шаг 5. Определим коэффициенты An в (19), используя начальное условие (17):
Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам
Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).
Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения Ut = a 2 Uxx. Оно будет иметь вид
где 
Краевые условия для уравнения теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности в однородных изотропных средах в терминах математической физики есть неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа (первого порядка по времени и второго порядка по пространственным координатам). Если внутренние тепловыделения 
зависят от температуры
, то уравнение теплопроводности будет нелинейным, если плотность внутренних источников теплоты зависит от температуры нелинейным образом. Если же плотность внутренних источников теплоты пропорциональна первой степени температуры или не зависит от температуры, то уравнение теплопроводности будет либо линейным, либо квазилинейным, оставаясь, тем не менее, уравнением параболического типа.
Как бы то ни было, любое дифференциальное уравнение может дать однозначное решение только если заданы условия однозначности. В случае дифференциального уравнения параболического типа должно быть задано начальное условие
Что касается граничных условий, то-есть условий теплообмена на границе рассматриваемого объёма с окружающей (контактирующей с ним) средой, то здесь имеют место несколько (а именно, четыре) возможностей, каждая из которых характеризует тот или иной тип теплового взаимодействия с внешней средой. Эти возможности обычно нумеруются римскими цифрами. Перечислим их.
I. Граничные условия I рода
В этом случае задаётся распределение температур на физической границе рассматриваемого объёма, т.е. задаётся функция координат поверхности и времени
II. Граничные условия II рода
Задаётся плотность теплового потока на границе рассматриваемого тела, что позволяет записать
Такие граничные условия обычно имеют место при решении задач теплопроводности в твёрдых телах с теплообменом излучением на границах. Чаще всего такие задачи возникают при решении задач в металлургической теплотехнике, в астрофизике и т.д.
III. Граничные условия III рода
Граничные условия III рода наиболее распространены при решении задач теплопроводности в энергетике, в металлургии и в химической технологии.
Граничные условия III рода описывают в математической форме условия теплообмена внешней поверхности твёрдого тела с контактирующей с ним жидкостью или газом, т.е. со средами, допускающими конвективные движения с перемешиванием.
Математическая формулировка граничных условий III рода базируется на гипотезе (законе) Ньютона-Рихмана, согласно которой тепловой поток с поверхности к омывающей её жидкости пропорционален разности температур, т.е.
Здесь 
есть по определению коэффициент теплоотдачи, представляющий собой количество теплоты, снимаемое в единицу времени с единичной поверхности при единичной разности температур.
Экспериментальное обоснование гипотезы Ньютона-Рихмана состоит в том, что, как показывают экспериментальные исследования, количество теплоты, снимаемое с поверхности твёрдого тела, прямо пропорционально поверхности и разности температур поверхности и жидкости вдали от неё (как говорят, в ядре потока). Нахождение величины коэффициента теплоотдачи 
является задачей экспериментальной теплофизики (вплоть до теоретических исследований) и будет обсуждено в дальнейшем изложении курса. В задачах теплопроводности значения коэффициентов теплоотдачи будут считаться заданными и постоянными.
IV. Граничные условия IV рода
Граничные условия IV рода задают условия теплообмена на границе контакта твёрдых поверхностей. В частности, если контакт твёрдых поверхностей неидеален, то на границе их контакта в математическом смысле будет иметь место скачок температуры 
, а при наличии тепловыделения на поверхностях контакта будет иметь место дополнительный поток тепла 
. В этом случае граничные условия математически запишутся в виде
Комплекс краевых, физических и геометрических условий к уравнению теплопроводности
Для полного математического описания процесса кроме уравнения теплопроводности необходимы условия однозначности:
— временные (начальные) условия Т = f(x, y, z) при t = 0;
— граничные условия – характеризуют условия взаимодействия с окружающей средой.
Граничные условия:
1-го рода — задается распределение температур на поверхности
2-го рода — задается значения теплового потока на поверхности. Пример — пленка резистора.
3-го рода – задается температура жидкой среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой (закон Ньютона – Рихмана).
где a — коэффициент теплоотдачи (в общем случае зависит от температуры)
или — (¶Т/¶n)с = a/l(Тс – Тж) – частный случай закона сохранения энергии
4-го рода – условия сопряженности – условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела.
где qs – источник теплоты на поверхности границы
Поставленная таким образом задача решается аналитически, численно или экспериментально.
Теплопроводность в стационарном режиме
При установившемся (стационарном) тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Если внутренние источники теплоты отсутствует, то:
.
Рассмотрим теплопроводность в телах простейшей формы.
Плоская стенка (qv = 0). Граничные условия 1-го рода
Пусть для плоской стенки l = l0(1 + bТ),
где l0 – значение коэффициента теплопроводности при 0°С.
На основании закона Фурье
. (а)
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от х = 0 до х = d в интервале температур от Тс1 до Тс2, получаем:
.
Среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности:
.
Тогда, плотность теплового потока выразится:
.
Интегрируя (а) в пределах от х = 0 до любой координаты х и в интервале температур от Тс1 до Т, получаем:
Температура изменяется по кривой:
.
Плоская стенка (qv = 0). Граничные условия третьего рода (теплопередача)
Передача тепла из одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.
Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде.
Рис. 4 Теплопередача через плоскую стенку
На рис. 4 показана — плоская стенка толщиной d; Тж1 и Тж2 — температуры окружающей среды; a1 и a2 — коэффициенты теплоотдачи (постоянные). Температура изменения только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки.
Необходимо найти: тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхностях стенки.
Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется уравнением:
. (1)
При стационарном режиме тот же тепловой поток пройдет путем теплопроводности через твердую стенку:
. (2)
Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи:
. (3)
Эти уравнения можно написать в виде:
.
Отсюда плотность теплового потока, Вт/м 2 :
.
Коэффициент теплопередачи, Вт/(м 2 К):
.
Он характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку.
Термическое сопротивление теплопередачи:
Плотность теплового потока выразится:
.
.
Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из уравнений (1), (2), (3):
;
или
.
(аналогично с электрическим током и напряжением)
Цилиндрическая стенка (qv = 0)
Уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах:
Рис. 5 Теплопроводность цилиндрической стенки
Найти: 1) распределение температур; 2) тепловой поток
.
Граничные условия 1-го рода:
Введем новую переменную 
Þ
Þ 
Интегрируем: 
Þ 
.
Потенцируя и переходя к первоначальной переменной
Þ 
.
После интегрирования получаем:
.
Из граничных условий находим постоянные интегрирования:
; 
.
Уравнение температурного поля:
.
Плотность теплового потока зависит от радиуса (гиперболическая кривая) (рис. 5):
.
Тепловой поток не зависит от радиуса, так как:
,
где 
— площадь боковой поверхности цилиндра.
Линейная плотность теплового потока:
.
Термическое сопротивление цилиндрической стенки:
При 
линейна плотность теплового потока выразится, как:
,
где 
.
Температурное поле находим из уравнения закона Фурье.
(разделяем переменные и интегрируем от r = r1 до r и от Т = Тс1 до Т).
.
Цилиндрическая стенка (qv = 0). Граничные условия третьего рода (теплопередача).
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубку) с постоянным коэффициентом теплопроводности l (рис. 6).
Предполагаем, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь. При установившемся тепловом режиме количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же.
Рис. 6 Теплопередача через однородную цилиндрическую стенку
Тепловой поток при теплопередаче через цилиндрическую стенку можно выразить:
Выразим температурные напоры:
Складывая уравнения, получаем температурный напор:
.
Откуда линейная плотность теплового потока находится:
.
Линейный коэффициент теплопередачи:
, Вт/(м∙К)
Линейная плотность теплового потока:
.
Линейное термическое сопротивление:
.
Отметим, что линейное термическое сопротивление зависит не только от коэффициентов теплоотдачи a1, a2, но и от соответствующих диаметров.
Критический диаметр цилиндрической стенки
Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки
.
При постоянных значениях a1, d1, a2 , l полное термическое сопротивление теплопередачи цилиндрической стенки будет зависеть от внешнего диаметра d2.
Причем термическое сопротивление теплопроводности 
с увеличением d2 будет возрастать, а термическое сопротивление теплоотдачи 
будет уменьшаться (рис. 7).
Для того чтобы выяснить, как будет изменяться Rl при изменении толщины цилиндрической стенки, исследуем Rl как функцию d2.
Возьмем производную от Rl по d2 и приравняем нулю:
.
.
При данном значении диаметра термическое сопротивление теплопередачи будет минимальным.
Рис. 7 Зависимость термического сопротивления цилиндрической стенки от d2
Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минимальному полному термическому сопротивлению теплопередачи, называется критическим диаметром
.
Эти соображения необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции цилиндрических аппаратов и трубопроводов. При d2
http://helpiks.org/6-22397.html
http://lektsii.org/7-6559.html