Общие методы решения уравнений с параметрами

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Методы решения задач с параметрами

Задачи с параметрами являются одним из самых трудных разделов школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить сложные, разветвленные логические построения. В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции и линейного уравнения; при изучении квадратного уравнения и исследования количества его корней в зависимости от значений параметра.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ Автор работы: Ехлаков Д. Н. 10 класс Лицей МГУ им. Н. П. Огарева Руководитель работы: Кубанцева А. В. учитель математики Лицей МГУ им Н. П. Огарева Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва» Саранск, 2021 Секция: Научно-исследовательская работа Направление: Естественные науки

Актуальность темы: Статистика решения задачи №18 на ЕГЭ по профильной математике Цель работы: исследование методов решения задач с параметрами и выявление наиболее рациональных, наименее трудоемких способов решения. Задачи: 1. Познакомится с определением параметра и видами задач, содержащие параметры; 2. Исследовать способы решения задач с параметрами и постараться выбрать из них для себя самые оптимальные; 3. Приобрести опыт в решении задач, содержащиеся в ЕГЭ по профильной математике. Год Проверяемые требования Уровень сложности задания Максимальный балл за выполнение задания Средний процент выполнения 2017 Умение решать уравнения и неравенства, содержавшие параметр Высокий уровень сложности 4 0,38 2018 1,2 2019 4,8 2020 2,4 Гипотеза: существуют общие методы решения заданий с параметрами, позволяющие решать задания разных видов. Объект исследования : задания контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике, содержащие параметр. Предмет исследования : методы решения заданий с параметрами. Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач. Практическая значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработка решения задач, содержащих параметры.

Основные типы задач с параметрами: Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка. Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра. Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений . Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Основные методы решения задач с параметрами: Аналитический. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Графический. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a). Решение относительно параметра. Переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та, относительно которой аналитическое решение признается более простым. Аналитический метод Графический метод Метод решения относительно параметра Метод оценки Метод мажорант Метод симметричных корней Методы решения задач с параметрами:

Структура решения задач с параметром Приемы решения задач с параметром графическим методом В координатной плоскости (хОу) В координатной плоскости (хОа) 1. Строим график функции у=f(х;а), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а. 2. Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой. 3. Читаем график и находим необходимый графический образ . 1. Записываем уравнение F(x;a) = 0 в виде а = f (x) и строим график этой функции. 2. Находим точки пересечения графика функции a = f(x) с прямыми вида a = a0, параллельными оси Ох. 3. Выбираем абсциссы точек пересечения, определяющие решения в соответствии с условием задачи. « … 10 из 100 математиков мыслят формулами… Но остальные мыслят образами; их интуиция геометрическая. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. В течение многих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что «они не строгие»… Да, они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать» Ян Стюарт Аналитический метод решения задач с параметрами Задачи, в которых расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой Условие а ˃0 обеспечивает положительный коэффициент перед х 2 (направленность ветвей параболы вверх); Условие f ( m )˂0 обеспечивает: наличие корней квадратного трехчлена; расположение точки m между корнями. Условие а ˃ 0 обеспечивает положительный коэффициент перед х 2 ; Условие f (m) ˃ 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями; Условие D ˃ 0 обеспечивает наличие корней уравнения; Условие х 0 ˃ m обеспечивает расположение точки m левее отрезка между корнями. Условие a ˃ 0 обеспечивает положительный коэффициент перед х 2 ; Условие f (m) ˃ 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями; Условие D ˃ 0 обеспечивает наличие корней уравнения; Условие х 0 ˂ m обеспечивает расположение точки m правее отрезка между корнями. оба корня меньше m ; один корень меньше m , а другой больше; оба корня больше m . корни квадратного трехчлена справа от отрезка; Условие f (p) ˃ 0 обеспечивает нахождение корней вне отрезка между корнями; Условие D ˃ 0 обеспечивает наличие двух корней квадратного трёхчлена; Условие x 0 ˃ p обеспечивает расположение отрезка левее абсциссы вершины. Условие f (m) ˃ 0 обеспечивает нахождение корней вне отрезка между корнями; Условие D ˃ 0 обеспечивает наличие корней уравнения; Условие x 0 ˂ m обеспечивает расположение отрезка m правее отрезка между корнями. Условие f (m) ˂ 0 обеспечивает расположение точки m внутри отрезка между корнями; Условие f (p) ˃ 0 обеспечивает расположение корней вне отрезка между корнями. Условие f (p) ˂ 0 обеспечивает расположение точки p внутри отрезка между корнями; Условие f (m) ˃ 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями. Условие f (m) ˃ 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями; Условие f (p) ˃ 0 обеспечивает расположение точки p вне отрезка между корнями; Условие D ˃ 0 обеспечивает наличие корней уравнения; Условие m ˂ x 0 ˂ p обеспечивает расположение вершины параболы между концами отрезка. Условие f (p) ˂ 0 обеспечивает расположение точки p внутри отрезка между корнями; Условие f (m) ˂ 0 обеспечивает расположение точки m вне отрезка между корнями. корни квадратного трехчлена слева от отрезка; больший корень внутри отрезка; меньший корень внутри отрезка; оба корня внутри отрезка; отрезок между корнями квадратного трехчлена. Задачи, в которых расположены корни квадратного трехчлена относительно отрезка

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение 25х – (а + 6) · 5 х = (5 + 3 | а |) · 5 х – (а + 6) (3 | а | + 5) имеет единственное решение. 25 х – (а + 6) · 5 х = (5 + 3 | а |) · 5 х – (а + 6) (3 | а | + 5) ; 25 х – (а + 6) · 5 х _ (5 + 3 | а |) · 5 х – (а + 6) (3 | а | + 5) = 0; 25 х – (а + 6 + 5 + 3 | а |) · 5 х + (а + 6) (3 | а | + 5) = 0; Пусть 5 х = t ˃ 0, тогда: t – (а + 6 + 5 + 3 | а |) · t + (а + 6) (3 | а | + 5) = 0; (*) Исходное уравнение будет иметь единственное решение: 1 случай: если уравнение (*) имеет единственное решение ( D = 0); 2 случай: если уравнение (*) имеет два корня ( D ˃ 0), Один из которых меньше нуля или равен нулю. Пусть n = a + 6, m = 5 + 3 | а | ; 1 случай: D = (n + m) 2 – 4mn = 0 → n 2 + 2mn + m 2 – 4mn = 0 → n 2 — 2mn + m 2 = 0 (n – m) 2 = 0 → a + 6 = 5 + 3 | а | → a — 3 | а | = -1 ; Преобразуем исходное уравнение: 25 х – (а + 6) · 5 х = (5 + 3 | а |) · 5 х – (а + 6) (3 | а | + 5) ⟹ 5 х ( 5 х – а – 6) = (5 + 3 | а |) – ( 5 х – а – 6); ⟹ ( 5 х – а – 6) ( 5 х – 3 | а | 5 х – 5 ) = 0 ⟹ 5 х – а – 6 = 0 или 5 х – 3 | а | — 5 =0. На чертеже заметим, что система имеет единственное решение при а = а 1 , а = а 2 и а ≤ — 6. Найдем а 1 и а 2 : Если а ˃ 0, то Если а ˂ 0, то

Предварительный просмотр:

Научно-образовательный форум школьников Республики Мордовия

Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

Уравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения

Общие сведения

Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать.

Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10.

Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈» — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно.

Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.