Общие методы решения уравнений введение новой

Методы решения уравнений — обзор

В этой статье дан краткий обзор всех основных методов решения уравнений. Здесь также приведены ссылки на материалы с подробной информацией по каждому методу. Это дает возможность познакомиться со всеми методами решения уравнений, а в случае необходимости — изучить методы решения уравнений углубленно.

Метод введения новой переменной (замены переменной)

Метод введения новой переменной, он же метод замены переменной, позволяет решать уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная, а также уравнения, которые могут быть приведены к указанному виду. Состоит метод во введении новой переменной t=g(x) . Введение переменной позволяет от исходного уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) перейти к уравнению с новой переменной f(t)=0 или f₁(t)=f₂(t) соответственно. Дальше находятся корни полученного уравнения с новой переменной: t₁, t₂, …, t_n . После этого осуществляется возврат к старой переменной, для чего составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n . Решение этой совокупности дает интересующее нас решение исходного уравнения.

Например, метод введения новой переменной позволяет решить уравнение . Здесь стоит принять . Это позволяет перейти от исходного уравнения к квадратному уравнению t 2 −3·t+2=0 с новой переменной t , которое имеет два корня t₁=1 и t₂=2 . Обратная замена происходит путем составления совокупности двух уравнений и . Это рациональные уравнения. Решением первого является x=2 , а решением второго является x=1,5 . Так методом введения новой переменной получено решение исходного уравнения: 1,5 , 2 .

Подробное описание метода введения новой переменной, включающее обоснование метода, алгоритм решения уравнений этим методом и примеры решения характерных уравнений, дано в этой статье.

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители предназначен для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения, x – переменная. То есть, методом разложения на множители решаются уравнения, в левой части которых находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль. Суть метода состоит в замене решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 решением совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения.

Приведем простой пример. Уравнение может быть решено методом разложения на множители. Переходим от исходного уравнения к совокупности двух уравнений и . Иррациональное уравнение имеет единственное решение x₁=1 . Логарифмическое уравнение тоже имеет единственное решение x₂=4 . Значит, совокупность уравнений имеет два решения x₁=1 , x₂=4 . Но области допустимых значений для исходного уравнения, которой является множество (3, +∞) , принадлежит лишь одно из решений x₁=1 , x₂=4 , а именно, x₂=4 . Оно и является единственным корнем уравнения .

Подробное описание этого метода и решения других характерных примеров смотрите в статье «метод разложения на множители».

Метод решения уравнений «дробь равна нулю»

Из названия понятно, что этот метод используется при решении уравнений f(x)/g(x)=0 . Например, он позволяет решить уравнение . Метод состоит в переходе от решения уравнения f(x)/g(x)=0 к решению уравнения f(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, чтобы решить уравнение , надо решить уравнение (x−1)·(x 2 −4)=0 на ОДЗ для исходного уравнения.

Обоснование метода и примеры с решениями смотрите здесь.

Метод решения уравнений через преобразования

Метод базируется на преобразовании уравнений с целью выстраивания последовательностей равносильных уравнений и уравнений-следствий со сравнительно простыми последними уравнениями, по решениям которых находятся решения исходных уравнений.

Например, для решения уравнения 3·x 4 −48=0 последовательно проводятся два преобразования: переносится слагаемое −48 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком, после чего проводится деление обеих частей уравнения на число 3 . В результате получается равносильное уравнение x 4 =16 , причем очень простое в плане решения. Оно имеет два корня x₁=−2 и x₂=2 . Они и составляют решение исходного уравнения.

Вот другой пример. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным выражением (x−1)·(x+2) дает уравнение-следствие (x−1)·(x+2)=0 , имеющее два корня x₁=1 и x₂=−2 . Проверка показывает, что только первый корень является корнем исходного уравнения, а второй корень – посторонний.

Какие преобразования используются при решении уравнений? Когда нужно делать проверку для отсеивания посторонних корней, а когда такую проверку делать необязательно? Ответы на эти и многие другие вопросы по теме есть в этом материале.

Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам

Иногда в результате преобразования уравнений получаются числовые равенства. Например, уравнение сводится к верному числовому равенству 0=0 , а уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=5 . Решением уравнений, сводящихся к верным числовым равенствам, является множество, совпадающее с ОДЗ для исходного уравнения. Так, решением уравнения является множество x≥0 . А уравнения, сводящиеся к неверным числовым равенствам, не имеют решений. То есть, уравнение не имеет решений.

Здесь есть один нюанс. Если среди преобразований, приводящих уравнение к верному числовому равенству, есть возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Этот нюанс разобран в статье «решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам».

Функционально-графический метод

Обзор методов решения уравнений продолжаем функционально-графическии методом. Этот метод предполагает использование функций, отвечающих частям решаемого уравнения, а точнее, их графиков и свойств. Можно выделить три основных направления функционально-графического метода:

Графический метод
Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций
Метод оценки

Давайте рассмотрим их.

Графический метод

Первое направление базируется на использовании графиков функций. Это так называемый графический метод решения уравнений. По этому методу, во-первых, выполняется построение в одной прямоугольной системе координат графиков функций, отвечающих частям уравнения. Во-вторых, по чертежу определяется количество точек пересечения графиков, сколько точек пересечения – столько и корней у решаемого уравнения. В-третьих, определяются абсциссы точек пересечения – это значения корней.

Например, графически можно решить уравнение . Из чертежа, приведенного ниже, видно, что графики имеют единственную точку пересечения с абсциссой 2 . Это единственный корень уравнения.

Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций

Второе направление в своей основе имеет использование свойств возрастающих и убывающих функций. Соответствующий метод используется тогда, когда есть возможность подобрать корень уравнения и доказать возрастание функции, отвечающей одной из частей уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения. В этом случае подобранный корень является единственным.
Приведем пример. Для уравнения 3 (1−x) 3 +1=2 x несложно подобрать корень, им является число 1 . Также несложно обосновать убывание функции, соответствующей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Это доказывает единственность подобранного корня.

За более полной информацией следуйте сюда

Метод оценки

Третье направление основано на использовании свойств ограниченности функций. Это так называемый метод оценки. Согласно этому методу, в первую очередь нужно оценить значения выражений, находящихся в левой и правой части уравнения. Если множества, соответствующие полученным оценкам, не пересекаются, то уравнение не имеет корней. Если множества имеют конечное число общих элементов t₁ , t₂ , …, t_n , то решение уравнения f(x)=g(x) заменяется решением совокупности систем , , …, . Если же множества, соответствующие оценкам имеют бесконечно много общих элементов, то надо либо уточнять оценки, либо искать другой метод решения.

Например, методом оценки можно решить уравнение . Значения левой части этого уравнения не превосходят нуля, а значения правой части не меньше нуля. Это позволяет перейти к системе , решение которой дает искомое решение уравнения.

Метод освобождения от внешней функции

Метод освобождения от внешней функции используется для решения уравнений h(f(x))=h(g(x)) , где f , g и h – функции, причем функция y=h(t) принимает каждое свое значение по одному разу, в частности, строго возрастает или строго убывает, а x – независимая переменная. Этот метод состоит в переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Например, методом освобождения от внешней функции можно решить уравнение . Здесь в качестве внешней функции выступает y=h(t) , где . Эта функция возрастающая как сумма двух возрастающих функций и , значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это позволяет перейти от исходного уравнения к уравнению . Равносильные преобразования позволяют привести последнее уравнение к квадратному уравнению x 2 +x−2=0 , которое имеет два корня x₁=−2 и x₂=1 . Из этих корней только x₁=−2 принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, x₁=−2 – единственный корень исходного уравнения.

Рекомендуем детально разобраться с этим методом решения уравнений, обратившись к материалу статьи «метод освобождения от внешней функции».

Метод решения уравнений через ОДЗ

Через ОДЗ решаются уравнения, области допустимых значений которых являются либо пустыми множествами, либо состоят из конечного количества чисел. Когда ОДЗ есть пустое множество, уравнение не имеет решений. Когда ОДЗ состоит из конечного количества чисел, то следует по очереди проверить эти числа через подстановку. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению являются его корнями, остальные – не являются.

Например, уравнение не имеет решений, так как ОДЗ для него есть пустое множество. А для уравнения ОДЗ состоит из двух чисел −1 и 7 . Проверка подстановкой показывает, что −1 является корнем уравнения, а 7 – не является.

Более полная информация по этому методу решения уравнений содержится в этой статье.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Этот метод, в основном, используется для решения иррациональных уравнений. Он заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень с целью избавления от корней. Например, возведение обеих частей уравнения в квадрат дает уравнение без корня 1−5·x=(x−3) 2 . Возведение в нечетную степень дает равносильное уравнение. Возведение в четную степень в общем случае дает уравнение-следствие, поэтому, при этом необходимо позаботиться об отсеивании посторонних корней. Причем отсеивание следует проводить способом, не связанным с ОДЗ, обычно, через проверку подстановкой, так как возведение частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в рамках ОДЗ.

Аналогично разбираемый метод может использоваться и для решения уравнений, в которых фигурируют степени с рациональными и иррациональными показателями. Решения соответствующих примеров смотрите здесь.

Метод решения уравнений по определению логарифма

По определению логарифма, как правило, решают уравнения следующего вида log_h(x)f(x)=g(x) , например, log₂(x 2 +4·x+3)=3 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и т.п.

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заменяется решением уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Например, от уравнения log_x(3·x lgx +4)=2·lgx можно перейти к уравнению 3·x lgx +4=x 2·lgx на ОДЗ для исходного уравнения.

Более полная информация содержится в основной статье.

Метод потенцирования

Методом потенцирования решаются логарифмические уравнения, обе части которых являются логарифмами по одному и тому же основанию, например, lgx=lg(3·x+5) , и т.п. Метод заключается в замене решения уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) решением уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. По этому методу от уравнения lgx=lg(3·x+5) следует перейти к уравнению x=3·x+5 на ОДЗ для исходного уравнения, которая определяется двумя условиями: x>0 , 3·x+5>0 .

Обоснование метода и примеры с подробными решениями смотрите в этой статье.

Метод логарифмирования

Метод подразумевает логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. К нему следует прибегать тогда, когда логарифмирование позволяет избавиться от степеней с переменной в показателях. В частности, его можно использовать для решения показательных уравнений, обе части которых являются степенями с одинаковыми основаниями, например, 5 1−x =5 2·x+1 . Почленное логарифмирование этого уравнения дает очень простое уравнение 1−x=2·x+1 , решение которого дает решение исходного уравнения.

Также метод подходит для решения показательных уравнений, степени в которых имеют разные основания и отличающиеся показатели, например, . Более того, метод логарифмирования является чуть ли не основным методом решения показательно-степенных уравнений, вроде таких x lgx−1 =100 , .

Более детальная информация и примеры с решениями есть в этом материале.

Разработка урока по теме «Общие методы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Государственное автономное профессиональное образовательное

учреждение Краснодарского края

Краснодарский гуманитарно-технологический колледж

по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа »

по теме «Общие методы решения уравнений»

Краснодар, 2016 г.

систематизировать и обобщить знания о методах решения уравнений;

формировать умение обучающихся классифицировать уравнения по методам решения;

закрепить навыки решения уравнений различными методами;

оценить результаты учебной деятельности студентов через рефлексию полученных знаний путем самопроверки и взаимопроверки .

развивать: аналитическое мышление, грамотную математическую речь;

произвольное внимание, память через постоянное обращение к уже имеющимся знаниям;

умение сравнивать математические объекты, находить сходства и различия между ними, обобщать полученные знания.

воспитывать у учащихся: сознательную дисциплину, умение объективно оценивать свою работу и работу других;

умение взаимодействовать в группе, представлять свою работу по заданной теме, пояснять и аргументировать все этапы решения задачи;

умение отстаивать своё мнение, воспитывать чувство сопереживания и формировать у учащихся здоровое соперничество;

настойчивость, умение доводить начатое дело до конца;

формировать интерес к математике.

Тип урока: комбинированный

Образовательные технологии: проблемное обучение, групповое обучение, ИКТ.

Межпредметная связь: история, информатика.

Технологическая карта урока.

1. Организационный момент (3 мин)

Преподаватель определяет готовность студентов к уроку

Подготовка к уроку

Ставятся цели занятия. Студенты знакомятся с ходом урока

3. Устная работа (15 мин)

Проверка знания определений и понятий по изучаемой теме

Отвечают на вопросы, выполняют устную работу и проверку

4. Презентация метода решения уравнений разложением на множители (10 мин)

Группа студентов представляют презентацию метода, рассматривают примеры решения уравнений.

Знакомятся с презентацией, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал

5. Самостоятельная работа по теме «Решение уравнением методом разложения на множители» (15 мин)

Группа студентов предлагает задания для самостоятельного решения

Выполняют задания, группа студентов проводит консультации и контролирует выполнение заданий. Проводится устная и письменная проверки

6. Презентация метода решения уравнений путем введения новой переменной (10 мин)

Группа студентов представляют презентацию метода, рассматривают примеры решения уравнений

Знакомятся с презентацией, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал

7. Самостоятельная работа по теме «Решение уравнением методом введения новой переменной» (15 мин)

Группа студентов предлагает задания для самостоятельного решения

8. Презентация графического метода решения уравнений (10 мин)

Группа студентов представляют презентацию метода, рассматривают примеры графического решения уравнений, предлагают домашнее задание для самостоятельного решения

Знакомятся с презентацией, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал

9. Заключение (5 мин)

В заключении преподаватель представляет метод решения уравнений путем оценки области определения, подчеркивая тот факт, что наряду с основными методами решения уравнений существуют и другие методы

Знакомятся с методом, задают вопросы, конспектируют теоретический и практический материал

10. Итог урока (5 мин)

Дается оценка деятельности групп, заполняются индивидуальные карты учета баллов, объявляются оценки

Обсуждают деятельность групп, осуществляют рефлексию полученных знаний и собственной деятельности

Тема «Уравнения» − одна из важнейших тем курса алгебры. Мы изучили различные виды уравнений, а также методы их решения.

Цель урока – повторить и обобщить сведения о методах решения уравнений. Но прежде вспомним основные определения и правила.

2. Актуализация знаний по теме «Общие методы решения уравнений».

2.1. Уравнение. Решение уравнения. ОДЗ уравнения.

На экране отображаются вопросы и задания для устной работы.

Что называется уравнением? (Равенство, содержащее переменную).

Какие виды уравнений вы знаете?

Что называют решением уравнения? (Решением уравнения называют то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство).

Что значит – решить уравнение? (Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет).

Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)? (ОДЗ переменной уравнения f ( x ) = g ( x ) называют множество тех значений переменной х , при которых одновременно имеют смысл выражения f ( x ) и g ( x )) .

Сформулируйте правила нахождения ОДЗ для уравнений:

f ( x ) + g ( x ) = 0, где f ( x ) и g ( x ) – многочлены, ( x – любое число);

= c , ( g ( x ) ≠ 0);

= g ( x ), ( f ( x ) ≥ 0, g ( x ) ≥ 0);

= c, (f(x) ∙ g(x) ≥ 0, g(x) ≠ 0);

= , где a > 0, a ≠ 1, (f(x) > 0, g(x) > 0).

Задание 1. Укажите ОДЗ уравнения:

1) = , ( х – любое число); 6) = 0,5, ( х – любое число);

2) = 4, ( х ≠ 15); 7) = 81, ( х – любое число);

3) = , ( х ≠ 2,4); 8) , (х > − 8);

4) ( х > 3,5 ); 9) = 3, (х ≠ 1, − 2 );

5) = 2; ( х ≠ n , n Z ); 10) = , ( − 2 x ).

2.2. Равносильность уравнений.

При каком условии одно из уравнений является следствием другого уравнения? (Если множество корней данного уравнения содержит корни другого уравнения, то данное уравнение является следствием другого уравнения).

Какие уравнения называются равносильными? (Уравнения равносильны, если каждое из них является следствием другого, т. е. множества их корней совпадают).

Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям? (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, деление обеих частей уравнения на одно и то же число не равное нулю.)

Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему? (При делении уравнения на выражение, содержащее переменную, может произойти потеря корней, при умножении уравнения на выражение, содержащее переменную, или возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни).

Задание 2. Выясните, какое из уравнений является следствием другого уравнения:

(1) + 16 = 0 (2) 2х − 5 = 3, ((2) (1));

(1) 2х = х – 1 (2) = , ((1) (2));

(1) = 9 (2) х + 1 = 3, ((2) (1));

(1) = (2) = , ((1) (2));

(1) | x – 6| = |2 x | (2) х – 6 = 2х, ((2) (1));

(1) 2 = 3 (2) = 64, ((1) (2));

Задание 3. Добавьте дополнительные условия так, чтобы были равносильны уравнения:

= 1 = ; … ( ≠ 0)

∙ = ♦ ∙ = ♦ ; … ( ≠ 0)

= = ; … ( ≥ 0)

= = ; … ( ≥ 0, ≥ 0)

2 = 1 = 10; … ( > 0)

= = ; … (− , − )

= 1 = 0; … ( ≠ 1, ≠ 0)

= = ♦ ; … ( ≠ 0, ≠ 1)

| | = = ; … ( = − , ≥ 0).

По итогам работы проводится взаимопроверка. Обсуждаются результаты.

Заполняются индивидуальные карты учета баллов.

3. Презентация методов решения уравнений, подготовленные группами студентов.

Вопрос студентам. Какие основные методы решения уравнений вы знаете?

После ответов студентов на экране отображаются перечисленные методы:

метод решения уравнений h ( f ( x )) = h ( g ( x )) путем замены уравнением f ( x ) = g ( x );

метод разложения на множители;

метод введения новой переменной;

3.1. Презентация метода разложения на множители.

Первая группа студентов представляет презентацию метода решения уравнений путем разложения на множители.

Решить равнение f ( x ) ∙ g ( x ) = 0. В основе метода лежит правило умножения − произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

f(x) ∙ g(x) = 0

Способы разложения на множители:

вынесением множителя за скобку;

с помощью формул сокращенного умножения.

Рассмотрим примеры решения уравнений данным способом:

Пример 1. Решить уравнение + = 0.

Решение. Преобразуем данное уравнение, применив формулу синуса удвоенного аргумента:

+ = 0,

Вынесем общий множитель за скобку:

(1 + 2 ) = 0,

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение + 5 – 9х – 45 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

(х + 5) – 9(х + 5) = 0,

Вынесем множитель (х + 5) за скобку:

(х + 5)( – 9) = 0,

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Ответ: − 5, 3.

Пример 3. Решить уравнение − 8 + – 16 = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

− 8 +2 ∙ – 16 = 0,

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

( – 8) + 2( – 8) = 0,

Вынесем общий множитель ( – 8) за скобку:

( – 8)( + 2) = 0,

Полученное уравнение равносильно системе:

х = 4 .

х = 3 не удовлетворяет условию ОДЗ: х > 4.

Ответ: 4 .

Группа предлагает другим студентам самостоятельно решить подобные задания:

Вариант 1. Решите уравнения:

2 − = 0; ( k; ).

− 3 – 4х + 12 = 0; ( 2 и 3).

− 3 − 2 ∙ + 6 = 0; (1 и 4).

Вариант 2. Решите уравнения:

2 + = 0; ( k; ).

+ 6 – х − 6 = 0; (− 6 и 1).

− 2 − + 2 = 0; (1 и 5).

В процессе решения группа консультирует и проводит проверку результатов выполнения заданий, выставляет баллы в учетную карту студента.

3.2. Презентация метода введения новой переменной.

Вторая группа студентов представляет презентацию метода решения уравнений путем введения новой переменной.

Если уравнение f ( x ) = 0 возможно привести к виду f ( g ( x )) = 0, то имеет смысл ввести новую переменную t = g ( x ), решить уравнение f ( t ) = 0, а затем решить с учетом ОДЗ совокупность уравнений:

Рассмотрим примеры решения уравнений данным способом:

Пример 4 . Решить уравнение + 5 + 3 = 0.

Преобразуем уравнение, применив формулу косинуса удвоенного аргумента:

2 − 1+ 5 + 3 = 0,

2 + 5 + 2 = 0.

Введем новую переменную t = , где − 1 t

2 + 5 t + 2 = 0,

= − 2 – не удовлетворяет условию − 1 t

= − .

Перейдем к подстановке:

= − ;

х = .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение + = 3.

Решение. Перед тем как применить свойство логарифмов в левой части уравнения введем новую переменную:

t = + 3х.

Получим более простое уравнение относительно переменной t :

+ = 3.

Применим свойство логарифмов в левой части уравнения:

= 3.

Перейдем к равносильной системе:

t = 4.

Перейдем к подстановке:

+ 3х = 4, + 3х – 4 = 0, = – 4, = 1.

Пример 6. Решить уравнение = 2 − х – 11.

Решение. Если возводить в квадрат левую и правую части уравнения, то в правой части мы получим квадрат трехчлена. Чтобы избежать громоздких преобразований, можно ввести новую переменную:

t = 2 – х.

Получим уравнение относительно переменной t :

= t – 11.

Перейдем к равносильной системе:

t = 15.

Перейдем к подстановке:

2 – х = 15, 2 – х − 15 = 0, = – 2,5, = 3.

Группа предлагает другим студентам самостоятельно решить подобные задания:

Вариант 1. Решите уравнения:

− + 1 = 0; ( + 2 n, n Z)

+ = 1; (− 2 и 3).

= + 4х – 3; (– 5 и 1).

Вариант 2. Решите уравнения:

+ 2 + 2 = 0; ( + 2 n, n Z).

+ = 1; (− 1,5 и 1).

= − 2х + 2; (0 и 2).

3.3. Презентация графического метода решения уравнений.

Графический метод решения уравнений по сравнению с аналитическим методом имеет свои недостатки и преимущества. Недостаток – это приближенное значение корней, преимущество – наглядность решения. Путь к решению задачи иногда лежит через графическое представление данных.

Пусть стоит задача решить уравнение f ( x ) = g ( x ), которое сложно решить аналитически. В этом случае можно решить уравнение графически. Для этого строим графики функций у = f ( x ) и у = g ( x ). Точкам пересечения графиков этих функций соответствуют те значения аргумента х, при которых совпадают значения функций. Эти значения аргумента являются корнями уравнения.

у =

Пример 7. Решим уравнение = | x – 2|.

Решение. Построим графики функций

у = и у = |х – 2| (рис. 1).

Графики функций пересекаются в точках с абсциссами = 1 и = 4.

Значит, уравнение имеет два корня = 1 и = 4.

У =

Пример 8. Решим уравнение = .

Решение. Построим графики функций у = и у = (рис. 2).

Графики функций пересекаются в точках с абсциссами = – 0,8 и = 2.

Значит, уравнение имеет два корня:

= – 0,8 и = 2.

Ответ: – 0,8 и 2.

У =

У = + 1

Пример 9. Решим уравнение = + 1.

Решение. Построим графики функций у = и у = |х – 2| (рис. 3).

Графики функций пересекаются в точках с абсциссами = 0 и = 2,6.

Значит, уравнение имеет два корня = 0 и = 2,6.

Ответ: 0 и 2,6.

Группа предлагает для домашней самостоятельной работы подобные задания:

Задание. Решите графически уравнения:

= х – 4;

= ;

= 3 – 2х – ;

= + х – 2.

Мы с вами вспомнили понятия и определения, связанные с уравнениями и закрепили основные методы решения уравнений, но многообразие способов решения не ограничиваются рассмотренными методами. Хочу предложить вам на рассмотрение еще один способ решения уравнений f ( x ) = g ( x ) через оценку области значений функций у = f ( x ) и у = g ( x ).

Пример 10. Решить уравнение = – + 2х – 3.

Решение. Рассмотрим функцию у = – + 2х – 3. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, в вершине парабола функция достигает своего наибольшего значения.

Найдем абсциссу вершины параболы: х = – , x = = 1.

Найдем значение функции в точке х = 1, у = – 1 + 2 – 3 = – 2.

Для функции у = – + 2х – 3 область значений Е( f ) = (– ; – 2] и следовательно, у _наиб = – 2.

Рассмотрим функцию у = . Найдем область значений функции:

– 1 ≤ ≤ 1, – 2 ≤ ≤ 2, Е( f ) = [– 2; 2], у _наим = – 2.

Задача сводится к решению системы:

Из второго уравнения х = 1. Проверим, будет ли значение х = 1 корнем первого уравнения: = = 2 ∙ (– 1) = – 2.

Итак, значение х = 1 удовлетворяет каждому уравнению системы и, следовательно, является единственным решением заданного уравнения.

Преподаватель предлагает для домашней самостоятельной работы подобное задание:

Задание. Решить уравнение = – 2х + 2.

5. Подведение итогов урока.

Во время рассмотрения примера 10 рабочая группа подсчитывает баллы, набранные студентами за выполнение заданий.

Обсуждаются презентации групп. Группы-участники конференции сдают отчеты о деятельности групп. Преподаватель дает рекомендации и качественную оценку подготовке и выступлению групп-участников конференции. Объявляются оценки.

Карта учета баллов.

Фамилия, имя ____________________________________ группа _______

Тема урока _____________________________________________________

В заданиях 1 – 3 каждое правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Общие методы решения уравнений (урок алгебры и начала анализа в 11-м классе)

Разделы: Математика

Ключевые слова: личностно-ориентрованное обучение, дидактическая задача, общие методы решения уравнений, метод разложения на множители, метод введения новой переменной, метод замены уравнения равносильным, функционально-графический метод.

Основной формой организации учебной деятельности учащихся в школе является урок. Основная задача учителя на современном этапе – создать условия для обеспечения собственной учебной деятельности учащихся, учета и развития их индивидуальных особенностей. Рассмотрим построение урока математики по теме «Общие методы решения уравнений» с позиции личностно-ориентрованного обучения.

Дидактическая цель: создать условия для усвоения новых знаний учащимися с ориентацией на их практическое применение, обеспечить усвоение всеми учащимися требований образовательного стандарта по теме «Общие методы решения уравнений».

Образовательная цель: способствовать формированию у учащихся предметных компетенций

выделить общие методы решения уравнений на примере решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;
определить насколько хорошо учащиеся умеют применять их при решении иррациональные, показательные, логарифмические уравнения;
способствовать дальнейшему закреплению навыка учащихся в решении уравнений, использования различных языков математики (словесного, символического, графического).

Развивающая цель: способствовать развитию у учащихся метапредметных компетенций:

коммуникативных – формирование мыслительной, речевой деятельности, навыка сотрудничества;
регулятивных – умение управлять собственной деятельностью.

Воспитательная цель: способствовать формированию у учащихся личностных компетенций:

смыслообразование – умение субъектного целеполагания (постановка учебных целей самим учеником, сознательно принимает решение);
самоопределение – самооценка (оценка результатов собственной деятельности на уроке).

Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися (по Конаржевскому Ю.А.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Дидактическая задача. Обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию.

Проверка внешнего состояния классного помещения, определение отсутствующих учащихся, подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид учащихся), организация внимания, взаимное приветствие учителя и учащихся.

Учитель. Ребята, сегодня, как и обычно, будем работать на уроке активно и продуктивно, чтобы «на небосклоне ваших знаний» с каждым днем оставалось все меньше «белых пятен». А для чего нужны вам знания?

Учащиеся. Чтобы быть образованными и успешными людьми, а для этого нужно успешно сдать ЕГЭ, получить хорошие баллы и поступить в то ВУЗ, в которое хотим.

Учитель. Совет народной мудрости учащимся: «Знание – сокровище, которое повсюду следует за тем, кто им обладает». (Китайская поговорка).

II. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

Дидактическая задача. Организовать и целенаправить познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала. Учить учащихся формулировать цели учения и выбирать конкретные средства для их достижения.

Учитель. Тема нашего урока «Общие методы решения уравнений».

Запишем в рабочих тетрадях число, классная работа, тему урока.

Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений».

– Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

– Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Учитель. Какие цели учения на урок вы поставили бы для себя?

Учащиеся. Повторить какие методы решения уравнений нам известны, выделить общие методы решения уравнений, учиться применять их при решении уравнений разного типа, проверить насколько хорошо мы ими владеем.

Учитель. Где вам могут пригодиться эти знания?

Учащиеся. При написании самостоятельной работы, контрольной работы, на едином государственном экзамене.

III. Этап усвоения новых знаний.

Дидактическая задача. Дать учащимся конкретное представление об основной идее изучаемого вопроса.

Учитель. Повторить методы решения уравнений, нам помогут фрагменты презентаций, которые вы готовили ранее, работая в группах.

Учащиеся 1 группы.

Предлагаем взять девизом нашего урока слова В. Гюго «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю».

Методы решения иррациональных уравнений. (См. Приложение 1)

Учащиеся 2 группы. Методы решения логарифмических уравнений (См. Приложение 1)

Учащиеся 3 группы. Методы решения показательных уравнений (См. Приложение 1)

Учащиеся 4 группы. Функционально-графический метод (См. Приложение 1)

Учитель. Какие методы решения уравнений можно выделить как общие?

Метод разложения на множители.
Метод введения новой переменной.
Метод замены уравнения равносильным.
Функционально-графический метод.

Учитель. Запишем в рабочих тетрадях опорный конспект.

1. Метод разложения на множители.

Уравнение f(x)g(x)h(x)=0 заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Необходима проверка корней.

2. Метод введения новой переменной.

Пусть g(x)=t, тогда уравнение p(g(x))=0 равносильно уравнению p(t)=0.

3. Метод замены уравнения равносильным.

При решении показательных уравнений: уравнение a f(x) = a g(x) (a >0, a≠1) равносильно f(x) = g(x).
При решении логарифмических уравнений: уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (f(x) > 0, g(x)>0, a>0, a≠1) равносильно f (x) = g(x).
При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение равносильно f(x) = g(x).
Функционально-графический метод. f(x)=g(x)
- построение графиков функций y=f(x) и y=g(x); определение абсцисс точек пересечения графиков.
- использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.

IV. Физкультминутка

Дидактическая задача. Снять усталость и напряжение.

Стоя выполняем упражнения под музыку:

вытянуть руки вперед;
дотронуться до кончика носа правой, левой рукой;
встряхнуть кистями рук;
наклонить голову вперед, назад;
повернуть туловище налево, направо;
выпрямить спину, сесть прямо.

V. Закрепление новых знаний

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока, рефлексия

источники:

http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-teme-obschie-metodi-resheniya-uravneniy-948863.html

http://urok.1sept.ru/articles/603293