Общие решения дифференциальных уравнений 1 го порядка
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
2) 
– обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;
3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;
5) 
– уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).
Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную 
в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения 
записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.
△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем
x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲
508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.
△ Полагая 
, перепишем данное уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
, или 
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
▲
509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.
△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.
Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.
△ Преобразуем данное уравнение к виду 
. Интегрируя, получим
, или ln |y| = – arctg x + С
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,
ln у = – arctg х + π/4,
откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения первого порядка
Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Как решать дифференциальные уравнения первого порядка
Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
,
где .
Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.
Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.
Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
.
Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Делаем подстановку . Тогда
;
.
Далее разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>
Однородные уравнения
Решаем подстановкой:
,
где – функция от . Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>
Уравнения, приводящиеся к однородным
Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>
Обобщенные однородные уравнения
Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>
Линейные дифференциальные уравнения
Есть три метода решения линейных уравнений.
1) Метод интегрирующего множителя.
Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :
;
.
Далее интегрируем.
Подробнее >>>
2) Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Подробнее >>>
3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Подробнее >>>
Уравнения Бернулли
Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.
Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Уравнения Риккати
Оно не решается в общем виде. Подстановкой
уравнение Риккати приводится к виду:
,
где – постоянная; ; .
Далее, подстановкой:
оно приводится к виду:
,
где .
Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>
Уравнения Якоби
Уравнения в полных дифференциалах
При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.
Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Подробнее >>>
Интегрирующий множитель
Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция , при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Подробнее >>>
Уравнения, не решенные относительно производной y’
Уравнения, допускающие решение относительно производной y’
Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.
Уравнения, допускающие разложение на множители
Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;
;
Подробнее >>>
Уравнения, не содержащие x и y
Уравнения, не содержащие x или y
или
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .
Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
;
.
Подробнее >>>
Уравнения, разрешенные относительно y
Уравнения Клеро
Такое уравнение имеет общее решение
Подробнее >>>
Уравнения Лагранжа
Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.
Подробнее >>>
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли
Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Подробнее >>>
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-05-2016
http://mathdf.com/dif/ru/
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/