Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
y» +4y’ — 12y = 8sin(2x)
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx находим с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 +4 r — 12 = 0
D = 4 2 — 4 • 1 • (-12) = 64
Корни характеристического уравнения:
r1 = 2
r2 = -6
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 8•sin(2•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 8, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y’ = 2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)
y» = -4(A•cos(2x)+B•sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» + 4y’ -12y = (-4(A•cos(2x)+B•sin(2x))) + 4(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) -12(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 8•sin(2•x)
или
-8•A•sin(2x)-16•A•cos(2x)-16•B•sin(2x)+8•B•cos(2x) = 8•sin(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-8A -16B = 8
-16A + 8B = 0
Решая ее, методом Гаусса находим:
A = -1 /5;B = -2 /5;
Частное решение имеет вид:
y * = — 1 /5cos(2x) — 2 /5sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 2.
4y’’ -8y’ + 5y = 5cos(x)
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
4 r 2 -8 r + 5 = 0
D = (-8) 2 — 4 • 4 • 5 = -16
Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = 1 + 1 /2i
r1 = 1 — 1 /2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e x cos( 1 /2x)
y2 = e x sin( 1 /2x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 5cos(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Acos(x) + Bsin(x)
Вычисляем производные:
y’ = Bcos(x)-Asin(x)
y» = -Acos(x)-Bsin(x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
4y» -8y’ + 5y = 4(-Acos(x)-Bsin(x)) -8(Bcos(x)-Asin(x)) + 5(Acos(x) + Bsin(x)) = 5cos(x)
или
8Asin(x)+Acos(x)+Bsin(x)-8Bcos(x) = 5cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
8A + B = 0
A -8B = 5
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = 1 /13;B = -8 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 1 /13cos(x) + -8 /13sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 3.
y»+3y’+2y=-24e -4x -20sin(2x)
Решаем в два этапа:
а) y»+3y’+2y=-24e -4x
б) y»+3y’+2y=-20sin(2x)
Затем объединяем полученные решения.
Дифференциальные уравнения по-шагам
Результат
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
- Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
- Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
- Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
- Уравнения в полных дифференциалах
- Решение дифференциального уравнения заменой
- Смена y(x) на x в уравнении
- Другие
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
http://mrexam.ru/differentialequation
http://mathdf.com/dif/ru/