Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Данная статья рассматривает способы решения линейных дифференциальных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p y ‘ + q y = 0 с p и q являющимися действительными числами. Будет рассмотрена теория с приведением примеров с подробным решением.
Перейдем к формулировке теоремы, которая показывает, какого вида должно быть уравнение, чтобы можно было искать общее решение ЛОДУ.
Теорема общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 с непрерывными на интервале интегрирования x коэффициентами f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяют линейную комбинацию вида y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , где y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на интервале x , где C j , j = 1 , 2 , . . . , n берут за произвольные постоянные.
Отсюда получаем, что общее решение такого уравнения y » + p y ‘ + q y = 0 может быть записано как y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 выражаются линейно независимыми решениями, а С 1 и C 2 – произвольными постоянными. Необходимо поработать с нахождением частных решений y 1 и y 2 .
Существует формула по Эйлеру для поиска частных решений вида y = e k · x .
Если взять y = e k · x за частное решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 , тогда, используя подстановку, получим тождество вида:
e k · x » + p · e k · x ‘ + q · e k · x = 0 k 2 · e k · x + p · e k · x + q · e k · x = 0 e k · x · ( k 2 + p · k + q ) = 0 k 2 + p · k + q = 0
Данное тождество называют характеристическим уравнением с постоянными коэффициентами k 1 и k 2 , которые и являются его решениями и определяют частые решения вида y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x заданного ЛОДУ.
При различных значениях p и q можно получить характеристические уравнения с корнами такого вида:
- Действительные и различные k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R .
- Действительные и совпадающие k 1 = k 2 , = k 0 , k 0 ∈ R .
- Комплексно сопряженную пару k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Первый случай показывает, что решениями такого уравнения могут быть y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x , а общее решение принимает вид y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x с постоянными коэффициентами. Функции y 1 = e k 1 · x и y 2 = e k 2 · x рассматриваются, как линейно независимыми по причине отличного от нуля определителя Вронского W ( x ) = y 1 y 2 y 1 ‘ y 2 ‘ = e k 1 · x e k 2 · x k 1 · e k 1 · x k 2 · e k 2 · x = e k 1 · x · e k 2 · x · k 2 — k 1 с действительными k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R .
Второй случай объясняет, что первым частным решением функции – это выражение y 1 = e k 0 · x . Вторым частным решением можно брать y 2 = x · e k 0 · x . Определим, что y 2 = x · e k 0 · x может являться частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 и докажем линейную независимость y 1 и y 2 .
Имеем, что k 1 = k 0 и k 2 = k 0 являются совпадающими корнями характеристического уравнения. Тогда оно примет вид k — k 0 2 = 0 ⇔ k 2 — 2 k 0 · k + k 0 2 = 0 . Отсюда следует, что y » — 2 k 0 · y ‘ + k 0 2 · y = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением. Необходимо подставить выражение y 2 = x · e k 0 · x для того, чтобы убедиться в тождественности:
y 2 » — 2 k 0 · y ‘ 2 + k 0 2 · y 2 = 0 x · e k 0 · x » — 2 k 0 · x · e k 0 x ‘ + k 0 2 · x · e k 0 · x = 0 e k 0 · x + k 0 · x · e k 0 x ‘ — 2 k 0 · e k 0 · x + k 0 · x · e k 0 x + k 0 2 · x · e k 0 · x = 0 ( k 0 · e k 0 · x + k 0 · e k 0 · x + k 0 2 · x · e k 0 · x — — 2 k 0 · e k 0 · x — k 0 2 · x · e k 0 · x + k 0 2 · x · e k 0 · x ) = 0 0 ≡ 0
Отсюда следует, что y 2 = x · e k 0 · x — это частное решение данного уравнения. Необходимо рассмотреть линейную независимость y 1 = e k 0 · x и y 2 = x · e k 0 · x . Чтобы убедиться в этом, следует прибегнуть к вычислению определителя Вронского. Он не должен быть равен нулю.
W ( x ) = y 1 y 2 y 1 ‘ y 2 ‘ = e k 0 · x x · e k 0 · x e k 0 · x ‘ x · e k 0 · x ‘ = = e k 0 · x x · e k 0 · x k 0 · e k 0 · x e k 0 · x · ( 1 + k 0 · x ) = = e k 0 · x · e k 0 · x · 1 + k 0 · x — k 0 · x · e k 0 · x · e k 0 · x = e 2 k 0 · x ≠ 0 ∀ x ∈ R
Можно сделать вывод, что линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y » + p y ‘ + q y = 0 считаются y 1 = e k 0 · x и y 2 = x · e k 0 · x . Это подразумевает то, что решением будет являться выражение y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · x · e k 0 · x при k 1 = k 2 = k 0 , k 0 ∈ R .
Третий случай говорит о том, что имеем дело с парой комплексных частных решений ЛОДУ вида y 1 = e α + i · β · x и y 2 = e α — i · β · x .
Запись общего решения примет вид y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x .
Функции y 1 = e a · x · cos β x и y 2 = e a · x · sin β x могут быть записаны вместо частных решений уравнения, причем с соответствующими действительной и мнимой частями. Это понятно при преобразовании общего решения y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x . Для этого необходимо воспользоваться формулами из теории функции комплексного переменного вида. Тогда получим, что
y 0 = C 1 · e α + i · β · x + C 2 · e α — i · β · x = = C 1 · e α · x · cos β x + i · sin β x + C 2 · e α · x · cos β x — i · sin β x = = ( C 1 + C 2 ) · e α · x · cos β x + i · ( C 1 — C 2 ) · e α · x · sin β x = = C 3 · e α · x · cos β x + C 4 · e α · x · sin β x
Отчетливо видно, что С 3 и С 4 используются в качестве произвольных постоянных.
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными переменными вида y » + p y ‘ + q y = 0 :
- Запись характеристического уравнения k 2 + p ⋅ k + q = 0 .
- Нахождение корней характеристического уравнения k 1 и k 2 .
- Производим запись ЛОДУ, исходя из полученных значений с постоянными коэффициентами:
- y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x при k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
- y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · x · e k 0 · x при k 1 = k 2 = k 0 , k 0 ∈ R ;
- y 0 = e α · x · ( C 1 · cos β x + C 2 · sin β x ) при k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Найти общее решение заданного уравнения с постоянными коэффициентами y » + 4 y ‘ + 4 y = 0 .
Решение
Следуя алгоритму, необходимо записать характеристическое уравнение k 2 + 4 ⋅ k + 4 = 0 , после чего обозначить его корни. Получаем, что
k 2 + 4 k + 4 = 0 ( k + 2 ) 2 = 0 k 1 = k 2 = k 0 = — 2
Очевидно, что полученные корни являются совпадающими.
Ответ: Запись общего решения: y 0 = C 1 · e k 0 x + C 2 · x · e k 0 x = C 1 · e — 2 x + C 2 · x · e — 2 x .
Найти решение заданного уравнения вида y » — 5 y ‘ + 6 y = 0 .
Решение
По условию имеется ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Это указывает на то, что необходимо записать характеристическое уравнение и обозначить его корни. Получим:
k 2 — 5 k + 6 = 0 D = 5 2 — 4 · 6 = 1 k 1 = 5 — 1 2 = 2 k 2 = 5 + 1 2 = 3
Видно, что корни различные и действительные. Это говорит о том, что уравнение общего вида запишется как y 0 = C 1 · e k 1 x + C 2 e k 2 x = C 1 · e 2 x + C 2 · e 3 x .
Ответ: y 0 = C 1 · e k 1 x + C 2 e k 2 x = C 1 · e 2 x + C 2 · e 3 x .
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — y ‘ + 3 y = 0 .
Решение
Необходимо перейти к характеристическому уравнению ЛОДУ 2 порядка, что соответствует записи k 2 — k + 3 = 0 , после чего обозначить его корни. Тогда получим, что
D = 1 2 — 4 · 3 = — 11 k 1 = 1 + i 11 2 = 1 2 + i · 11 2 k 2 = 1 — i 11 2 = 1 2 — i · 11 2 ⇒ α = 1 2 , β = 11 2
На выходе имеем пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения. Отсюда следует, что общим решением является запись уравнения вида
y 0 = e a · x · ( C 1 · cos β x + C 2 · sin β x ) = = e x 2 · C 1 · cos 11 x 2 + C 2 · sin 11 2
Ответ: y 0 = e x 2 · C 1 · cos 11 x 2 + C 2 · sin 11 2 .
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где y — функция, которую требуется найти, а p(x) , q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b) .
Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю ( f(x) ≠ 0 ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).
В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y» :
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
Если y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:
1) y 1 (x) + y 2 (x) — также является решением этого уравнения;
2) Cy 1 (x) , где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.
Из этих двух высказываний следует, что функция
также является решением этого уравнения.
Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?
Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x) и y 2 (x) .
И это условие называется условием линейной независимости частных решений.
Теорема. Функция C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно независимы.
Определение. Функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:
Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x) :
.
Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.
Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .
Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .
Так как определитель Вронского
не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
где p и q — постоянные величины.
На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида
которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.
В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.
Корни характеристического уравнения — действительные и различные
Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравения — вещественные и равные
То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравнения — комплексные
То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Однородные дифференциальные уравнения
и приводящиеся к ним
Однородные уравнения
Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .
Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как
При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так как
Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде
Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:
Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).
Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку .
Пример 1. Решить однородное уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде так что данное уравнение оказывается однородным относительно и . Положим , или . Тогда . Подставляя в уравнение выражения для и , получаем . Разделяем переменные: . Отсюда интегрированием находим
Так как , то, обозначая , получаем , где или . Заменяя на , будем иметь общий интеграл .
Отсюда общее решение: .
При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение.
Положим теперь и . Но в силу подстановки , а из соотношения получаем, что , откуда . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и также являются решениями данного уравнения.
Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых однородного уравнения . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой.
Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.
Решение. По определению соответственных точек имеем , так что в силу самого уравнения , где и — угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым и , в точках и соответственно (рис. 12).
Уравнения, приводящиеся к однородным
А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где — постоянные, а — непрерывная функция своего аргумента .
Если , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.
Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.
1) Определитель . Вводя новые переменные и по формулам , где и — пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду
Выбирая и как решение системы линейных уравнений
получаем однородное уравнение . Найдя его общий интеграл и заменив в нем на , a на , получаем общий интеграл уравнения (3).
2) Определитель . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид . Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Определитель этой системы .
Система имеет единственное решение . Делаем замену . Тогда уравнение (5) примет вид
Это уравнение является однородным уравнением. Полагая , получаем
Интегрируя, найдем или .
Возвращаемся к переменным :
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид
Разделяя переменные, получаем
Возвращаясь к переменным , получаем общий интеграл данного уравнения
Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному приписать измерение 1, переменному — измерение и производной — измерение .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Делаем подстановку , где пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для и , получим
Заметим, что имеет измерение имеет измерение , имеет измерение . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие , или .
Положим ; исходное уравнение принимает вид
Положим теперь . Тогда это уравнение примет вид , откуда .
Разделяем переменные в этом уравнении . Интегрируя, найдем
Заменяя через , получаем общий интеграл данного уравнения
Уравнение имеет еще очевидное решение , которое получается из общего интеграла при , если интеграл записать в виде , а затем перейти к пределу при . Таким образом, функция является частным решением исходного уравнения.
http://function-x.ru/differential_equations7.html
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=odnorodnye-differentsialnye-uravneniya