Общие тригонометрические формулы тригонометрических уравнений

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные формулы тригонометрии — это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = — 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α — 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α — sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α — 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α — 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = — 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α — t g 3 α 1 — 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α — 3 c t g α 3 c t g 2 α — 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 — cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 — cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 — cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 ( — 1 ) n 2 — k · C k n · cos ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n 2 — 1 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 ( — 1 ) n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n — 1 ∑ k = 0 n — 1 2 C k n · cos ( ( n — 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 · sin α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · sin β — α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α — β ) — cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α — β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α — β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и котангенс, — могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 — t g 2 α 2 c t g α = 1 — t g 2 α 2 2 t g α 2

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Формулы тригонометрии

Формул в тригонометрии много.

Запомнить их механически очень сложно, почти невозможно. На занятиях многие школьники и студенты пользуются распечатками на форзацах учебников и тетрадей, плакатами на стенах, шпаргалками, наконец. А как быть на экзамене?

Однако, если Вы присмотритесь к этим формулам повнимательнее, то обнаружите, что все они взаимосвязаны и обладают определенной симметрией. Давайте проанализируем их с учетом определений и свойств тригонометрических функций, чтобы определить тот минимум, который действительно стоит выучить наизусть.

I группа. Основные тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα ; ctgα = ____ cosα sinα ;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α ; 1 + ctg 2 α = _____ 1 sin 2 α .

Эта группа содержит самые простые и самые востребованные формулы. Большинство учащихся их знает. Но если всё-таки есть трудности, то чтобы запомнить первые три формулы, мысленно представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой равной единице. Тогда его катеты будут равны, соответственно, sinα по определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе) и cosα по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Первая формула представляет собой теорему Пифагора для такого треугольника — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (1 2 = 1), вторая и третья — это определения тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему) и котангенса (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Произведение тангенса на котангенс равно 1 потому, что котангенс, записанный в виде дроби (формула третья) есть перевернутый тангенс (формула вторая). Последнее соображение, кстати, позволяет исключить из числа формул, которые необходимо обязательно заучить, все последующие длинные формулы с котангенсом. Если в каком-либо сложном задании Вам встретится ctgα, просто замените его на дробь ___ 1 tgα и пользуйтесь формулами для тангенса.

Последние две формулы можно не запоминать досимвольно. Они встречаются реже. И если потребуются, то Вы всегда сможете вывести их на черновике заново. Для этого достаточно подставить вместо тангенса или контангенса их определения через дробь (формулы вторая и третья, соответственно) и привести выражение к общему знаменателю. Но важно помнить, что такие формулы, которые связывают квадраты тангенса и косинуса, и квадраты котангенса и синуса существуют. Иначе, Вы можете не догадаться, какие преобразования необходимы для решения той или иной конкретной задачи.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

II группа. Формулы сложения

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ;

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ;

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;

tg(α + β) = tgα + tgβ _________ 1 − tgα·tgβ ;

tg(α − β) = tgα − tgβ _________ 1 + tgα·tgβ .

sin(−α) = − sin(α); cos(−α) = cos(α); tg(−α) = − tg(&#945).

Из всех тригонометрических функций только косинус является четной функцией и не изменяет свой знак при смене знака аргумента (угла), остальные функции являются нечетными. Нечетность функции, фактически, означает, что знак минус можно вносить и выносить за знак функции. Поэтому, если Вам встретится тригонометрическое выражение с разностью двух углов, всегда можно будет понимать его как сумму положительного и отрицательного углов.

Например, sin(x − 30º) = sin( x + (−30º) ).
Дальше пользуемся формулой суммы двух углов и разбираемся со знаками:
sin( x + (−30º) ) = sinx·cos(−30º) + cosx·sin(−30º) =
= sinx·cos30º − cosx·sin30º.

Таким образом все формулы, содержащие разность углов, можно просто пропустить при первом заучивании. Затем стоит научиться восстанавливать их в общем виде сначала на черновике, а потом и мысленно.

Например, tg(α − β) = tg(α + (−β )) = tgα + tg(−β) ___________ 1 − tgα·tg(−β) = tgα − tgβ _________ 1 + tgα·tgβ .

Это поможет в дальнейшем быстрее догадываться о том, какие преобразования нужно применить для решения той или иной задачи из тригонометрии.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

Ш группа. Формулы кратных аргументов

cos2α = cos 2 α − sin 2 α ;

tg2α = 2tgα _______ 1 − tg 2 α ;

sin3α = 3sinα − 4sin 3 α ;

cos3α = 4cos 3 α − 3cosα .

Необходимость в использовании формул для синуса и косинуса двойного угла возникает очень часто, для тангенса тоже нередко. Эти формулы следует знать наизусть. Тем более, что трудностей в их заучивании нет. Во-первых, формулы короткие. Во-вторых, их легко контролировать по формулам предыдущей группы, исходя из того, что 2α = α + α.
Например:
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin(α + α) = sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α = 2sinα·cosα.

Однако, если Вы быстрее выучили эти формулы, а не предыдущие, то можно поступать и наоборот: вспоминать формулу для суммы двух углов можно по соответствующей формуле для двойного угла.

Например, если нужна формула косинуса суммы двух углов:
1) вспоминаем формулу для косинуса двойного угла: cos2x = cos 2 x − sin 2 x;
2) расписываем её длинно: cos(x + x) = cosx·cosx − sinx·sinx;
3) заменяем один х на α, второй на β: cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Потренируйтесь аналогично восстанавливать формулы для синуса суммы и тангенса суммы. В ответственных случаях, таких как например ЕГЭ, проверяйте точность восстановленных формул по известным значениям функций для основных углов первой четверти: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка предыдущей формулы (полученной заменой в строке 3):
пусть α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,
тогда cos(α + β) = cos90° = 0, cosα = cos60° = 1/2, cosβ = cos30° = √3 _ /2, sinα = sin60° = √3 _ /2, sinβ = sin30° = 1/2;
подставляем значения в формулу: 0 = (1/2)·( √3 _ /2) − ( √3 _ /2)·(1/2);
0 &#8801 0, ошибок не обнаружено.

Формулы для тройного угла, на мой взгляд, специально «зубрить» не нужно. Они достаточно редко встречаются на экзаменах типа ЕГЭ. Они легко выводятся из формул, которые были выше, т.к. sin3α = sin(2α + α) . А тем учащимся, которым по каким-то причинам всё же потребуется выучить эти формулы наизусть, советую обратить внимание на их некоторую «симметричность» и запоминать не сами формулы, а мнемонические правила. Например, порядок в котором расположены числа в двух формулах «33433433» и т.п.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

IV группа. Сумма/разность — в произведение

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2 ;

sinα − sinβ = 2·sin α − β ____ 2 ·cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2·cos α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2 ;

cosα − cosβ = −2·sin α − β ____ 2 ·sin α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin(α + β) ________ cosα·cosβ ;

tgα − tgβ = sin(α − β) ________ cosα·cosβ .

sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________ 2 ·cos 90º − (−30º) __________ 2 =

= 2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.

Таким образом, формулы разности синусов и тангенсов не обязательно сразу заучивать наизусть.
С суммой и разностью косинусов дело обстоит сложнее. Эти формулы не взаимозаменяемы. Но опять же, пользуясь четностью косинуса, можно запомнить следующие правила.

Сумма cosα + cosβ не может изменить свой знак ни при каких изменениях знаков углов, поэтому произведение также должно состоять из четных функций, т.е. двух косинусов.

Знак разности cosα − cosβ зависит от значений самих функций, значит знак произведения должен зависеть от соотношения углов, поэтому произведение должно состоять из нечетных функций, т.е. двух синусов.

И всё-таки эта группа формул не самая лёгкая для запоминания. Это тот случай, когда лучше меньше зубрить, но больше проверять. Чтобы не допустить ошибки в формуле на ответственном экзамене, обязательно сначала запишите её на черновике и проверьте двумя способами. Сначала подстановками β = α и β = −α, затем по известным значениям функций для простых углов. Для этого лучше всего брать 90º и 30º, как это было сделано в примере выше, потому что полусумма и полуразность этих значений, снова дают простые углы, и Вы легко можете увидеть, как равенство становится тождеством для верного варианта. Или, наоборот, не выполняется, если Вы ошиблись.

Пример проверки формулы cosα − cosβ = 2·sin α − β ____ 2 ·sin α + β ____ 2 для разности косинусов с ошибкой !

1) Пусть β = α, тогда cosα − cosα = 2·sin α − α _____ 2 ·sin α + α _____ 2 = 2sin0·sinα = 0·sinα = 0. cosα − cosα &#8801 0.

2) Пусть β = − α, тогда cosα − cos(− α) = 2·sin α − (−α) _______ 2 ·sin α + (−α) _______ 2 = 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0. cosα − cos(− α) = cosα − cosα &#8801 0.

Эти проверки показали, что функции в формуле использованы правильно, но из-за того, что тождество получалось вида 0 &#8801 0, могла быть пропущена ошибка со знаком или коэффициентом. Делаем третью проверку.

3) Пусть α = 90º, β = 30º, тогда cos90º − cos30º = 2·sin 90º − 30º ________ 2 ·sin 90º + 30º ________ 2 = 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·( √3 _ /2) = √3 _ /2.

cos90 − cos30 = 0 − √3 _ /2 = − √3 _ /2 ≠ √3 _ /2.

Ошибка была действительно в знаке и только в знаке перед произведением.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

V группа. Произведение — в сумму/разность

sinα·sinβ = 1 _ 2 · ( cos(α − β) − cos(α + β) ) ;

cosα·cosβ = 1 _ 2 · ( cos(α − β) + cos(α + β) ) ;

sinα·cosβ = 1 _ 2 · ( sin(α − β) + sin(α + β) ) .

α = α + β ____ 2 + α − β ____ 2 ; β = α + β ____ 2 − α − β ____ 2 .

Рассмотрим пример: нужно преобразовать произведение sin5x·cos3x в сумму двух тригонометрических функций.
Поскольку в произведение входят и синус, и косинус, то берём из предыдущей группы формулу для суммы синусов, которую уже выучили, и записываем её на черновике.

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2

Пусть 5x = α + β ____ 2 и 3x = α − β ____ 2 , тогда α = α + β ____ 2 + α − β ____ 2 = 5x + 3x = 8x, β = α + β ____ 2 − α − β ____ 2 = 5x − 3x = 2x.

Заменяем в формуле на черновике значения углов, выраженные через переменные α и β, на значения углов, выраженные через переменную x.
Получим sin8x + sin2x = 2·sin5x·cos3x

Делим обе части равества на 2 и записываем его на чистовик справа налево sin5x·cos3x = 1 _ 2 (sin8x + sin2x). Ответ готов.

В качестве упражнения: Объясните, почему в учебнике формул для преобразования суммы/разности в произведение 6, а обратных (для преобразования произведения в сумму или разность) — всего 3?

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

VI группа. Формулы понижения степени

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2 ;

sin 2 α = 1 − cos2α _________ 2 ;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4 ;

sin 3 α = 3sinα − sin3α ____________ 4 .

Первые две формулы этой группы очень нужны. Применяются часто при решении тригонометрических уравнений, в том числе уровня единого экзамена, а также при вычислении интегралов, содержащих подинтегральные функции тригонометрического типа.

Возможно, будет легче запомнить их в следующей «одноэтажной» форме
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 − cos2α,
а разделить на 2 всегда можно в уме или на черновике.

Необходимость в использовании следующих двух формул (с кубами функций) на экзаменах встречается гораздо реже. В другой обстановке у Вас всегда будет время воспользоваться черновиком. При этом возможны следующие варианты:
1) Если Вы помните последние две формулы III-ей группы, то пользуйтесь ими, чтобы выражать sin 3 α и cos 3 α путем несложных преобразований.
2) Если в последних двух формулах этой группы Вы заметили элементы симметрии, которые способствуют их запоминанию, то записывайте «эскизы» формул на черновике и проверяйте их по значениям основных углов.
3) Если, кроме того, что такие формулы понижения степени существуют, Вы о них ничего не знаете, то решайте задачу поэтапно, исходя из того, что sin 3 α = sin 2 α·sinα и прочих выученных формул. Потребуются формулы понижения степени для квадрата и формулы преобразования произведения в сумму.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

VII группа. Половинный аргумент

sin α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 2 ; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2 ; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 1 + cosα . _____

Не вижу смысла в заучивании наизусть этой группы формул в том виде, в котором они представлены в учебниках и справочниках. Если Вы понимаете, что α есть половина от 2α, то этого достаточно, чтобы быстро вывести нужную формулу половинного аргумента, исходя из первых двух формул понижения степени.

Это касается также тангенса половинного угла, формула для которого получается делением выражения для синуса на соответствующее выражение для косинуса.

Не забудьте только при извлечении квадратного корня поставить знак ±.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.

VIII группа. Универсальная подстановка

sinα = 2tg(α/2) _________ 1 + tg 2 (α/2) ;

cosα = 1 − tg 2 (α/2) __________ 1 + tg 2 (α/2) ;

tgα = 2tg(α/2) _________ 1 − tg 2 (α/2) .

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы оценить необходимые усилия на заучивание этих формул.

IX группа. Формулы приведения.

X группа. Значения для основных углов.

Итак, делаем вывод: Формулы тригонометрии знать надо. Чем больше, тем лучше. Но на что тратить своё время и усилия — на заучивание формул или на их восстановление в процессе решения задач, каждый должен решить самостоятельно.

Пример задачи на использование формул тригонометрии

Имеем две разные функции sin() и cos() и четыре! разных аргумента 5x, 3x, 8x и 6x. Без предварительных преобразований свести к простейшим типам тригонометрических уравнений не получится. Поэтому сначала пробуем заменить произведения на суммы или разности функций.
Делаем это так же, как в примере выше (см. раздел Преобразование произведения функций в сумму или разность).

Выражая из этих равенств произведения, подставляем их в уравнение. Получим:

Умножаем на 2 обе части уравнения, раскрываем скобки и приводим подобные члены

Уравнение значительно упростилось, но решать его так sin8x = sin14x, следовательно 8x = 14x + T, где Т — период, неверно, так как мы не знаем значения этого периода. Поэтому воспользуемся тем, что в правой части равенства стоит 0, с которым легко сравнивать множители в любом выражении.
Чтобы разложить sin8x − sin14x на множители, нужно перейти от разности к произведению. Для этого можно воспользоваться формулой разности синусов, или снова формулой суммы синусов и нечётностью функции синус (см. пример в разделе Преобразование суммы или разности функций в произведение).

Итак, уравнение sin8x − sin14x = 0 равносильно уравнению sin3x·cos11x = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух простейших уравнений sin3x = 0 и cos11x = 0. Решая последние, получаем две серии ответов
x₁ = πn/3, nϵZ
x₂ = π/22 + πk/11, kϵZ

Если Вы обнаружили ошибку или опечатку в тексте, сообщите о ней, пожалуйста, на электронный адрес mathematichka@yandex.ru. Буду весьма признательна.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.