Общие законы и уравнения динамики жидкости

Общие законы и уравнения динамики жидкостей и газов

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости выражает собой закон сохранения удельной энергии жидкости вдоль потока. Под удельной энергией понимают энергию, отнесенную к единице веса, объема или массы жидкости. Обычно удобнее бывает относить энергию к единице веса. В этом случае уравнение Бернулли, записанное для сечений 1 и 2 элементарной струйки или потока идеальной жидкости, имеет вид

(4.1)

где z – вертикальные координаты центров тяжести сечений или удельная энергия положения;

p/(ρg) –пьезометрическая высота, или удельная энергия давления;

υ 2 /(2g) – скоростная высота (напор), или удельная кинетическая энергия;

H – полный напор, или полная удельная энергия жидкости.

Рис.18. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для потока реальной жидкости

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

(4.2)

где υ_ср – средняя по сечению скорость, равная υ_cp= Q/А;

α – коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распре-деления скоростей по сечениям и равный отношению действительной ки-нетической энергии, потока к кинетической энергии того же потока, но при равномерном распределении скоростей;

Σh – суммарная потеря полного напора между сечениями 1 и 2.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ₁ω ₁ = υ₂ω₂.

Величина потерь напора (удельной энергии) определяется многими факторами: площадью поперечного сечения и длиной трубопровода, шероховатостью его внутренней поверхности, наличием местных сопротивлений, скоростью и режимом течения, вязкостью жидкости.

Различают два вида гидравлических потерь напора: местные потери и потери на трение по длине:

= h_лин + h_мест (4.3)

Рис.19 . Гидравлические потери по длине(а)и местные(б,в,г)

Местные потери напора происходят в так называемых местных гидравлических сопротивлениях, т. е. в местах изменения формы и размеров русла, где поток так или иначе деформируется — расширяется, сужается, искривляется — или имеет место более сложная деформация.

Где ζ_м – безразмерный коэффициент местного сопротивления.

Местные потери выражаются формулой Вейсбаха:

Потери напора по длине определяются общей формулой Дарси:

Для определения потерь давления используются формулы:

Два режима течения жидкости

Течение реальной жидкости характеризуется различными режимами ее движения, которые могут переходить один в другой при определенных условиях. Экспериментальные исследования гидравлических сопротивлений показывают, что потери напора (потери энергии) зависят от существующего в потоке режима движения.

Существование двух принципиально разных режимов движения жидкости было отмечено Г. Хагеном в 1839 и 1854 г г. В 1880 г. Д. И. Менделеев также высказал суждение о существовании двух режимов движения жидкости вследствие различия законов сопротивления движению. Позже английский физик О. Рейнольдс, а затем профессор Петербургского технологического института Н. П. Петров экспериментально подтвердили наличие двух режимов.

При изучении течения всевозможных капельных жидкостей с различными физическими свойствами. Рейнольдс установил, что движение бывает ламинарным и турбулентным.

«Ламинарный» происходит от латинского слова lamina — слой. Ламинарным называется такой режим, когда поток жидкости движется отдельными струйками или слоями и траектории отдельных частиц между собой не пересекаются. В практике ламинарный режим имеет место при движении жидкостей с большой вязкостью (нефти, смазочных масел), при движении воды через тонкие трубки, в трубопроводах при малых скоростях потока.

«Турбулентный» происходит от латинского слова turbulentus — беспорядочный. Турбулентным называется такой режим, когда струйность потока нарушается, все струйки перемешиваются и траектории движущихся частиц приобретают сложную форму, пересекаясь между собой.

В практике чаще всего имеет место турбулентный режим движения жидкости.

Установка Рейнольдса для исследования режимов движения жидкости пред ста влена на рис. 27. Сосуд А заполняется испытуемой жидкостью. К сосуду А в нижней его части присоединена стеклянная трубка 1 с краном 2, которым регулируется скорость течения в трубке. Над сосудом А расположен сосуд сраствором краски, от которого отходит трубка скраном . По мере открытия крана увеличивается скорость движения и режим движения переходит в турбулентный, при этом струйка приобретает волнообразный характер, а при еще большей скорости совсем размывается и смешивается с жидкостью в трубке. При постепенном закрытии крана эти явления протекают в обратном порядке, т. е. турбулентный режим сменяется ламинарным.

Опыты показали, что переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при определенной скорости (эта скорость называется критической),которая различна для разных жидкостей и диаметров труб; при этом критическая скорость растет с увеличением вязкости жидкости и с уменьшением диаметра труб.

Рейнольдсом и рядом других ученых опытным путем было установлено, что признаком режима движения является некоторое безразмерное число, учитывающее основные характеристики потока

, (4.8)

где – скорость, м/сек; R — гидравлический радиус, м; v — кинематический коэффициент вязкости, м2/сек.

Это отношение называется числом Рейнолъдса. Значение числа Re, при котором турбулентный режим переходит в ламинарный, называют критическим числом Рейнолъдса ReKp.

Если фактическое значение числа Re, вычисленного по формуле (82), будет больше критического Re > ReKp – режим движения турбулентный, когда Re

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Законы гидродинамики

Вы будете перенаправлены на Автор24

Гидродинамика – это раздел науки, исследующий законы взаимодействия жидкостей и реальных газов с неподвижными и движущимися поверхностями, что предполагает рассмотрение условий и уравнений равновесия и движение веществ.

Рисунок 1. Закон Пуазейля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Жидкость, в которой не появляются силы внутреннего трения при любом ее движении, называют в физике идеальной. Другими словами, в идеальных элементах существуют только показатели нормального, постоянного давления, которые в основном определяются уровнем сжатия и температурой жидкости. Модель наиболее подходящего вещества используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости крайне малы.

Давление в любой материальной точке покоящейся жидкости одинаково и равномерно во всех направлениях. Практическое использование гидродинамики чрезвычайно велико и разнообразно. Гидродинамикой пользуются при моделировании самолетов и кораблей, расчете прочнейших трубопроводов, гидротурбин, насосов и водосливных плотин, при изучении морских течений и речных наносов. Законы гидродинамики, которые составляют основу механических явлений, в значительной степени определяют характер течения тепловых и диффузионных процессов.

Гидродинамические законы позволяют точно и преждевременно определять разность внутренних давлений, необходимую для дальнейшего перемещения определенного количества жидкости с установленной скоростью.

Уравнения Бернулли и постоянства расхода потока

Рисунок 2. Уравнение Бернулл. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Готовые работы на аналогичную тему

Эти два уравнения являются мощной базой и главнейшими формулами гидродинамики. С их помощью возможно подойти к решению практически любой важной задачи во всех сферах науки. Особое внимание необходимо уделить выводу уравнения Бернулли, а также уяснению его энергетического, физического и геометрического смысла. Для улучшения усвоения и понимания данной формулы, а также возможностей ее использования в практических расчетах следует решить несколько задач и выполнить определенные лабораторные работы.

Произведение средней скорости потока идеальной жидкости на площадь неоднородного сечения при установившемся движении есть величина постоянная.

Уравнение неразрывности или постоянства потока является первым и основным законом гидродинамики, которое позволяет при секундном известном расходе установить скорость движения веществ в любом сечении потока и наоборот — точный расход жидкости при начальной скорости ее движения.

В свою очередь, уравнение Бернулли устанавливает тесную взаимосвязь скорости и давления в разнообразных средах одной и той же струи. Таким образом, обе формулы можно сформулировать следующим образом: сумма кинетической энергии и полный напор движущейся жидкости является главными параметрами движущейся жидкости.

Закон Пуазейля

Закон Пуазейля представляет собой универсальную формулу для объемной скорости дальнейшего течения жидкости.

Он был создан экспериментально французским исследователем Пуазейлем, который изучал течение крови в кровеносных сосудах. Именно эту теорию часто называют одним из важнейших законов гидродинамики.

Закон Пуазейля непосредственно связывает объемную скорость течения идеальной жидкости с разностью внутреннего давления в начале и конце трубки как основной движущей силой потока, радиусом, вязкостью жидкости и длиной самой среды. Эту гипотезу зачастую используют в случае, если движение жидкости ламинарное.

Формула закона Пуазейля записывается следующим образом:

Такое положение показывает, что величина $Q$ всегда прямо пропорциональна разнице внутреннего давления $P_1 — P_2$ в начале и конце трубки. Если $P_1$ равняется $P_2$, тогда поток жидкости мгновенно прекращается.

Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к:

• автоматическому снижению объемного параметра направления жидкости;
• весомым различиям объемной скорости веществ, протекающих через кровеносные сосуды;
• к постепенному введению дополнительной величины — гидродинамического сопротивления.

Новые законы гидродинамики

Для более детального понимания турбулентности, как состояния равномерной среды, жидкости, газа, или их смесей, внутри которой формируются хаотические колебания скорости, давления, температуры и плотности, необходимо знать вновь открытые законы гидродинамики. Среди них теории галактик нашей Вселенной и образования планет.

Кинематическая и внутренняя вязкость водного или воздушного потока (внутреннее трение) — это характеристика реальных жидкостей, или газов, которые могут сопротивляться перемещению одной части элементов относительно другой.

При такой трансформации возникают определенные силы внутреннего трения, направленные исключительно по касательной к поверхности среды.

Например, новый закон энергетического потенциала материального тела, находящегося в пространстве, утверждает, что каждое физическое вещество (молекула воздуха или воды), которое будет находиться в разных пространствах, будет обладать разным коэффициентом энергии. Однако следует помнить, чтобы перенести любое тело из одной среды в другую, необходима работа, которая будет прямо пропорциональна полученной энергии, выделенной из иной среды.

При решении конкретной задачи в гидродинамике используют основные методы и законы механики, учитывая общие свойства идеальных жидкостей, получают правильное решение, позволяющее точно определить давление, скорость, и касательную напряжения в любой точке занятого элементом пространства. Это даёт уникальную возможность рассчитать силы взаимодействия между твердым телом и жидкостью. Из нового закона стало понятно, что даже при ламинарном движении частиц в реке каждый слой водного потока испытывает серьезные потери в работе, силе и энергии.

Если такой процесс проходит по переменному, нестабильному сечению горизонтальной трубы желательно учитывать еще общие потери в переменном сечении, которые включают:

• потери мощности водного потока в ходе перемещения каждого слоя;
• температурные убытки внутри водного потока;
• потери энергии водного потока на движение каждого слоя;
• потери времени на перемещение каждого слоя водного потока;
• потери от физических свойств и кинематической силы жидкости.

Для точного и быстрого расчета водного потока, перемещающегося по переменному сечению трубопровода или устью реки, в гидродинамике был выведен второй закон Белашова, который устанавливает момент силы для дальнейшего движения одного потока или любой жидкой смеси. Данные законы полностью соответствуют размерным единицам существующих физических величин и по ним возможно легко вычислить перемещение газовой смеси или воздушного потока, где на практике необходимо заменить плотность среды на плотность веществ, при этом все указанные выше потери будут выражены в Ньютонах.