Общий метод решения уравнений и их систем

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Поурочный план на тему «Общие методы решения уравнений и их систем «

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тем а : «Общие методы решения уравнений и их систем » . Практическое решение задач.

Цель урока: обеспечить усвоения новых знаний с ориентацией на их практическое применение.

Образовательные: Систематизировать, обобщить знания и умения обучающихся по применению различных методов решения уравнений.

Развивающие: Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

Воспитательные: Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать обучающихся взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Должны владеть : знать простые методы решения уравнения.

Должны уметь : принимать самостаятельное решение.

Должны знать: понимать значимость прошлой темы.

Тип урока: урок обобщающего повторения.

Оборудование: раздаточный материал (задания), презентация.

Организационный момент. ( 3 мин.)

Формулировка темы урока.

Формулировка целей урока.

Повторение пройденного материала(7 мин).

Фронтальный опрос. (5 мин)

Актуализация опорных знаний ( 15 мин).

Повторение и обобщение темы (30 мин).

Разминка ( 10 мин)

Домашнее задание. ( 4 мин.)

Рефлексия урока. ( 10 мин.)

Итог урока. Выставление оценок. ( 6 мин.)

Приветствие обучающихся. Преподаватель сообщает тему урока, цели урока.

— Ребята, на сегодняшнем уроке мы повторим основные методы решения уравнений. Эпиграфом к уроку будут слова немецкого математика Лейбница. «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

Повторение пройденного материала

Что такое логарифмы? Дать определение. ( Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b )

Основное логарифмическое тождество? ()

Поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений».

– Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

– Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Актуализация опорных знаний.

Действительно, правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим способом.

Сегодня мы постараемся вспомнить, уравнения какого вида были изучены нами, повторить общие стандартные методы их решения, формулы и правила, необходимые для их решения.

Итак, уравнения какого вида были изучены? (Тригонометрические, показательные, логарифмические).

Напомните, пожалуйста, общие стандартные методы их решения. (Решение простейших уравнений, уравнений, сводящихся к простейшим с помощью тождественных преобразований, метод замены и введения новой переменной.)

Какие методы решения уравнений можно выделить как общие?

Метод разложения на множители.

Метод введения новой переменной.

Метод замены уравнения равносильным.

Запишем в рабочих тетрадях опорный конспект.

1. Метод разложения на множители.

Уравнениезаменить совокупностью уравнений . Необходима проверка корней.

2. Метод введения новой переменной.

Пусть тогда уравнение равносильно уравнению p(t)=0.

3. Метод замены уравнения равносильным.

При решении показательных уравнений: уравнение равносильно

При решении логарифмических уравнений: уравнение a≠1) равносильно

При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение равносильно

построение графиков функций определение абсцисс точек пересечения графиков.

использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.

4.Повторение и обобщение темы.

Решая тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, практически всегда на последнем этапе все сводится к решению уравнений простейшего вида, поэтому очень важно уметь их решать. Давайте вспомним виды простейших уравнений, формулы и правила их решения.

Решение (общая формула)

уравнение решений не имеет.

|a|>1, уравнение решений не имеет.

если b >0, b = a x 0 , x = x _0;

если b ≠ a x 0 , то x = log _a b ;

если b ≤0, уравнение решений не имеет.

cos x = 1/2 2 x = 8 log ₉ x = 2

sin x = — √ 2/2 3 x = 81 log ₃ x = -4

tg x = -1 2 x = 1/32 log ₃₂ x = 1/5

ctg x = √ 3 3 x = 243 log _x 125 = 3

tg x = — 1/ √ 3 2 x = 256 log ₉ x = -1/2

cos x = — √ 3/2 3 x = 1/3 √ 27 log ₅ x = 4

sin x = √ 3/2 5 x = 1/125 log ₂ x = 6

ctg x = 0 5 x = 625 1/4 log ₈₁ x = -1/3

Сейчас, приступайте к выполнению задания на карточке №1.

А теперь рассмотрим уравнения, которые, в ходе решения, будут сведены к простейшему виду с помощью тождественных преобразований. Но, о чем следует помнить, применяя этот метод решения уравнений? ( Следует помнить о том, что заменять данное выражение необходимо таким выражением, которое будет определено на области определения исходного или на более широком множестве, так как в противном случае может произойти потеря корней.)

Например, рассмотрим уравнение log ₃ x 2 = 10.

Преобразования, не приводящие к потере корней: Преобразования, приводящие к потере корней.

2 log3|x|= 10 2 log ₃ x = 10

x ₁ = 243 x = 243

cos 3x + cos(4π-3x) = 1

sin (x/3) cos(x/3) = — √ 3/4

3 x^2-7x+31 : 3 3x^2-4x-1 = 1

Приступайте к выполнению задания на карточке №2. (Время ограничено.)

3 4x-9 -81 0,5x-7 =3 -2/3

((1/7) 0,5x^2-5x ) 2 ·49 -4x+2 =7

cos 2 2x=sin 2 2x- √ 3/2

log _1/3 (x 2 -9) 2 =log _1/3 ( x 2 -9)-3

√ 5 x^2-3x+1 : √ 5 2x^2-3 =1

4sin 2 3x=1-cos6x

(0,5 x-3 ) 4 • 2 x =0,25

Одним из основных стандартных методов решения уравнений является метод замены переменной. В чем заключается данный метод? (обучающиеся отвечают.)

af 2 ( x )+ bf ( x )+ c =0, где a ≠0, то при его решении выполняют замену f ( x )= t , приводящую к квадратному уравнению at 2 + bt + c =0. Решение квадратного уравнения представляет собой стандартную ситуацию. Если квадратное уравнение имеет решение, то выполняют переход к исходной переменной.

Решим уравнение sin 2 x-sinx-2=0

План решения и пояснения.

1. Выполним замену переменной, т.к. данное уравнение имеет вид af 2 ( x )+ bf ( x )+ c =0.

Запишем получившееся уравнение.

Решим уравнение относительно t.

Вернемся к исходной переменной.

sinx =2 и sinx =-1

Решений нет, т.к.|2|>1. x =- π /2+2 πk , kϵZ

Ответ: x =- π /2+2 πk , kϵZ

2 2x+1 + 3 ∙ 2 x -2=0

cos 2 x+3,5sinx+1=0

25 x -3 ∙ 5 x +10=0

А сейчас приступайте к выполнению заданий на карточке №3. (Время ограничено.)

2sin 2 x+3sinx+1=0

8 • 2 2x -6 • 2 x +1=0

3tg 2 3x+4tg3x+1=0

5 • 0,2 2x +9 • 0,2 x -2=0

5 • (1/5) 2x -14(1/5) x -3=0

(1/4) 2x +4 • (1/4) x =-5

tg 2 x/4 – 3tg x/4 = -5

0,5 2x -3 • 0,5 x +2=0

Разминка. Игра «Домино»

Решить уравнения, записанные на карточках № 1,2,3.

Сделать итог сегодняшнего урока в 5-ти предложениях. Сократить до 5-ти слов. Сейчас до 1 слов

Итог урока. Выставление оценок.

Алгебра и начала анализа 11 класс. / Шыныбеков, 2011.

Алгебра. Открытые уроки (обобщающее повторение в 7,9,10 кл.). /Авт. сост. С.Н. Зеленская – Волгоград: Учитель, 2007.

Интернет — ресурсы. http://images.yandex.ru/

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 897 материалов в базе

Другие материалы

• 11.06.2019
• 750
• 71

• 11.06.2019
• 143
• 2

• 11.06.2019
• 3591
• 46

• 11.06.2019
• 680
• 7

• 11.06.2019
• 1204
• 133

• 11.06.2019
• 1646
• 162

• 11.06.2019
• 837
• 6

• 11.06.2019
• 386
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.06.2019 614
• DOCX 169.3 кбайт
• 10 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Малгелді Жадыра Мағауияқызы. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 3408
• Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.