Общий вид дифференциальных уравнений переходных процессов

Дифференциальных уравнений

Переходные процессы в линейных электрических цепях описываются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В настоящем пособии рассматриваются переходные процессы в цепях постоянного тока не выше второго порядка, поэтому остановимся лишь на основных положениях теории уравнений первого и второго порядка применительно к решаемым задачам.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где y − искомая функция, зависящая от времени; q − постоянный коэффициент; F₁ − некоторая функция от времени.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

где y − искомая функция, зависящая от времени; p,q − постоянные коэффициенты; F₂ − некоторая функция от времени.

При расчете переходных процессов за искомую функцию принимают либо ток в индуктивности i_L(t), либо напряжение на емкости u_C(t), которые называют переменными состояния. Такое название обусловлено тем, что именно процессы в реактивных элементах определяют характер переходного процесса. Так как согласно законам коммутации ток в индуктивности и напряжение на емкости до и после момента коммутации не меняют своих значений, то это позволяет просто найти начальные условия при решении дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы была понятна связь между дифференциальными уравнениями и переходными режимами в электрических цепях, примем в качестве искомой функции ток в индуктивности i_L(t). Тогда уравнения (6.2) и (6.3) примут вид

Функции F₁ и F₂ для линейных цепей постоянного тока представляют собой постоянные, определяемые параметрами источников энергии и структурой цепи.

Известно, что решением каждого из уравнений (6.4) и (6.5) является сумма двух составляющих:

где i_общ(t) − общее решение однородного уравнения_., которое получается из уравнений (6.4) и (6.5) при F₁=0 и F₂=0; i_ч − частное решение уравнений (6.4) и (6.5).

Рассмотрим порядок решения уравнений.

1. Решение дифференциального уравнения первого порядка (6.4).

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение i_общ(t) линейного однородного уравнения первого порядка ищется в виде показательной функции:

где C − произвольная постоянная; k − корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение получается из уравнения (6.7) заменой операции дифференцирования умножением на характеристическое число k:

Сокращая на i_L(t), получим стандартный вид характеристического уравнения

Корень полученного уравнения k = − q. Тогда общее решение запишется в виде:

Частным решением i_ч является любое конкретное значение переменной i(t), которое при подстановке в исходное уравнение (6.4) дает тождество.

Применительно к переходным процессам в электрических цепях в качестве частного решения принимают установившееся значение рассматриваемой переменной, в данном случае − ток I_Lуст в индуктивности. Действительно, математическим условием достижения установившегося режима является требование t→∞. Поскольку выражение (6.6) дает величину тока в любой момент времени после коммутации, в том числе и в установившемся режиме, то, подставляя (6.8) в (6.6) и полагая t→∞, получим:

В цепях постоянного тока установившееся значение тока − величина постоянная, поэтому из уравнения (6.4) следует очевидное равенство:

Таким образом, решением уравнения первого порядка будет выражение

Осталось найти постоянную С. Она находится из начального условия, т.е. по значению переменной i_L(t) (тока в индуктивности) при t= t₊₀=0. Полагая известным начальное значение тока i_L(t₊₀)= i_L+0, и подставляя его в выражение (6.9), получим

2. Решение дифференциального уравнения (6.5) второго порядка.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид

Как известно, данное квадратное уравнение имеет два корня:

В зависимости от знака подкоренного выражения возможны три варианта:

− оба корня вещественные и разные: k₁≠ k₂ , если

− корни вещественные и одинаковые: k₁=k₂ , если

− корни комплексные сопряженные: k_1,2=α ± jω₀ , где

Соответствующие выражения для общих решений уравнения (6.10) приведены в табл. 6.1.

Общие решения уравнения второго порядка Таблица 6.1

Вид корней	Вид общего решения
Вещественные и разные k1≠ k2
Вещественные и одинаковые k1=k2=k
Комплексные сопряженные k1,2=α ± jω0

Решением уравнения (6.5) является сумма общего и частного решений:

Общее решение берется из табл. 6.1 в соответствии с видом корней характеристического уравнения. Частное решение i_ч представляет собой установившееся значение тока в индуктивности: i_ч= I_Lуст.

Для определения произвольных постоянных C₁ и C₂ необходимо знать начальные значения тока i_L(t₊₀)= i_L+0 и его производной i′_L(t₊₀)= i′_L+0 . Их определение рассмотрим дальше на примере решения конкретных задач, а сейчас полагаем их известными. Тогда для определения произвольных постоянных C₁ и C₂ следует составить два уравнения для момента времени t= t₊₀=0. Составим их для случая вещественных и разных корней k₁≠ k₂.

В уравнение (6.11) подставим соответствующее выражение для общего решения и установившееся значение I_Lуст тока и положим t= t₊₀=0. В результате получим:

Продифференцируем уравнение (6.11) с учетом вида общего решения:

и положим t= t₊₀=0. Тогда

Решаем систему из полученных уравнений:

откуда найдем постоянные C₁ и C₂.

Окончательно решение уравнения (6.5) запишется в виде:

Так как установившееся значение тока − величина постоянная, то из уравнения (6.5) следует очевидное равенство:

Для двух других видов корней характеристического уравнения произвольные постоянные находятся аналогично.

Таким образом, решение неоднородного дифференциального уравнения сводится к решению характеристического уравнения и нахождению произвольных постоянных по начальным условиям с учетом параметров установившегося режима после коммутации.

Дата добавления: 2015-02-16 ; просмотров: 1151 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

№70 Анализ переходных процессов в цепи R, L, C.

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t — ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0

Общий вид дифференциальных уравнений переходных процессов

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

;

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

;

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

.

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

,

(2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

и .

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

и .

Для известных значений и из уравнения

определяется .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

.

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.