Общий вид решения уравнения sinx

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Решение тригонометрических уравнений вида sin x = a

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Ф.И.О.: Якунин Михаил Владиславович

Класс: 10 «Б» Дата: 1.11.2017 г. Предмет: Алгебра № урока по расписанию: 2

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений вида sin x = a . Арксинус.

Развитие самостоятельности в работе, трудолюбия, аккуратности и внимательности

Развитие навыков самоконтроля и самоанализа при оценке результатов деятельности.

Формирование учебной, информационной, коммуникативной компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации.

Формирование алгоритма анализа информации для решения тригонометрических уравнений вида sin x = a ;

Отработка умений применять необходимый метод решения тригонометрических уравнений в зависимости от их типа;

Выдвижение гипотез и предположений на основании полученной информации, их аргументация и защита;

Тип урока: комбинированный урок.

У учителя: учебник « Алгебра и начала математического анализа»,10 класс, А.Г. Мордкович, П.В.Семенов , таблица «Значения тригонометрических функций» , компьютер, проектор, интерактивная доска , презентация «Решение тригонометрических уравнений sin x = a . Арккосинус».

У каждого учащегося: учебник « Алгебра и начала математического анализа»,10 класс, А.Г. Мордкович, П.В.Семенов , таблица «Значения тригонометрических функций», тетрадь.

Структура и ход урока:

Организация рабочего места.

Приветствуют учителя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к уроку.

Развитие умения организовать рабочую среду. Развитие доброжелательности и эмоциональной отзывчивости.

Развитие эстетического сознания.

Проверка домашнего задания

На слайде представлены ячейки со скрытыми в них табличными значениями sin .

Смотрят на слайды. Выбирают ячейку и отвечают на скрытый в ячейке вопрос.

Формирование навыков самоконтроля и добросовестного отношения к учению, умения управлять своей познавательной деятельностью.

Рассматривает тригонометрическую окружность и обозначенную на ней точку.

Повторяет определение косинуса. Формулирует определение синуса.

Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной̆ окружности, соответствующей данному углу α .

Рассматривает координаты различных точек, градусную меру угла.

Вводит не табличное значение синуса.

На основании выводов детей, данных на основе ранее изученного материала, вводит понятие арксинуса.

Арксинус числа a ∈ [−1, 1] – это угол −90°≤α≤90° (−π/2≤α≤π/2), синус которого равен a.

Принимают информацию, записывают в рабочую тетрадь. Смотрят на доску, выбирают координаты точек, говорят свои варианты ответов.

Ожидаемый ответ: Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Выдвигают гипотезы, аргументируют их.

Формулируют тему и цели урока.

Точку на числовой окружности с ординатой 1/3 мы можем, но определить угол нет.

Тема сегодняшнего занятия будет решение тригонометрических уравнений вида sin x = a .

Темой урока, я считаю, будет введение понятия арксинуса.

Воспитание целеустремленности, трудолюбия, самостоятельности

использование и применение полученных ранние знаний

формирование умений целеполагания

Основной этап работы по теме.

1.Вводит общее решение тригонометрических уравнений вида sin x = a :

Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой:

x = (- 1) k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (целые числа), при | a |> 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.

2.Рассматривает частные случаи при а=1,-1,0.

4.Рассматривает ситуацию с отрицательным а. Вводит формулу нахождения arcsin (- a ):

Записывают определение в рабочую тетрадь.

Записывают алгоритм решения тригонометрических уравнений вида sin x = a . Обсуждают частные случаи. Записывают формулу нахождения arcsin (- a ).

Связывают новые знания с ранее полученными.

формирование умений нахождения алгоритма решения, планировать, т.е. составлять план действий с учетом конечного результата.

Закрепление полученного знания

Дает задание для самостоятельной работы по задачникам. Прописывает со слов учеников некоторые проблемные моменты на доске.

Решают тригонометрические задания самостоятельно в рабочих тетрадях. Задают вопросы по решению. Участвуют в обсуждении ответов.

Учащиеся, справившиеся быстрее класса, решают уравнения по индивидуальным карточкам.

Воспитание целеустремленности, трудолюбия, самостоятельности Познавательные УУД:

анализируют и применяют алгоритм при решении уравнений; воспитание уважения и принятия достижений математики;

выполняют самостоятельную работу, планируют свою деятельность, правильно оформляют свою работу,

проверяют и оценивают конечный результат.

Обобщает тему урока. Подводит итоги работы класса. Делает прогноз. Рассказывает про уникальный метод запоминания значений углов синуса.

Отвечает на возникшие вопросы. Выставляется оценки.

Слушают итоги. Делают выводы по результатам самостоятельной деятельности. Планируют дальнейшую деятельность.

Проведение анализа результатов индивидуальной самостоятельной деятельностей. Целеполагание. Планирование деятельности.

констатировать необходимость продолжения действий

адекватно отображать свои чувства, мысли в речевом высказывании.

Постановка домашнего задания

Запись домашнего задания:

П.16, № 16.1 (в,г), 16.2 (в,г), 16.3 (в,г).

Записывают домашнее задание. Задают вопросы по его выполнению.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 945 материалов в базе

Другие материалы

• 04.11.2017
• 1162
• 5

• 04.11.2017
• 347
• 2

• 04.11.2017
• 1177
• 53

• 04.11.2017
• 583
• 0

• 04.11.2017
• 42762
• 558

• 04.11.2017
• 604
• 0

• 04.11.2017
• 3170
• 7

• 04.11.2017
• 350
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 04.11.2017 1459
• DOCX 2.3 мбайт
• 16 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Якунин Михаил Владиславович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 46515
• Всего материалов: 34

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Уравнение sinx=a

Уравнение sinx=a

Необходимо запомнить

Итак, на этом уроке мы познакомились с понятием арксинуса.

Арксинусом числа $m (|m| \leq1) $ называется такое число $\alpha$, что: $sin\alpha = m $ и $- \frac <\pi> <2>\leq \alpha \leq \frac <\pi><2>$.

Арксинус числа $m$ обозначают:$arcsin m $

Получили три простейших тождества для арксинуса.

1) $sin (arcsin m) = m $ для любого $m$:$|m| \leq 1$

2) $arcsin ( sin \alpha) = \alpha$ для любого $\alpha: — \frac <\pi> <2>\leq\alpha \leq \frac <\pi><2>$

3) $arcsin (-m) = — arcsin $ $ m$

Мы узнали, какую форму имеет решение тригонометрического уравнения $sinx = \alpha$:

Решением уравнения $sin \alpha = m$ являются все числа вида

$ \alpha = \left[ \begin arcsin m + 2\pi k \\ \pi — arcsin m + 2\pi k \end \right. , k \in Z $

Оно имеет решение при $|\alpha| \leq 1$.

Для краткости решение тригонометрического уравнения $sin x = m$ можно записать в виде: $ x = (-1)^n arcsin m + \pi k, k \in Z$.