Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений

А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Борис Калантаев 5 лет назад Просмотров:

1 А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2 А. П. ГУРЕВИЧ, В. В. КОРНЕВ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ 2012

3 Эта книга написана по материалам лекций, которые в течение многих лет читались на механико-математическом факультете Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского. В ней нашли отражение основные разделы министерской программы по курсу дифференциальных уравнений для классических университетов. Данный учебник может использоваться студентами для самостоятельного изучения курса. Для студентов физико-математических специальностей университетов и других специальностей, требующих знания теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

4 О Г Л А В Л Е Н И Е ВВЕДЕНИЕ 3 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Симметрическая форма уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) Уравнения в полных дифференциалах Уравнения, не разрешенные относительно производной Задача Коши для нормальной системы Теорема существования и единственности решения задачи Коши Сведение системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, к нормальной системе Векторная форма записи нормальной системы дифференциальных уравнений Зависимость решений нормальной системы от параметров и начальных условий Линейные дифференциальные уравнения Линейные однородные уравнения n-го порядка Линейные неоднородные уравнения n-го порядка Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Уравнения Эйлера Метод степенных рядов Метод обобщенных степенных рядов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Линейная замена неизвестной функции Замена независимой переменной

5 4.3. Интегрирование с помощью частного решения Теория Штурма ЛИТЕРАТУРА 90 2

6 Введение Теория обыкновенных дифференциальных уравнений является важной частью современного математического образования. Для ее изучения требуются знания основ математического анализа и высшей алгебры. Данное пособие написано на основе лекций, которые в течение многих лет читаются студентам второго курса механикоматематического, физического и других факультетов Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений весьма обширна и содержит много разделов, которые невозможно изложить в одной книге. Пособие охватывает необходимый минимум сведений по обыкновенным дифференциальным уравнениям, который, по мнению авторов, должны знать студенты разных специальностей, а именно методы интегрирования уравнений первого порядка, теория линейных уравнений n-го порядка, теория линейных систем дифференциальных уравнений. Кроме того, в пособие включены дополнительные разделы, традиционно читаемые студентам-математикам, такие как краевые задачи для уравнений второго порядка, теория устойчивости и теория уравнений в частных производных первого порядка, тесно связанная с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Изложение материала носит классический характер и не использует понятие абсолютно непрерывной функции. При подготовке пособия авторы уделяли особое внимание строгости определений и доказательств теорем. В то же время они старались сделать их как можно проще и нагляднее, чтобы студенты могли самостоятельно изучить теорию дифференциальных уравнений. По обыкновенным дифференциальным уравнениям имеется много хороших учебников и монографий, некоторые из которых указаны в списке литературы. В качестве задачника можно рекомендовать известный сборник задач А. Ф. Филиппова. 3

7 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Определение 1.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ) = 0, (1.1) где x независимая переменная, y неизвестная функция y(x), y производная y (x), F заданная функция трех переменных, определенная в некоторой области D F пространства R 3. Замечание Все функции в этом разделе предполагаются вещественными. Определение 1.2. Пусть x (a, b). Непрерывно дифференцируемая функция ϕ(x) называется решением уравнения (1.1) на (a, b), если при подстановке ее в уравнение (1.1) вместо функции y получается тождество, т. е. F (x, ϕ(x), ϕ (x)) 0, x (a, b) (при этом, конечно, подразумевается, что (x, ϕ(x), ϕ (x)) D F для всех x). Важным частным случаем уравнения (1.1) является уравнение y = f(x, y), (1.2) где f заданная функция двух переменных, определенная в некоторой области D R 2. Определение 1.3. Уравнение (1.2) называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной (или уравнением первого порядка в нормальной форме). Простейшим примером уравнения, разрешенного относительно производной, является уравнение y = f(x), нахождение решения которого представляет собой не что иное, как задачу восстановления функции по ее производной. Если f(x) в этом уравнении является непрерывной, то любая ее первообразная f(x) dx является решением этого уравнения. Таким образом, дифференциальное уравнение может иметь бесконечно много решений. Определение 1.4. Каждое конкретное решение уравнения (1.1) (или(1.2)) называется частным решением, а множество всех частных решений этого уравнения называется общим решением. Решить дифференциальное уравнение означает найти его общее решение. 4

8 Очень часто требуется найти не общее решение уравнения (1.2), а частное решение y(x), про которое известно, что в заданной точке оно принимает заданное значение y 0, т. е. y( ) = y 0. (1.3) Определение 1.5. Задача нахождения решения уравнения (1.2), удовлетворяющего условию (1.3), называется задачей Коши. Условие (1.3) называется начальным условием. Впоследствии будет доказано, что задача Коши, как правило, имеет единственное решение Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка Решения уравнения (1.2) имеют простой геометрический смысл. Определение 1.6. Поставим каждой точке (x, y) D в соответствие прямую, проходящую через эту точку под углом, тангенс которого равен f(x, y), где f правая часть уравнения (1.2). В этом случае говорят, что правая часть уравнения (1.2) задает в области D поле направлений. Определение 1.7. Интегральной кривой уравнения (1.2) называется кривая, график которой лежит в области D, и в каждой точке графика существует касательная, которая совпадает с прямой поля направлений для этой точки. Пусть ϕ(x) решение уравнения (1.2). Вспоминая геометрическую интерпретацию производной функции в точке, легко видеть, что график функции ϕ(x) является интегральной кривой этого уравнения. Обратно, если некоторая интегральная кривая уравнения (1.2) является графиком функции ϕ(x), то функция ϕ(x) является решением уравнения (1.2). Таким образом, нахождение решений уравнения (1.2) с геометрической точки зрения есть задача построения интегральных кривых этого уравнения. А задача Коши с начальным условием (1.3) эквивалентна задаче нахождения интегральной кривой, проходящей через заданную точку (, y 0 ) D. Заметим, что не решая уравнение (1.2), с помощью его поля направлений можно приближенно строить интегральные кривые и делать качественные выводы о свойствах его решений. Следующая теорема дает ответы на вопросы: когда у задачи Коши (1.2) (1.3) существует решение и является ли оно единственным? 5

9 Теорема 1.1. Предположим, что функция f(x, y) и ее частная производная f(x,y) y непрерывны в области D и (, y 0 ) D. Тогда существует число h > 0 такое, что задача Коши (1.2) (1.3) имеет единственное решение, определенное на интервале ( h, + h). Эта теорема является частным случаем теоремы 2.3. Сделаем только два замечания. Замечание Теорема 1.1 носит локальный характер: число h может оказаться как угодно малым, поэтому речь идет о решении, определенном только в некоторой окрестности точки. Размер этой окрестности зависит, вообще говоря, от точки (, y 0 ) D. Замечание С геометрической точки зрения, теорема 1.1 утверждает, что через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая уравнения (1.2). Рассмотрим дифференциальное уравнение y = y. (1.4) Можно показать, что общее решение этого уравнения задается формулой y = ce x, где c произвольная вещественная константа. Другими словами, функция ϕ(x, c) = ce x при любом значении константы c есть решение уравнения (1.4). И, наоборот, любое решение уравнения (1.4) совпадает с функцией ϕ(x, c) при некотором значении c. В связи с этим можно ввести и такое определение общего решения. Определение 1.8. Функция ϕ(x, c), зависящая от параметра c, называется общим решением уравнения (1.1), если при любом допустимом значении константы c функция ϕ(x, c) есть решение уравнения (1.1), и, наоборот, любое решение уравнения (1.1) совпадает с ϕ(x, c) при некотором значении c. Как известно из математического анализа, функцию z(x) можно задать неявно с помощью уравнения Φ(x, z) = 0. (1.5) Если уравнение (1.5) при любом x (a, b) имеет единственное решение z(x), то говорят, что оно задает однозначную неявную функцию z(x). Справедлива следующая теорема. Теорема 1.2 (о неявной функции). Предположим, что функция Φ(x, z) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой 6

10 окрестности точки (, z 0 ), причем Φ(, z 0 ) = 0 и Φ z(, z 0 ) 0. Тогда уравнение (1.5) задает однозначную неявную функцию z(x), которая определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки, при этом z( ) = z 0 и z (x) = Φ x(x, z(x)) Φ z(x, z, (x)). В дальнейшем эта теорема неоднократно используется, так как очень часто решения дифференциальных уравнений находятся в неявном виде. В связи с этим дадим следующее определение. Определение 1.9. Если соотношение Φ(x, y) = c (1.6) (c вещественный параметр) задает однозначную неявную функцию y = ϕ(x, c), которая является общим решением уравнения (1.1), то оно называется общим интегралом этого уравнения. Рассмотрим простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений I-го порядка и методы их решения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Определение Уравнение y = f 1 (x)f 2 (y), (1.7) где f 1 (x), f 2 (y) заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными. Очевидно, уравнение (1.7) частный случай уравнения (1.2). Теорема 1.3. Предположим, что функции f 1 (x) и f 2 (y) определены и непрерывны на интервалах (a 1, b 1 ) и (a 2, b 2 ) соответственно, причем f 2 (y) нигде не обращается в ноль. Тогда для любой точки (, y 0 ) (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), где (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) прямоугольник, определяемый неравенствами a 1 11 точки, а соотношение 1 dy f 2 (y) f 1 (x) dx = c (1.9) является общим интегралом уравнения (1.7). Доказательство. Пусть F 1 (x) первообразная функции f 1 (x), 1 F 2 (y) первообразная функции f 2 (y), c 0 = F 2 (y 0 ) F 1 ( ). Перепишем (1.9) в виде Φ(x, y) = 0, (1.10) где Φ(x, y) = F 2 (y) F 1 (x) c 0. Нетрудно видеть, что Φ x(x, y) = f 1 (x), Φ y(x, y) = 1 f 2 (y), Φ(, y 0 ) = = 0 и выполняются условия теоремы 1.2. Следовательно, соотношение (1.10) задает неявно функцию y = ϕ(x), определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки, причем т.е. y( ) = y 0 и ϕ (x) = Φ x(x, ϕ(x)) Φ y(x, ϕ(x)) = f 1(x)f 2 (ϕ(x)), ϕ (x) f 1 (x)f 2 (ϕ(x)). Таким образом, ϕ(x) решение задачи Коши (1.7) (1.8). Докажем единственность решения этой задачи Коши. Пусть ϕ(x) является решением задачи (1.7) (1.8). Это означает, что ϕ x f 1 (x)f 2 ( ϕ(x)), ϕ( ) = y 0. Рассмотрим функцию Φ(x, ϕ(x)) и продифференцируем ее: d dx Φ(x, ϕ(x)) = Φ x(x, ϕ(x)) + Φ y(x, ϕ(x)) ϕ (x) = 1 = f 1 (x) + f 2 ( ϕ(x)) f 1(x)f 2 ( ϕ(x)) = 0. Следовательно, Φ(x, ϕ(x)) const. Найдем эту константу. Имеем Отсюда получаем, что Φ(, ϕ( )) = Φ(, y 0 ) = 0. Φ(x, ϕ(x)) 0, 1 Под f(x) dx в формуле (1.9) и в дальнейшем понимается произвольная, но фиксированная первообразная. 8

12 т. е. ϕ(x) неявная функция, определяемая уравнением (1.10). В силу единственности неявной функции ϕ(x) ϕ(x). Единственность решения задачи Коши доказана. Учитывая, что (, y 0 ) произвольная точка области D = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), заключаем, что любое решение уравнения (1.7) является неявной функцией, определяемой уравнением (1.9) при некотором c. Следовательно, соотношение (1.4) общий интеграл уравнения (1.7). Теорема доказана. Замечание Таким образом, решение уравнения с разделяющимися переменными (1.7) сводится к вычислению первообразных dy F 1 (x) = f 1 (x) dx, F 2 (y) = f 2 (y), а решение задачи Коши (1.7) (1.8) дается формулой или F 2 (y) F 1 (x) = F 2 (y 0 ) F 1 ( ), y y 0 dt f 2 (t) = f 1 (t)dt Симметрическая форма уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной Пусть y = ϕ(x) решение уравнения (1.2) на интервале (a, b), причем ϕ (x) 0. Тогда у функции ϕ существует обратная функция x = = ψ(y). По свойству обратных функций из тождества ϕ (x) f(x, ϕ(x)) следует, что ψ 1 (y) f(ψ(y), y). Это означает, что функция x = ψ(y) является решением уравнения dx dy = 1 f(x, y). (1.11) С формальной точки зрения уравнения (1.2) и (1.11) можно записать в виде одного уравнения dy = f(x, y) dx. (1.12) Если считать y функцией переменной x, то (1.2) получается из (1.12) делением на dx, а если x есть функция переменной y, то разделив обе части (1.12) на f(x, y) dy, получим уравнение (1.11). 9

13 Эти рассуждения можно обобщить. Определение Уравнением в дифференциалах называется уравнение A(x, y) dx + B(x, y) dy = 0, (1.13) где A, B заданные функции в области D. Если B(x, y) 0, то уравнение(1.13) называется симметрической формой уравнения dy A(x, y) = dx B(x, y). (1.14) Если A(x, y) 0, то уравнение (1.13) называется симметрической формой уравнения dx y) = B(x, dy A(x, y). (1.15) Если A(x, y) и B(x, y) не обращаются в нуль в области D одновременно, то уравнения (1.14) и (1.15) равносильны в том смысле, что множества их интегральных кривых совпадают. Другими словами, если известно решение одного из этих уравнений, то обратная функция будет решением другого уравнения. Таким образом, в уравнении (1.13) переменные x и y равноправны. Определение Уравнение (1.13) называется уравнением с разделяющимися переменными, если A(x, y) = A 1 (x)a 2 (y) и B(x, y) = = B 1 (x)b 2 (y). Нетрудно видеть, что если (1.13) есть уравнение с разделяющимися переменными и функции A, B не обращаются в нуль в области D, то из теоремы 1.3 следует, что и для уравнения (1.14), и для уравнения (1.15) общим интегралом будет одно и то же соотношение, а именно, A1 (x) B 1 (x) dx + B2 (y) dy = c. (1.16) A 2 (y) 1.4. Однородные дифференциальные уравнения Определение Уравнение y = f(x, y) (1.17) называется однородным, если функция f обладает следующим свойством: f(λu, λy) = f(u, y) (1.18) при любом допустимом значении параметра λ. 10

14 Теорема 1.4. Пусть y(x) есть решение однородного уравнения (1.17), а функция z(x) определяется равенством y(x) = xz(x). (1.19) Тогда функция z(x) есть решение уравнения с разделяющимися переменными z = 1 (ϕ(z) z), (1.20) x где ϕ(z) = f(1, z). Обратно, если z(x) решение уравнения (1.20), то функция y(x), определяемая формулой (1.19), будет решением уравнения (1.17). Доказательство. Пусть y(x) решение уравнения (1.17), т. е. ( y (x) = f(x, y(x)) = f x 1, x y(x) ) ( ) y(x) = ϕ = ϕ(z(x)). x x С другой стороны, y (x) = z(x) + xz (x). Следовательно, z(x) + xz (x) = = ϕ(z(x)) или z (x) 1 x (ϕ(z(x)) z(x)). Таким образом, z(x) решение уравнения (1.20). Повторяя эти рассуждения в обратном порядке, получаем утверждение теоремы. Замечание Теорема 1.4 содержит метод решения однородного уравнения (1.17). Для этого в уравнении надо выполнить замену неизвестной функции y(x) по формуле (1.19). Для новой неизвестной функции z(x) получается уравнение с разделяющимися переменными, решив которое и выполнив замену z(x) = 1 xy(x), мы получим решение однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Определение Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение a(x)y + b(x)y + c(x) = 0, (1.21) где a(x), b(x),c(x) заданные функции на интервале (a, b). Если c(x) 0, то уравнение (1.21) называется линейным однородным уравнением. Если a(x) 0 на (a, b), то на a(x) можно разделить обе части и записать уравнение (1.21) в нормальной форме y + p(x)y = q(x), (1.22) 11

15 где p(x), q(x) известные функции. Теорема 1.5. Предположим, что функции p(x), q(x) непрерывны на интервале (a, b). Тогда для любых чисел и y 0 (a 16 которое является уравнением с разделяющимися переменными, его общее решение можно найти по формуле (1.9) и записать в виде x y 0 (x) = c e p(t) dt, (1.27) где c произвольная константа; 2) ищем решение уравнения (1.22) в виде (1.27), но c понимаем не как константу, а как функцию переменной x, т. е. в виде x y(x) = c(x)e p(t) dt ; (1.28) 3) подставляем формулу (1.28) в уравнение (1.22): отсюда получаем x c (x)e p(t) dt p(x)y(x) + p(x)y(x) = q(x), x c p(t)dt x (x) = e 0 q(x); (1.29) 4) находим из соотношения (1.29) функцию c(x): c(x) = t p(s) ds x e 0 q(t)dt + c1, (1.30) где c 1 произвольная константа; 5) подставляем формулу (1.30) в формулу (1.28) и получаем общее решение уравнения (1.22), которое совпадает с (1.25). Замечание Проще запомнить метод вариации произвольной постоянной, чем формулу (1.24) или (1.25) Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим уравнение первого порядка в симметрической форме M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, (1.31) где функции M и N определены в области D. Определение Уравнение (1.31) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функция Φ(x, y), определенная и дифференцируемая в области D, такая что Φ x(x, y) = M(x, y), Φ y(x, y) = N(x, y). (1.32) 13

17 Замечание В этом случае левая часть уравнения (1.31) является полным дифференциалом df (x, y) = M(x, y) dx + N(x, y) dy. Теорема 1.6. Пусть уравнение (1.31) является уравнением в полных дифференциалах, причем функции M(x, y), N(x, y) непрерывны и N(x, y) 0 в D. Тогда 1) для любой точки (, y 0 ) D задача Коши для уравнения (1.31) с начальным условием y( ) = y 0 (1.33) имеет единственное решение; 2) общий интеграл уравнения (1.31) имеет вид Φ(x, y) = c. (1.34) Доказательство. Обозначим Φ 1 (x, y) = Φ(x, y) Φ(, y 0 ) и рассмотрим уравнение Φ 1 (x, y) = 0. (1.35) Φ 1 (x, y) удовлетворяет условиям теоремы 1.2 о неявной функции, так как Φ 1x(x, y) = M(x, y), Φ 1y(x, y) = N(x, y) 0 и Φ 1 (, y 0 ) = 0. Следовательно, уравнение (1.35) определяет в некоторой окрестности точки однозначную непрерывно дифференцируемую функцию ϕ(x), которая удовлетворяет равенствам ϕ( ) = y 0, ϕ M(x, ϕ(x)) (x) = N(x, ϕ(x)). Из второго равенства следует, что ϕ(x) есть решение уравнения y M(x, y) = N(x, y), которое равносильно уравнению (1.31). Таким образом, ϕ(x) решение задачи Коши (1.31), (1.33). Докажем единственность. Пусть ϕ(x) также является решением решением этой задачи Коши, т. е. ϕ( ) = y 0 и ϕ M(x, ϕ(x)) (x) N(x, ϕ(x)). Рассмотрим функцию Φ 1 (x, ϕ(x)) и вычислим ее производную: d dx Φ 1(x, ϕ(x)) = Φ x(x, ϕ(x)) + Φ y(x, ϕ(x)) ϕ (x) = 14

18 M(x, ϕ(x)) = M(x, ϕ(x)) N(x, ϕ(x)) N(x, ϕ(x)) = 0. Следовательно, Φ 1 (x, ϕ(x)) const = Φ 1 (, ϕ( )) = Φ 1 (, y 0 ) = 0. Это означает, что ϕ(x) есть неявная функция, определяемая уравнением (1.35). В силу единственности неявной функции ϕ(x) ϕ(x). Из предыдущих рассуждений следует, что уравнение (1.35) дает любое решение решение уравнения (1.31) при надлежащем выборе (, y 0 ). Но уравнение (1.35) совпадает с соотношением (1.34), если положить c = Φ(, y 0 ). Следовательно, (1.34) общий интеграл уравнения (1.31). Теорема доказана. Итак, если уравнение (1.31) является уравнением в полных дифференциалах и функция Φ(x, y) известна, то можно сразу выписать общее решение этого уравнения в виде (1.34). Естественно, возникают две проблемы: 1) как определить, является ли уравнение (1.31) уравнением в полных дифференциалах; 2) если (1.31) является уравнением в полных дифференциалах, как найти функцию Φ(x, y)? Эти проблемы решаются в следующей теореме. Теорема 1.7. Предположим, что функции M(x, y) и N(x, y) непрерывно дифференцируемы в области D = (a, b) (c, d). Тогда для того, чтобы уравнение (1.31) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в D выполнялось тождество M y(x, y) = N x(x, y). (1.36) Доказательство. Пусть уравнение (1.30) является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует дифференцируемая функция Φ(x, y), для которой выполняются тождества (1.32). Из непрерывной дифференцируемости функций M(x, y) и N(x, y) следует, что в этом случае существуют непрерывные производные Φ xy(x, y) = M y(x, y) и Φ yx(x, y) = N x(x, y). По известной теореме математического анализа непрерывные смешанные производные должны совпадать, т. е. имеет место тождество (1.36). Обратно, пусть выполняется тождество (1.36). Покажем, что существует Φ(x, y), удовлетворяющая условием (1.32). Возьмем произвольную точку (, y 0 ) D. Из первого условия (1.32) следует, 15

19 что функция Φ(x, y) должна иметь вид Φ(x, y) = M(t, y) dt + c(y), (1.37) где c(y) пока неизвестная функция. Из (1.37) и (1.36) имеем: Φ y(x, y) = M y(t, y) dt + c (y) = = N(x, y) N(, y) + c (y). N t(t, y) dt + c (y) = Отсюда, с учетом второго условия (1.32), заключаем, что c (y) = N(, y). (1.38) Следовательно,в качестве c(y) можно взять функцию c(y) = y y 0 N(, t) dt, после подстановки которой в формулу (1.37), получаем функцию Φ(x, y) = M(t, y) dt + y y 0 N(, t) dt. (1.39) Легко видеть, что функция Φ(x, y), определяемая формулой (1.39), в области D удовлетворяет соотношениям (1.32). Следовательно, уравнение (1.31) является уравнением в полных дифференциалах. Теорема доказана. Рассмотрим уравнение в симметрической форме (1.31). Умножим обе его части на произвольную функцию µ(x, y), отличную от нуля в области D. В результате получим уравнение µ(x, y)m(x, y)du + µ(x, y)n(x, y) dy = 0. (1.40) Уравнения (1.31)и (1.40) эквивалентны: любое решение одного из них является решением другого. При этом возможна ситуация, когда 16

20 уравнение (1.31) не является уравнением в полных дифференциалах, а уравнение (1.40) является. Определение Функция µ(x, y), не обращающаяся в ноль в области D, называется интегрирующим множителем для уравнения (1.31), если уравнение (1.40) является уравнением в полных дифференциалах. Из предыдущих теорем следует, что если нам удастся найти интегрирующий множитель для уравнения (1.31), то мы сможем его проинтегрировать, т. е. найти его общее решение. Однако общего метода нахождения интегрирующего множителя не существует. В то же время, разработаны методы нахождения интегрирующих множителей для отдельных частных случаев, когда коэффициенты M(x, y) и N(x, y) удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. В следующей теореме содержится один из таких методов. Теорема 1.8. Пусть M(x, y) и N(x, y) непрерывно дифференцируемы и существуют непрерывная функция Γ(t) и непрерывно дифференцируемая функция w(x, y), такие что Γ(t) t=w(x,y) = M y(x, y) N x(x, y) N(x, y)w x(x, y) M(x, y)w y(x, y). (1.41) Тогда функция µ(x, y) = γ(w(x, y)), где γ(t) = e Γ(t) dt, является интегрирующим множителем для уравнения (1.31). Доказательство. Из определения функции γ(t) следует, что γ (t) = = γ(t)γ(t), или Γ(t) = γ (t)/γ(t). Подставим последнюю формулу в (1.41) и преобразуем: γ (t) = M y N x γ(t) t=w(x,y) Nw x Mw y ; γ (w)(nw x Mw y) = γ(w)(m y N x) ; µ xn µ ym = µm y µn x ; µ xn + µn x = µ ym + µm y ; (µn) x = (µm) y. (1.42) Из тождества (1.42) на основании теоремы 1.7 заключаем, что уравнение(1.40) является уравнением в полных дифференциалах. 17

21 Теорема доказана. Следствие 1.1. Если выполняется условие M y(x, y) N x(x, y) = q(x) N(x, y) (т.е. дробь не зависит от y), то функция µ(x) = e q(x) dx есть интегрирующий множитель для уравнения (1.31) (в этом случае в теореме надо взять w(x) = x и Γ(t) = q(t)). Следствие 1.2. Если выполняется условие N x(x, y) M y(x, y) M(x, y) = p(y) (т. е. дробь не зависит от x), то функция µ(y) = e p(y) dy есть интегрирующий множитель для уравнения (1.31) (в этом случае в теореме надо взять w(y) = y и Γ(t) = p(t)) Уравнения, не разрешенные относительно производной Все изученные в предыдущих разделах типы дифференциальных уравнений относятся к дифференциальным уравнениям, разрешенным относительно производной. Рассмотрим теперь уравнения вида F (x, y, y ) = 0. (1.43) Предположим, что это уравнение можно разрешить относительно y и свести его к одному или нескольким уравнениям вида (1.2). Решения этих уравнений в совокупности образуют решение (1.43). Однако такое сведение не всегда возможно или очень сложно, например, как в следующем уравнении y y 2 y 5 = 0. (1.44) Изложим метод решения уравнений вида (1.43), которые можно разрешить относительно y или x. Этот метод можно назвать методом введения параметра, так как решение уравнения ищется в параметрическом виде. Пусть, для определенности, уравнение (1.43) можно разрешить относительно y, т. е. привести его к эквивалентному уравнению вида y = f(x, y ) (1.45) 18

22 (случай x = f(y, y ) рассматривается аналогично). Алгоритм метода введения параметра состоит в следующем: 1) в уравнении (1.45) заменяем y на параметр (переменную) p, т. е. y = p, или dy = p. (1.46) dx Получаем y = f(x, p); (1.47) 2) в равенстве (1.47) берем от обеих частей дифференциалы: dy = f x(x, p) dx + f y (x, p) dp; (1.48) 3) в соотношении (1.48) в силу (1.46) заменяем dy на p dx: (f x(x, p) p) dx + f y (x, p) dp = 0; (1.49) 4) уравнение (1.49) рассматриваем как дифференциальное уравнение в симметрической форме относительно переменных x и p, т. е. как уравнение, разрешимое относительно производной, к которому можно применить изученные методы; 5) пусть x = ϕ(p) решение уравнения (1.49), подставим ϕ(p) в формулу (1.47), получаем x = ϕ(p), y = f(ϕ(p), p). (1.50) Уравнения (1.50) являются параметрическими уравнениями кривой, которая является графиком решения уравнения(1.45). Замечание Если в уравнениях (1.50) можно из первого уравнения найти p как функцию x, то после подстановки ее во второе уравнение получается функция y = g(x), которая является решением уравнения (1.45). В качестве примера, применим этот алгоритм к решению уравнения (1.44): 1) y = p 2 + p 5 ; 2) dy = (2p + 5p 4 ) dp; 3) p dx = (2p + 5p 4 ) dp; 4) считаем x функцией p и находим x = 2p p4 + c; 5) получаем семейство кривых, которые являются графиками решений уравнения (1.44) x = 2p p4 + c, y = p 2 + p 5 (p R) 19

23 (к этому множеству надо добавить решение y(x) = 0, которое было потеряно в п.3 при делении на p). Обоснование изложенного алгоритма содержится в следующей теореме. Теорема 1.9. Пусть функция f в уравнении (1.45) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой области. Пусть y = g(x) является непрерывно дифференцируемым решением уравнения (1.45), график которого задается системой параметрических уравнений x = ϕ(p), y = ψ(p), p (α, β), (1.51) где ϕ, ψ непрерывно дифференцируемые функции, причем и ϕ (p) 0 ψ (p) ϕ = p, (1.52) (p) (т. е. в качестве параметра выбрано значение тангенса угла наклона касательной к графику). Тогда функция ϕ(p) есть решение уравнения (1.49). Обратно, пусть x = ϕ(p) является решением уравнения (1.49) на интервале (a, b), ϕ (p) 0, ψ(p) = f(ϕ(p), p). Тогда уравнения (1.50) определяют кривую, являющуюся графиком некоторого решения уравнения(1.45). Доказательство. Пусть y = g(x) является решением уравнения (1.45), которое удовлетворяет условиям теоремы. По определению решения и учитывая, что y = ψ (p) ϕ (p), имеем ψ(p) f(ϕ(p), p). Продифференцируем это тождество ψ (p) f x(ϕ(p), p)ϕ (p) + f y (ϕ(p), p) и воспользуемся формулой (1.52), получим или pϕ (p) f x(ϕ(p), p)ϕ (p) + f y (ϕ(p), p), (f x(ϕ(p), p) p)ϕ (p) + f y (ϕ(p), p) 0. (1.53) 20

24 Последнее тождество означает, что ϕ(p) есть решение уравнения (1.49). Обратно, пусть x = ϕ(p) является решением уравнения (1.49), т. е. имеет место тождество (1.53). Введем функцию ψ(p) = f(ϕ(p), p), (1.54) и рассмотрим кривую, определяемую уравнениями (1.51). Покажем, что эта кривая является графиком функции y = g(x), которая является решением уравнения (1.45). Для этого продифференцируем обе части формулы (1.54): ψ (p) f x(ϕ(p), p)ϕ (p) + f y (ϕ(p), p). Из этого тождества и тождества (1.53) следует, что ψ (p) pϕ (p), откуда, учитывая, что ϕ (p) 0, получаем формулу (1.52). Подставляем формулы (1.51),(1.52) в формулу (1.54) и на основании того, что g (ϕ(p)) = ψ (p) ϕ (p), приходим к тождеству g(x) f(x, g (x)). Следовательно, g(x) решение уравнения (1.45). Теорема доказана. 21

25 2. Задача Коши для нормальной системы Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешённых относительно производных: y 1 = f 1 (x, y 1. y n ), (2.1) y n = f n (x, y 1. y n ), где n заданные функции. Системы вида (2.1) называют нормальными системами дифференциальных уравнений. Определение 2.1. Функции <ỹ k (x)>n называются решением системы (2.1) на отрезке [a, b], если ỹ k (x) непрерывны на [a, b] вместе со своими производными ỹ k (x) и для любых x [a, b] справедливы тождества ỹ k(x) f k (x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)), k = 1. n. Задача Коши состоит в нахождении такого решения <ỹ k (x)>n системы, которое удовлетворяет начальным условиям: y 1 ( ) = y1, (2.2) y n ( ) = yn, 0 где, y1,. 0. yn 0 заданные числа, [a, b] Теорема существования и единственности решения задачи Коши Обозначим через Π n+1 (n + 1)-мерный параллелепипед, определяемый следующим образом: Π n+1 = < (x, y 1. y n ) a x + a; yk 0 b k y k yk 0 >+ b k, где a, b 1. b n фиксированные положительные числа (k = 1. n). Определение 2.2. Будем говорить, что функция f(x, y 1. y n ) удовлетворяет в Π n+1 условию Липшица по переменным y 1. y n, если существует положительная константа L, такая что для любых (x, y 1. y n ), (x, z 1. z n ), принадлежащих параллелепипеду, выполняется неравенство: n f(x, y 1. y n ) f(x, z 1. z n ) L y j z j. (2.3) 22 j=1

26 Укажем простое достаточное условие, при выполнении которого функция f(x, y 1. y n ) удовлетворяет условию Липшица. Теорема 2.1. Предположим, что f(x, y 1. y n ) в Π n+1 непрерывна вместе со своими частными производными по переменным y 1. y n. Тогда эта функция удовлетворяет в Π n+1 условию Липшица. Доказательство. Оценим разность f(x, y 1. y n ) f(x, z 1. z n ) f(x, y 1, y 2. y n ) f(x, z 1, y 2. y n ) + + f(x, z 1, y 2. y n ) f(x, z 1, z 2, y 3. y n ) + + f(x, z 1, z 2, y 3. y n ) f(x, z 1, z 2, z 3, y 4. y n ) f(x, z 1. z n 1, y n ) f(x, z 1. z n 1, z n ). Преобразуем каждую из получившихся разностей по теореме о конечных приращениях (теорема Лагранжа), в результате получим: f(x, y 1. y n ) f(x, z 1. z n ) f(x, ξ 1, y 2. y n ) y 1 y 1 z f(x, z 1, ξ 2, y 3. y n ) y 2 y 2 z f(x, z 1. z n 1, ξ n ) y n y n z n, где ξ k (k = 1. n) некоторые числа из отрезков [yk 0 b k, yk 0 + b k]. Частные производные функции f(x, y 1. y n ) непрерывны в Π n+1, поэтому они ограничены, т. е. существует положительная константа L, такая что f(x, y 1. y n ) y k L. Отсюда n f(x, y 1. y n ) f(x, z 1. z n ) L y j z j. Теорема доказана. Замечание Пусть f(x, y 1. y n ) = n j=1 a k (x)y k + g(x), где a k (x) и g(x) непрерывные на [a, b] функции. Очевидно, что f(x, y 1. y n ) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 в области 0. Из (2.4) следует, что u(x) x 1. c + u(t)v(t) dt a Умножим обе части этого неравенства на v(x), а затем проинтегрируем по отрезку [a, x]. В результате получим Отсюда a ln(c + u(τ)v(τ) τ dτ c + u(t)v(t)dt τ Выполнив подстановки, получим или ln(c + ln(c + a a a a a u(t)v(t) dt) x τ=a u(t)v(t) dt) ln c u(t)v(t) dt) 24 a a v(τ) dτ. a v(τ) dτ, v(τ) dτ, v(τ) dτ + ln c.

28 x v(t) dt Потенцируя, заключаем, что c+ u(t)v(t) dt cea. Учитывая (2.4), a получаем (2.5). Пусть теперь c = 0. В этом случае (2.4) превращается x в неравенство u(x) u(t)v(t) dt. Но тогда для любого натурального n a x x выполняется u(x) 1 n + u(t)v(t) dt. Отсюда u(x) 1 n e v(t) dt a. Переходя a в этом неравенстве к пределу при n, получаем u(x) 0, т. е. (2.5) при c = 0. Теорема 2.3 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Предположим, что n непрерывны в Π n+1 и по переменным y 1. y n удовлетворяют условию Липшица. Тогда задача Коши (2.1) (2.2) имеет единственное решение, определенное на отрезке [ h, + h], где h = min < a, b 1 M. >b n M, M произвольное положительное число такое, что при k = 1. n и любых (x, y 1. y n ) Π n+1 выполняется неравенство f k (x, y 1. y n ) M (в частности, если не все f k (x, y 1. y n ) тождественно равны нулю, то в качестве M можно взять max max f k (x, y 1. y n ) ). 1 k n (x,y 1. y n ) Π n+1 Доказательство. I этап. Покажем, что задача Коши (2.1) (2.2) в определенном смысле эквивалентна некоторой системе интегральных уравнений, которая будет получена позднее. Пусть <ỹ k (x)>n решение задачи Коши на отрезке J = [ h, + h]. Следовательно, при x [ h, + h] справедливы тождества: ỹ 1(x) f 1 (x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)), (2.6) ỹ n(x) f n (x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)). Проинтегрируем их в пределах от до x. В результате получим тождества x ỹ 1 (x) ỹ 1 ( ) f 1 (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) dt, x ỹ n (x) ỹ n ( ) f n (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) dt. 25 x

29 Так как ỹ k ( ) = yk 0, k = 1. n, то x ỹ 1 (x) y1 0 + f 1 (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) dt, x ỹ n (x) y1 n + f n (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) dt. (2.7) Тождества (2.7) означают, что система функций <ỹ k (x)>n является решением системы интегральных уравнений: x y 1 = y1 0 + f 1 (t, y 1. y n ) dt, (2.8) x y n = y1 n + f n (t, y 1. y n ) dt. Обратно, пусть <ỹ k (x)>n непрерывное на J решение системы (2.8). Докажем, что <ỹ k (x)>n является решением задачи Коши (2.1) (2.2) на этом же отрезке. Действительно, так как <ỹ k (x)>n решение (2.8), то справедливы тождества (2.7). Полагая в них x =, заключаем, что ỹ k ( ) = yk 0, k = 1. n. Далее, функции F k(t) = = f k (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) являются непрерывными на [ h, + h], поэтому правые части в (2.7) имеют непрерывные производные по x. Следовательно, функции ỹ k (x) тоже непрерывно дифференцируемы. Продифференцируем тождества (2.7). В результате получим (2.6), что и требовалось доказать. II этап. Докажем теперь, что система (2.8) имеет непрерывное решение на отрезке J. Для этого воспользуемся методом последовательных приближений, предложенным Пикаром. Введем в рассмотрение функции m=0, k = 1. n, определяемые следующим образом: в качестве y k0 (x) возьмем y k0 (x) = yk 0 x, y k1 (x) yk 0 + f k (t, y 10 (t). y n0 (t))dt; в общем случае: y km (x) y 0 k + f k (t, y 1,m 1 (t). y n,m 1 (t)) dt. (2.9) Сначала убедимся, что формулы (2.9) корректны в том смысле, что для любого m и для любого x J точка (x, y 1m (x). y nm (x)) Π n+1, 26

30 т. е. что аргументы подинтегральных функций в (2.9) принадлежат области определения функций f k (x, y 1. y n ). Воспользуемся методом математической индукции. При m = 0 утверждение очевидно. Теперь предположим, что (x, y 1,m 1 (x). y n,m 1 (x)) Π n+1 (x J) и убедимся, что и (x, y 1m (x). y nm (x)) Π n+1. В самом деле, из (2.9) следует, что: y km (x) yk 0 f k (t, y 1,m 1 (t). y n,m 1 (t)) dt f k (t, y 1,m 1 (t). y n,m 1 (t)) dt. Но f k (t, y 1,m 1 (t). y n,m 1 (t)) M, поэтому y km (x) yk 0 M x Mh M b k M = b k. Также по индукции устанавливается, что функции y km (x) являются непрерывными на J. Далее, покажем, что при любом k последовательность m=0 равномерно сходится на J. С этой целью заметим, что равномерная сходимость последовательности равносильна равномерной сходимости ряда [y km (x) y k,m 1 (x)]. m=1 Для доказательства равномерной сходимости этого ряда применим признак мажорации. Оценим y km (x) y k,m 1 (x) по индукции. При m = 1 имеем y k1 (x) yk 0 = f k (t, y1, 0. yn)dt 0 M x. (2.10) Далее, из (2.9) получим y k2 (x) y 0 k + y k1 (x) y 0 k + f k (t, y 11 (t). y n1 (t))dt, f k (t, y 10 (t). y n0 (t))dt. 27

31 Отсюда = y k2 (x) y k1 (x) = [f k (t, y 11 (t). y n1 (t)) f k (t, y 10 (t). y n0 (t))] dt f k (t, y 11 (t). y n1 (t)) f k (t, y 10 (t). y n0 (t)) dt n L y i1 (x) yi 0 dt. i=1 Учитывая (2.10), заключаем, что n y k2 (x) y k1 (x) ML t dt = MnL x 2. 2! j=1 Рассуждая по индукции, приходим к следующей оценке y km (x) y k,m 1 (x) Mn m 1 L m 1 x m m! M (nlh) m, m = 1, 2. nl m! Таким образом, ряд мажорируется сходящимся числовым рядом M (nlh) m M nl m! nl enlh. m=1 Обозначим lim y km(x) = ỹ k (x), k = 1. n. Так как, m равномерный предел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией, то ỹ k (x) непрерывны на J. Докажем, что <ỹ k (x)>m является решением системы (2.8). С этой целью перейдем к пределу в (2.9) при m. Учитывая непрерывность (а, следовательно, и равномерную непрерывность в Π n+1 ) функций f k (x, y 1. y n ), мы можем перейти к пределу под знаком интеграла. В результате будем иметь ỹ k (x) y 0 k + lim m f k (t, y 1,m 1 (t). y n,m 1 (t))dt 28

32 yk 0 + lim f k(t, y 1,m 1 (t). y n,m 1 (t))dt m y 0 k + y 0 k + f k (t, lim m y 1,m 1(t). lim m y n,m 1(t))dt f k (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t))dt, k = 1. n. Что и требовалось доказать. III этап. Докажем единственность. Пусть наряду с <ỹ k (x)>n имеется решение < z k (x)>n. Имеем ỹ k (x) y 0 k + z k (x) y 0 k + f k (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t))dt, f k (t, z 1 (t). z n (t))dt. Вычитая из первого тождества второе, получим ỹ k (x) z k (x) Отсюда ỹ k (x) z k (x) L [f k (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) f k (t, z 1 (t). z n (t))] dt. f k (t, ỹ 1 (t). ỹ n (t)) f k (t, z 1 (t). z n (t)) dt n ỹ j (t) z j (t) dt, k = 1. n. j=1 Просуммируем эти неравенства по k: n ỹ k (x) z k (x) nl 29 n ỹ j (t) z j (t) dt. j=1

33 Обозначим z(x) = запишется в виде n ỹ k (x) z k (x). Тогда последнее неравенство z(x) nl z(t) dt. (2.11) Из неравенства Беллмана при c = 0 следует, что z(x) 0. Теорема доказана. Замечание Проиллюстрируем идею доказательства теоремы 2.3 на следующем простом примере. Рассмотрим задачу Коши y = y, y(0) = 1. (2.12) Как установлено на I-м этапе данная задача равносильна x интегральному уравнению y(x) = 1 + y(t)dt. Последовательные приближения в этом случае имеют вид y m (x) = x y m 1 (t)dt, m = 1, 2. y 0 (x) = 1. Найдем явное выражение y m (x). Имеем y 0 (x) = x 1, y 1 (x) = 1 + 1dt = 1 + x ( x 1!, y 2(x) = t ) x2 dt = ! x1! 2!. 0 В общем случае y m (x) = 1 + x 1! + x2 2! + + xm. Отсюда заключаем, что m! y m (x) равномерно сходится к ỹ(x) = e x. Это и есть решение исходной задачи Коши. ЗамечаниеАналогично можно рассмотреть случай, когда начальные условия задаются на конце отрезка. Например, x + a. В этом случае в качестве параллелепипеда Π n+1 следует взять Π n+1 = = < (x, y 1. y n ) x + a, yk 0 b k y k yk 0 + b k, k = 1. n >. Теорема 2.4. Предположим, что функции n : 1) непрерывны в области D: a x b, 34 функций f k (x, y 1. y n ). В рассматриваемом случае этот факт гарантируется условием 1). Следствие 2.1. Задача Коши для линейной системы y 1 = a 11 (x)y a 1n (x)y n + f 1 (x), y n = a n1 (x)y a nn (x)y n + f n (x), где функции a jk (x), f k (x) являются непрерывными на [a, b], с начальными условиями (2.2) имеет единственное решение, определенное на всем отрезке [a, b]. Справедливость данного утверждения очевидна, так как в качестве L можно взять любую положительную константу, для которой выполняются неравенства a jk (x) L при x [a, b], j, k = 1. n. В частности, если среди функций a jk (x) имеются отличные от тождественного нуля, в качестве L можно взять L = max max a jk(x) j,k x [a,b] и воспользоваться предыдущей теоремой. Замечание Выполнение условия Липшица является существенным в том смысле, что одна лишь непрерывность функций не гарантирует единственности решения задачи Коши, о чем свидетельствует следующий пример. Рассмотрим случай n = 1: dy = f(x, y), y(0) = 0, dx где 4x 3 y f(x, y) = x 4 + y 2, x2 + y 2 > 0, 0, x = y = 0. Легко проверить, что f(x, y) непрерывная функция во всей плоскости. Очевидно, что в проверке нуждается лишь непрерывность f(x, y) в точке x = 0, y = 0. Имеем x 4 +y 2 2x 2 y. Отсюда при x 0, y 0 справедливо неравенство f(x, y) 2 x (x4 + y 2 ) x 4 + y 2 = 2 x 35 y(x, c) = c 2 x 4 + c 4 является решением рассматриваемой задачи Коши, т. е. существует бесконечное множество решений. Справедлива следующая теорема Пеано. Теорема 2.5. Пусть функции n непрерывны в Π n+1. Тогда задача Коши (2.1) (2.2) имеет, по крайней мере, одно решение, которое определено на отрезке J = [ h, + h], где h определяется также, как и в теореме Сведение системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, к нормальной системе До сих пор все рассуждения велись относительно нормальной системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим теперь следующую систему: y (m 1) 1 = f 1 (x, y 1, y 1. y (m 1 1) 1. y n, y n. y (m n 1) n ), y (m n) n = f n (x, y 1, y 1. y (m 1 1) 1. y n, y n. y (m n 1) n ), (2.13) где f k (x, z 1. z n0 ) (k = 1. n) заданные функции, n 0 = m k. Иными словами, рассмотрим систему дифференциальных уравнений произвольного порядка, разрешенную относительно старших производных. Определение 2.3. Система функций n называется решением (2.13) на отрезке [a, b], если выполнены следующие условия: a) y k (x) на отрезке [a, b] имеют непрерывные производные до порядка m k включительно; б) при подстановке n в уравнения (2.13) последние обращаются в тождества, справедливые при x [a, b]. Задача Коши для (2.13) состоит в нахождении такого решения этой системы, которое удовлетворяет начальным условиям: y k ( ) = yk 0, y k () = y (1) k, y (m k 1) ( ) = y (m k 1) k 32 k, n (2.14)

36 где y (j) k заданные числа, k = 1. n. Очевидно, что при m k = 1, k = 1. n, задача Коши (2.13) (2.14) совпадает с задачей Коши для нормальной системы. Теорема 2.6. Система (2.13) эквивалентна некоторой нормальной системе относительно n 0 функций. Доказательство. Пусть <ỹ k (x)>n решение системы (2.13) и, следовательно, выполняются тождества: ỹ (m 1) 1 (x) = f 1 (x, ỹ 1 (x), ỹ 1(x). ỹ (m 1 1) 1 (x). ỹ n (x). ỹ (m n 1) n (x)), ỹ (m n) n (x) = f n (x, ỹ 1 (x), ỹ 1(x). ỹ (m 1 1) 1 (x). ỹ n (x). ỹ (m n 1) n (x)). (2.15) Введем в рассмотрение функции < z k (x)>n 0, определив их следующим образом: z 1 (x) = ỹ 1 (x), z m1 +1(x) = ỹ 2 (x). z m1 + +m n 1 +1(x) = ỹ n (x), z 2 (x) = ỹ 1(x), z m1 +2(x) = ỹ 2(x). z m1 + +m n 1 +2(x) = ỹ n(x), z m1 (x) = ỹ (m 1 1) 1 (x), z m1 +m 2 (x) = ỹ (m 2 1) 2 (x). z m1 + +m n (x) = ỹ (m n 1) n (x). (2.16) В силу (2.16) и (2.15) для функций < z k (x)>n 0 справедливы соотношения z 1(x) z 2 (x), z m 1 +1(x) z m1 +2(x). z m 1 + +m n 1 +1(x) z m1 + +m n 1 +2(x), z 2(x) z 3 (x), z m 1 +2(x) z m1 +3(x). z m 1 + +m n 1 +2(x) z m1 + +m n 1 +3(x), z m 1 1(x) z m1 (x), z m 1 +m 2 1(x) z m1 +m 2 (x). z m 1 + +m n 1(x) z m1 + +m n (x), z m 1 (x) f 1 (x, z 1 (x). z n0 (x)), z m 1 +m 2 (x) f 2 (x, z 1 (x). z n0 (x)). z m 1 + +m n (x) f n (x, z 1 (x). z n0 (x)). (2.17) 33

37 Следовательно, функции < z k (x)>n 0 являются решением нормальной системы z 1 = z 2, z m 1 +1 = z m1 +2. z m 1 + +m n 1 +1 = z m1 + +m n 1 +2, z 2(x) = z 3, z m 1 +2 = z m1 +3. z m 1 + +m n 1 +2 = z m1 + +m n 1 +3, z m 1 1 = z m1, z m 1 +m 2 1 = z m1 +m 2. z m 1 + +m n 1 = z m1 + +m n, z m 1 = f 1 (x, z 1. z n0 ), z m 1 +m 2 = f 2 (x, z 1. z n0 ). z m 1 + +m n = f n (x, z 1. z n0 ). (2.18) Очевидно, что справедливо и обратное утверждение: если < z k (x)>n 0 решение (2.2), то функции <ỹ k (x)>, определяемые верхней строчкой в (2.16), образуют решение (2.13). Легко видеть, что система (2.2) является нормальной. Именно она подразумевается в формулировке теоремы. ЗамечаниеУбедимся, что требование разрешимости системы дифференциальных уравнений относительно старших производных, присутствующее в теореме 2.3, является существенным. С этой целью рассмотрим систему < y 1 + y 2 + y 2 = 0, y 1 + y 2 + y 2 (2.19) + y 1 + y 2 = 0. Тот факт, что эта система не является системой первого порядка не существенен, так как с помощью приема, рассмотренного в предыдущей теореме, система (2.19) приводится к системе первого порядка. Найдем множество решений системы. Будем рассуждать по необходимости: предположим, что <ỹ k (x)>2 решение. Тогда < ỹ 1(x) + ỹ 2(x) + ỹ 2 (x) 0, ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x) + ỹ 2(x) (2.20) + ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x) 0. Из второго тождества вычтем продифференцированное первое. В результате получим ỹ 1 (x) + ỹ 2 (x) 0. Продифференцируем это тождество, а затем вычтем его из первого в (2.20). Тогда ỹ 2 (x) 0. Поэтому и ỹ 1 (x) 0. Отсюда заключаем, что единственным решением системы (2.20) является ỹ 1 (x) 0, ỹ 2 (x) 0. А это означает, что только задача Коши с нулевыми начальными условиями имеет решение. 34

38 2.3. Векторная форма записи нормальной системы дифференциальных уравнений Пусть имеется система y 1 = f 1 (x, y 1. y n ), y n = f n (x, y 1. y n ). Введем в рассмотрение вектор-функции y 1 (x) f 1 (x, y 1. y n ) Y (x) =., F (x, Y ) =.. y n (x) f n (x, y 1. y n ) По определению производной вектор-функции y 1(x) Y (x) =.. y n(x) Следовательно, система (2.21) равносильна векторному уравнению (2.21) Y = F (x, Y ), (2.22) в том смысле, что для того, чтобы система функций <ỹ k (x)>n являлась решением (2.21), необходимо и достаточно, чтобы векторфункция Ỹ (x) = ỹ 1 (x). была решением (2.22). ỹ n (x) y 0 1 Обозначим Y 0 =.. Очевидно, что задача Коши (2.21),(2.2) y 0 n равносильна векторной задаче Коши Y = F (x, Y ), Y ( ) = Y 0. Пусть теперь имеется система линейных дифференциальных уравнений y 1 = a 11 y a 1n y n + f 1 (x), (2.23) y n = a n1 y a nn y n + f n (x), 35

39 где a jk (x), f k (x) заданные функции. Введем в рассмотрение матрицу-функцию A(x) и вектор F (x): a 11 (x). a 1n (x) f 1 (x) A(x) =. F (x) =.. a n1 (x). a nn (x) f n (x) Тогда, очевидно, система (2.23) равносильна уравнению Y = A(x)Y + F (x). (2.24) 2.4. Зависимость решений нормальной системы от параметров и начальных условий Изучим теперь вопрос о гладкости решений системы (2.21). Теорема 2.7. Если в некоторой окрестности точки (, y1, 0. yn) 0 функции f k (x, y 1. y n ) имеют непрерывные частные производные по всем переменным до m-го порядка включительно, то решение задачи Коши Y = F (x, Y ), Y ( ) = Y 0, (2.25) определенное на некотором отрезке [ h, + h] (h > 0), имеет непрерывные производные до порядка m + 1 включительно. Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Пусть m = 1. Обозначим через <ỹ k (x)>n решение задачи Коши (2.25). Тогда ỹ k(x) f k (x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)), k = 1. n. (2.26) Так как функции f k (x, y 1. y n ) имеют по условию непрерывные частные производные по всем переменным, то правые части в (2.26), рассматриваемые как сложные функции переменной x, имеют непрерывную производную. Следовательно, ỹ k (x) имеют непрерывную производную по x, причем по правилу дифференцирования сложной функции k(x) f k(x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)) + x ỹ Учитывая (2.26), заключаем, что ỹ n f k (x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)) ỹ y k(x) k j=1 k(x) f k(x, ỹ 1 (x). ỹ n (x)) + x 36