Одна из асимптот гиперболы имеет уравнение

Как найти асимптоты гиперболы

Как найти асимптоты гиперболы — Разница Между

Содержание:

гипербола

Гипербола — это коническое сечение. Термин «гипербола» относится к двум несвязным кривым, показанным на рисунке.

Если главные оси совпадают с декартовыми осями, общее уравнение гиперболы имеет вид:

Эти гиперболы симметричны вокруг оси y и известны как гипербола оси y. Гипербола, симметричная вокруг оси x (или гипербола оси x), определяется уравнением,

Как найти асимптоты гиперболы

Чтобы найти асимптоты гиперболы, используйте простое манипулирование уравнением параболы.

я. Сначала приведите уравнение параболы в приведенную выше форму

Если парабола дается как тх 2 + пу 2 =Lопределяя

Перепишите уравнение и выполните описанную выше процедуру.
Икс 2 / 4-й 2 / 9 = х 2 /2 2 -y 2 /3 2 =1

При замене правой части на ноль, уравнение становится х 2 /2 2 -y 2 /3 2 =0.
Факторизация и принятие решения уравнения дают,

(Х / 2-й / 3) (х / 2 + у / 3) = 0

3x-2y = 0 и 3x + 2y = 0

Найти асимптоты гиперболы — Пример 2

• Уравнение параболы дается как -4x² + y² = 4

Эта гипербола является гиперболой оси X.
Перестановка членов гиперболы в стандарт из дает
-4x 2 + у 2 = 4 => у 2 /2 2 -Икс 2 /1 2 =1
Факторизация уравнения обеспечивает следующее
(У / 2-х) (у / 2 + х) = 0
Поэтому решения имеют вид y-2x = 0 и y + 2x = 0.

Одна из асимптот гиперболы имеет уравнение

Прямые . называются асимптотами гиперболы.

Асимптоты определяют характер гиперболы при удалении от начала координат. Можно доказать, что если точка гиперболы неограниченно удаляется от начала координат, то расстояние от неё до одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты позволяют более точно изображать гиперболу. Для этого берут прямоугольник с вершинами (а, b), (а, —b), (—а, b), (—а, —b) и проводят прямые, продолжающие его диагонали. Уравнения этих прямых: . то есть это и есть асимптоты. Затем рисуют гиперболу, начиная от вершин и приближаясь к асимптоте по мере удаления от начала координат.

Пример 2. Преобразовать уравнение гиперболы . к каноническому виду. Найти полуоси, эксцентриситет, фокусы, уравнения асимптот и директрис. Сделать чертёж.

Решение. Группируем слагаемые, содержащие одну переменную:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Сделаем замену переменных:

Геометрически эта замена представляет собой параллельный перенос (или сдвиг) координатных осей. Начало новой системы координат находится в точке x = 4, у = —1. В новой системе гипербола имеет каноническое уравнение:

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой \(y=\frac\), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac\) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=\frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь \(\color <\frac<1>>\) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment