Однородная длинная линия волновые уравнения

Длинная линия

Содержание

1.1 Погонные параметры 1.2 Эквивалентная схема участка длинной линии 1.3 Телеграфные уравнения 1.4 Условие регулярности линии 1.5 Однородные волновые уравнения длинной линии 1.6 Распределение поля падающей волны

2 Комплексный коэффициент отражения по напряжению 3 Коэффициенты бегущей и стоячей волны 4 Входное сопротивление длинной линии 5 Режимы работы длинной линии

5.1 Режим бегущей волны 5.2 Режим стоячей волны 5.3 Режим смешанных волн

6 Линия без потерь

6.1 Разомкнутая линия 6.2 Замкнутая линия 6.3 Ёмкостная нагрузка 6.4 Индуктивная нагрузка 6.5 Активная нагрузка 6.6 Комплексная нагрузка

7 КПД линии с потерями 8 Пределы применимости теории длинной линии 9 См. также 10 Примечания

Длинная линия — регулярная линия передачи[1], длина которой превышает длину волны (λ) колебаний, распространяющихся в линии.

Характерной особенностью длинных линий является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается генератором электромагнитных колебаний, подключенным к линии, и называется падающей. Другая волна может возникать из-за отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к противоположному концу линии, и называется отраженной. Отраженная волна распространяется в направлении, обратном падающей волне. Все разнообразие процессов, происходящих в длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.

Дифференциальные уравнения длинной линии

Рассмотрим двухпроводную длинную линию, представленную на рисунке 1. На рисунке обозначено: ZН = RН + iXН — комплексное сопротивление нагрузки; z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.

Погонные параметры

Рис.1 — К выводу дифференциальных уравнений длинной линии

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована ее погонными параметрами:

Ом/м

1/Ом м

Гн/м

Ф/м

Погонные сопротивление R1 и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Чем меньше тепловые потери в металле проводов[2] и в диэлектрике, тем меньше соответственно, R1[3] и G1[4]. Погонные индуктивность L1 и емкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

Эквивалентная схема участка длинной линии

Рис.2 — Эквивалентная схема участка длинной линии

Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему, покзанную на рисунке 2. На этой схеме стрелками обозначены направления отсчета напряжения U и тока I в линии; dU и dI — приращения напряжения и тока в линии на элементе длины dz. Значения параметров схемы определяются соотношениями:

Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:

Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:

где Z1 = R1 + iωL1, Y1 = G1 + iωC1 — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии. Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии:

Телеграфные уравнения

Основная статья: Телеграфное уравнение

Эти соотношения называются телеграфными уравнениями длинной линии. Они определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии. Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:

При этом учтем, что:

Условие регулярности линии

Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии ее погонных параметров.

Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:

Однородные волновые уравнения длинной линии

где γ — коэффициент распространения волны в линии: .

Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:

где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.

Решения волновых уравнений в виде (3.6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемое — отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1).Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

где α — коэффициент затухания волны[5] в линии; β — коэффициент фазы[6]. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π , то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением

При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:

Определим коэффициенты A и B , входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:

Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:

где — волновое сопротивление линии[7].

Перепишем (6) с учетом (12):

Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в конце линии z = 0:

Тогда из (13) при z = 0 найдем

Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:

При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса[8].

Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.

Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует[9]. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:

Распределение поля падающей волны

Рис.3. Эпюры напряжений падающей волны в длинной линии. а) амплитуда; б) фаза

На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU апряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α[5] = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α[5] > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α[5] = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:

где Γ = BU / AU — комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Комплексный коэффициент отражения по напряжению

Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах:

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.

Рис.4. Векторная диаграмма напряжений в линии с отраженной волной

Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:

Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1 , т. е. амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0.

Рис.5. Эпюры распределения напряжения вдоль линии с отражённой волной. а) Модуль напряжения; б) фаза напряжения.

Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Коэффициенты бегущей и стоячей волны

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:

Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Входное сопротивление длинной линии

Входное сопротивление линии — является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно ее продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии

Различают три режима работы линии:

режим бегущей волны; [10] режим стоячей волны; [10] режим смешанных волн.

Режим бегущей волны

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, | Г | = 0, kбв =kсв = 1[10].

Режим стоячей волны

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU т. е. энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, kсв = , kбв = 0[10].

Режим смешанных волн

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 W Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии RН

Волновые параметры длинной линии

Содержание:

Волновые параметры длинной линии:

Полученные в предыдущей лекции уравнения передачи длинной линии (23.8) описывают комплексные амплитуды напряжения

Тогда для мгновенных значений напряжений и токов в линии получаем:

(24.1)

где — аргументы комплексных величин

Решения (24.1) подтверждают, что напряжения и токи в длинной.линии являются функциями как времени , так и координаты (расстояния) . Каждое из уравнений представляет собой сумму двух слагаемых, структуры которых тождественны, но отличаются только знаками перед коэффициентами затухания и фазы Сначала рассмотрим левые слагаемые уравнений (24.1)

напряжений и токов, которые назовём падающими волнами напряжения и тока (смысл такого названия будет ясен из дальнейшего):

(24.2)

Из этих выражений следует:

при любом фиксированном т. е. в любом сечении линии, и напряжение и ток являются гармоническими колебаниями;
амплитуды колебаний убывают по мере удаления от начала к концу линии по экспоненциальному закону
в любом сечении линии отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока равно модулю волнового сопротивления а разность фаз между ними равна аргументу волнового сопротивления линии;
колебание напряжения или тока в сечении отстаёт по фазе от колебания и или поскольку коэффициент фазы является величиной положительной:

Сказанное демонстрируется на рис. 24.1, где представлено графическое распределение мгновенных значений напряжений по линии для трёх последовательных моментов времени: Эти графики можно рассматривать как последовательные мгновенные снимки картины распределения напряжений в указанные моменты времени. Они отображают волну, распространяющуюся от начала линии к концу. Например, рассматривая графики в моменты и , замечаем, что в момент фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину Огибающая процесса изображена пунктиром. Аналогичная картина имеет место и для тока.

Определение:

Совокупность волн напряжения и тока называется падающей волной.

Найдём длину и скорость распространения падающей волны в линии.

Под длиной волны понимают расстояние между смежными сечениями линии, фаза колебаний волны на которых отличается на (рис. 24.1):

откуда имеем равенство

из которого получаем формулу для вычисления длины волны:

(24.3)

Определение:

Скоростью распространения, или фазовой скоростью, называют скорость с которой распространяется в линии состояние равной фазы волны; например, скорость, с которой перемещается вдоль линии нуль напряжения или тока.

Нуль напряжения достигается в точках, где функция косинуса равна нулю, поэтому условие состояния равной фазы можно записать в виде равенства:

при этом аргумент имеет значения:

Продифференцировав обе части полученного равенства по переменной t, найдём скорость распространения нуля

(24.4)

т. е. скорость распространения состояния равной фазы.

Фазовая скорость показывает, какое расстояние проходит точка в единицу времени (см. рис. 24.1), и равна отношению частоты колебания к коэффициенту фазы.

Рассмотрим, чему будет равен коэффициент фазы в наиболее характерной для практики области частот, когда для чего разложим коэффициент распространения на вещественную и мнимую части:

Разложение в ряды полученных в правой части биномиальных сомножителей и удержание в разложениях лишь по два слагаемых даёт:

Раскрывая скобки и пренебрегая в произведении величиной второго порядка малости, получаем приближённое выражение для коэффициента распространения:

(24.5)

В линиях с хорошим диэлектриком проводимость чрезвычайно мала, поэтому второе вещественное слагаемое в выражении (24.5) оказывается очень малым по сравнению с первым, что позволяет записать формулы для коэффициентов затухания и фазы с хорошей степенью приближения:

(24.6)

Тогда в указанной выше области частот фазовая скорость (24.4) согласно (24.6) оказывается равной

Подставляя сюда формулы значений первичных параметров длинной линии L и С (табл. 23.1), получаем:

(24.7)

где с — скорость света.

Из (24.7) ясно, что для воздушных линий поскольку в этом случае можно считать . Для коаксиального кабеля, у которого всегда , фазовая скорость меньше скорости света в вакууме (например, при типовом значении имеем с).

Интересно, что в области низких частот значение фазовой скорости убывает с уменьшением частоты. Это объясняется меньшим проявлением скин-эффекта: волна больше проникает в проводник, и колеблющиеся частицы внутри проводника возбуждают вторичные волны. Поскольку частицы обладают некоторой инерцией, образуемые ими вторичные волны запаздывают по фазе относительно вынуждающей колебания волны, поэтому происходит запаздывание фазы результирующей волны и, как следствие, уменьшение фазовой скорости.

Обратимся теперь ко вторым слагаемым уравнений (24.1), которые назовём отражёнными волнами напряжения и тока:

(24.8)

Проведя анализ этих слагаемых подобно тому, как это сделано для падающих волн, нетрудно убедиться, что они описывают затухающую волну такого же характера, как и падающая, но распространяющуюся в обратном направлении: от конца к началу линии.

Определение:

Волна напряжения и тока распространяющаяся от конца к началу линии, называется отражённой волной.

Соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражённых волн

Из анализа, выполненного в разд. 24.1, следует:

фазовая скорость отражённой волны совпадает с точностью до знака с фазовой скоростью падающей волны

амплитуда напряжения (тока) отражённой волны максимальна в конце амплитуда напряжения (тока) падающей волны минимальна в конце линии;
напряжение (ток) в любой точке длинной линии х является суммой напряжений (токов) падающей и отражённой волн:

Переходя к комплексным амплитудам напряжений и токов падающей и отражённой волн, входящих в уравнения передачи длинной линии (23.8), последние суммы для любого сечения линии можно записать в виде:

(24.9)
Практический интерес представляют соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражённых волн в линии, имеющей длину и нагруженной на комплексное сопротивление (рис. 24.2), когда на входе её действуют известные напряжение и ток .

Волновое сопротивление

Прежде всего отметим, что при любом jc, т. е. в любой точке линии согласно (24.9) справедливы равенства:

(24.10)

которое говорит о том, что в любом сечении линии .отношение комплексных амплитуд напряжения и тока падающей (отражённой) волны равно волновому сопротивлению линии

Свойства волнового сопротивления можно определить из выражений (24.10) и (23.6):

из которых следует:

модуль волнового сопротивления представляет собой отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока падающей (отражённой) волны;

фаза (угол) волнового сопротивления представляет собой разность между фазами напряжения и тока падающей (отражённой) волны;

на частоте фаза а само волновое сопротивление чисто активно

при стремлении частоты к бесконечности фаза и волновое сопротивление как и в предыдущем случае чисто активно

модуль волнового сопротивления | с увеличением частоты уменьшается, поскольку для реальных линий (рис. 24.3, а);

изменение фазы от нулевого значения при до нулевого значения при говорит о том, что на одной из частот фаза будет минимальна (рис. 24.3, б), поскольку на всех частотах она является отрицательной.

Коэффициент отражения

Что касается соотношения между комплексными амплитудами напряжения (тока) падающей и отражённой волн, то оно оказывается различным в различных сечениях линии. Установить эти соотношения можно из системы (23.8), положив при условии, что напряжение и ток в конце линии известны. При этих условиях из (23.7) находятся два уравнения относительно комплексных амплитуд напряжения тока :

(24.11)

Из системы (24.11) согласно правилу Крамера получаем значения постоянных и

Подстановка найденных значений i и в (24.9) приводит к частному решению:

(24.12)

Система уравнений (24.12) позволяет записать отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отражённой и падающей волн в сечении линии, расположенном на расстоянии от её начала:

(24.13)

Но при выбранных направлениях отсчётов (рис. 24.2) напряжения и тока имеет место равенство поэтому из (24.13) окончательно получаем:

(24.14)

Определение:

(24.15)

комплексной амплитуды напряжения отражённой волны к комплексной амплитуде напряжения падающей волны называется коэффициентом отражения.

Анализ соотношений (24.14) и (24.15) приводит к следующим выводам:

1. Коэффициент отражения является комплексной величиной и полностью зависит от волнового сопротивления линии и сопротивления нагрузки .

2. Коэффициент отражения по току отличается от коэффициента отражения по напряжению только знаком.

3. При коэффициент отражения равен нулю р = 0, поэтому отражённая волна отсутствует. Линия, сопротивление нагрузки которой равно её волновому сопротивлению, называется нагруженной согласованно, а сопротивление нагрузки — согласованным сопротивлением. Любая другая нагрузка приводит к появлению в линии отражённой волны.

4. Отношение амплитуд отражённой и падающей волн (см. (24.14) и (24.15))

убывает с удалением от конца линии к её началу

5. В режиме короткого замыкания, когда коэффициент отражения по напряжению р = -1, а коэффициент отражения по току
р = 1. Это означает, что напряжения отражённой и падающей волн в конце линии находятся в противофазе:

а результирующее напряжение равно нулю

при этом токи падающей и отражённой волн оказываются в фазе

и результирующий ток равен удвоенному току падающей волны

6. В режиме холостого хода, когда коэффициент отражения по напряжению р = 1, поэтому имеет место ситуация, противоположная относительно вывода, указанного в п. 5: напряжения отражённой и падающей волн в конце линии находятся в фазе:

и результирующее напряжение равно удвоенному напряжению падающей волны

а ток равен нулю

Уравнения передачи согласованно нагруженной длинной линии

Ранее (см. разд. 23.3) были получены уравнения передачи длинной линии (23.8), которые представляют собой общее решение телеграфных уравнений и описывают закон распределения напряжений и токов по всей линии. Для решения же большинства практических задач достаточно знать соотношения лишь между напряжениями и токами на внешних зажимах линии и вовсе не интересоваться законом распределения напряжений и токов по длине линии. Иначе говоря, на практике вполне достаточно рассматривать линию как согласованно нагруженный четырёхполюсник, полностью описываемый соответствующими уравнениями передачи.

Поставим задачу найти уравнения передачи согласованно нагруженной линии, которые связывают комплексные амплитуды напряжений и токов на её внешних зажимах.

Воспользуемся уравнениями (24.12) для комплексных амплитуд напряжений и токов падающей и отражённой волн и подставим их в систему (24.9):

(24.16)

Если в систему (24.9) подставить выражения (24.14), получим

(24.17)

Системы (24.16) и (24.17) представляют собой системы уравнений передачи длинной линии. Обычно комплексные амплитуды напряжения и тока на входных зажимах линии (х = 0) обозначают через (см. рис. 24.2); при таких обозначениях из системы (24.16) получаем наиболее удобную форму записи уравнений передачи линии:

(24.18)

В большинстве случаев уравнения (24.8) записывают в более компактном виде:

(24.19)

где
— гиперболический косинус

— гиперболический синус.

Для режима согласованной нагрузки, когда и т. е. когда отсутствует отражённая волна, из (24.18) получаем уравнения передачи согласованно нагруженной линии:

(24.20)

Именно в такой режим и стремятся поставить линию связи, поскольку отражённые волны вызывают ряд нежелательных явлений, о чём речь пойдёт далее.

Постоянная передачи и частотные характеристики длинной линии

Постоянная передачи длинной линии:

Определение

Безразмерная комплексная величина, равная произведению коэффициента распространения на длину линии

(24.21)

называется постоянной передачи линии.

Вещественная часть постоянной передачи называется собственным, волновым или характеристическим затуханием линии, а мнимая часть — собственной, волновой или характеристической фазой.

Постоянная передачи и входящие в неё параметры характеризуют линию как таковую и не зависят от свойств генератора и нагрузки, между которыми линия может быть включена.

Поскольку режим согласованной нагрузки для линии является типовым, найдём указанные ранее параметры только для этого режима.

В таком случае постоянную передачи можно получить, прологарифмировав уравнения (24.20):

(24.22)

Подставляя отношения комплексных амплитуд

под знак логарифма, получаем:

на основании чего можно записать два равноправных выражения для коэффициента распространения

собственное затухание линии

(24.3)

и её собственную фазу

(24.24)

Из выражений (24.23) и (24.24) следует, что для согласованно нагруженной линии:

собственное затухание линии [Нп] равно натуральному логарифму отношения амплитуд или действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе; оно равно также половине натурального логарифма отношения полных мощностей на входе и выходе;

собственная фаза линии равна разности начальных фаз колебаний напряжений (токов) на входе и выходе.

Собственное затухание линии часто оценивается в децибелах:

(24.25)

В этом случае нетрудно переформулировать зависимость собственного затухания, выраженного в децибелах, через десятичные логарифмы отношений амплитуд напряжений (токов) или полных мощностей.

Пример 24.1.

Оценим потери мощности телевизионного сигнала при распространении его в фидере’ от системы антенн до усилителя головной станции и в коаксиальном кабеле сети кабельного телевидения на отрезках магистральной линии между магистральными усилителями (рис. 24.4).

Решение. Затухание фидера зависит от его конструкции, длины и коэффициента затухания который измеряется на средней частоте частотного диапазона фидера. Обычный фидерный тракт имеет длину 50—150 м. Типовым кабелем, используемом при конструировании фидерных трактов, является кабель РК-75-24-51, имеющий полосу пропускания 50—600 МГц и коэффициент затухания = 0,002 дБ/м на частоте 300 МГц. Тогда при средней длине фидера = 100 его собственное затухание (24.25) оказывается равным

а отношение мощности сигнала на выходе фидера к мощности сигнала на входе фидера составляет

т. е. потери мощности в фидере невелики.

Фидер — линия для передачи электрических колебаний высокой частоты от радиопередатчика к антенне и от антенны к радиоприёмнику.

В то же время типовой магистральный коаксиальный кабель QR 540 JCA имеет полосу пропускания 5—1000 МГц и коэффициент затухания = 0,0354 дБ/м на частоте 300 МГц.

Расстояние между смежными усилителями магистрали обычно составляет до = 2 км. Следовательно, собственное затухание отрезка магистрального кабеля равно

Последнее означает, что полная мощность на входе последующего усилителя меньше полной мощности которая отдаётся в линию предшествующим усилителем, в десятки миллионов раз, поскольку согласно (24.25)

Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) согласованно нагруженной длинной линии

Исходя из уравнений передачи согласованно нагруженной линии (24.20) запишем её комплексную частотную характеристику через постоянную передачи линии:

(24.26)

Отсюда нетрудно получить постоянную передачи через КЧХ линии:

(24.27)

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики определяются из (24.26):

(24.28)

Для несогласованной нагруженной линии КЧХ можно найти из её уравнений передачи (24.18), подставив в них равенства:

где и — комплексная амплитуда ЭДС и комплексное внутреннее сопротивление генератора, подключённого к линии.

Входное сопротивление длинной линии

Определение:

Входным сопротивлением линии называется отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , действующих на входе линии.

Формулу входного сопротивления для линии с произвольной нагрузкой можно получить из уравнений (24.17), если положить расстояние и разделить первое уравнение на второе:

(24’29)

Анализ формулы (24.29) показывает:

при согласованной нагрузке входное сопротивление равно волновому, поскольку в данном случае (24.15);

если постоянная передачи линии стремится к бесконечности то входное и волновое сопротивления весьма близки по величине считают, что не зависит от нагрузки при собственном затухании линии Нп;

в режиме КЗ получаем

(24.30)

в режиме XX имеем

(24.31)

волновое сопротивление линии представляет собой предел, к которому стремится входное сопротивление при безграничном увеличении длины линии:

Этот факт объясняется тем, что при большом затухании линии значительная часть мощности, подводимой к её входу, рассеивается в самой линии и лишь небольшой остаток мощности поступает в нагрузку (см. пример 24.1). По этой причине энергетические соотношения на входе линии пренебрежимо мало зависят от энергетических соотношений на её выходе и, в частности, от сопротивления нагрузки линии.

С увеличением длины линии увеличивается и её затухание, а потому уменьшается амплитуда отражённой волны на входе линии, что, в свою очередь, приводит к уменьшению отклонения входного сопротивления линии от её волнового сопротивления как по модулю, так и по фазе. В пределе входное сопротивление линии стремится к волновому сопротивлению. На рис. 24.5, а показаны зависимости модулей входных сопротивлений в режимах XX и КЗ. Колебательный характер волнового сопротивления при несогласованной нагрузке объясняется наличием падающих и отражённых волн.

Входное сопротивление зависит не только от длины линии, но и от частоты (рис. 24.5, б). С ростом частоты увеличиваются как собственное затухание так и собственная фаза линии. Это приводит к весьма сложному волнообразному характеру изменения входного сопротивления линии относительно её волнового сопротивления.

Допустимые отклонения входного сопротивления линии от её волнового сопротивления строго нормированы, и при эксплуатации длинных линий необходимо придерживаться указываемых для линии обычно весьма жёстких норм.

Определение параметров линии методом холостого хода и короткого замыкания

Определение первичных и вторичных параметров линии наиболее просто осуществлять с помощью измерений входного сопротивления линии при двух граничных сопротивлениях нагрузки: холостом ходе и коротком замыкании.

Из уравнений (24.19) в режимах имеем

Совместное решение этих уравнений позволяет найти значения волновых параметров линии: волнового сопротивления и постоянной передачи.

(24.32)

равно среднему геометрическому из входных сопротивлений короткозамкнутой и разомкнутой линии. Это выражение можно рассматривать как ещё одно определение волнового сопротивления длинной линии.

Гиперболический тангенс постоянной передачи

(24.33)

равен среднему геометрическому из сопротивления короткозамкнутой линии и проводимости — разомкнутой линии. Найдём из (24.33) постоянную передачи и коэффициент распространения Поскольку

Логарифмируя обе части последнего равенства, получаем постоянную передачи:

(24.34)

откуда легко находятся коэффициенты затухания и фазы:

Коэффициент равен целому числу волн, укладывающихся по длине линии.

Во всех формулах необходимо брать только арифметические корни.

Зная волновые параметры линии, нетрудно вычислить её первичные параметры путём приравнивания вещественных и мнимых частей равенств:

Метод холостого хода и короткого замыкания целесообразно применять в том случае, когда затухание линии не превышает
1 Нп (8,69 дБ), что характерно для большинства длинных линий.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Электротехника
Основы теории цепей

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Колебания в линиях без потерь
ЭДС и напряжение в электрической цепи
Закон Ома для участка цепи
Электрическое сопротивление
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Операторные передаточные функции
Свободные колебания в пассивных электрических цепях
Цепи с распределёнными параметрами

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Цепи с распределенными параметрами. Однородные линии. Уравнения передачи однородной линии

Страницы работы

Содержание работы

XVIII Цепи с распределенными параметрами

18.1 Однородные линии

Электрическая цепь, у которой геометрические размеры соизмеримы с длинной волны ( ) и у которых индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость распределены по длине, называется электрической цепью с распределенными параметрами.

Если геометрические размеры электрической цепи намного меньше длины волны  ( ), то такая электрическая цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами. Условие – условие квазистационарности

Если только один из размеров не удовлетворяет условию , то такая цепь называется длинной линией. Различают: однородные и неоднородные длинные линии.

Однородные длинные линии – это линии, у которых параметры неизменны при изменении расстояния.
Неоднородные линии – это линии, у которых параметры изменяются с изменением расстояния.

Первичные параметры однородной длинной линии.

равны значениям соответствующих распределенных параметров, измеренных на отрезке линии единичной длины (1 км для линии проводной связи и 1 м для линии радиосвязи).

К первичным параметрам относятся:

–сопротивление R; –проводимость G; – индуктивность L; – емкость С.

Вторичные параметры длинной линии

Волновое сопротивление линии, [Ом].

Для однородной линии, рассматриваемой между выходными и входными выводами как симметричный четырехполюсник, волновое сопротивление равно характеристическому сопротивлению .

2. Коэффициент распространения

 – коэффициент ослабления длинной линии [Нп/км], [Нп/м] или [ДБ/км], [ДБ/м];

Характеризует изменение тока и напряжения по абсолютной величине на единицу длины

— собственное ослабления линии [Нп] или [ДБ];

Ослабление сигнала на расстоянии х от начала линии

 – коэффициент фазы [рад/км], [рад/м], [градус/км], [градус/м].

Характеризует изменение тока и напряжения по фазе на единицу длины

— собственная фаза линии [рад], [градус].

18.2 Уравнения передачи однородной линии

Напряжение и ток в любой точке линии является функцией времени t и расстояния х
Выделим отрезок линии длиной х и представим эквивалентную схему длинной линии с выделенным участком х на расстоянии х от генератора

Телеграфные уравнения длинной линии

Для установившегося гармонического колебания телеграфные уравнения имеют вид

Для решения телеграфных уравнений необходимо разделить переменные (U и I). Для этого продифференцируем уравнения по х. В полученные уравнения подставим вместо и их выражения из системы уравнений для установившегося гармонического колебания

Волновые уравнения длинной линии

Поскольку волновые уравнения – линейные дифференциальные однородные уравнения 2-го порядка, то их решение в произвольном сечении х находится в виде

– постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, в качестве которых обычно используют напряжение и ток, либо в начале линии ( и при х = 0), либо ток и напряжение в конце линии ( и при х = ).

Решение для тока, как правило, выражают через найденное напряжение

Определяем постоянные интегрирования из системы уравнений для напряжения и тока при x = 0

Уравнения передачи в гиперболической форме

Уравнения передачи в начале линии , через напряжение и ток в конце линии

Уравнение передачи в конце линии , через напряжение и ток в начале линии

18.3 Волновые процессы в однородной длинной линии

В линиях с потерями (  0) рассматривают бегущие затухающие прямые и обратные волны и их суперпозиции. Бегущая волна – волна, перемещающаяся вдоль линии.

Прямая бегущая волна – волна, перемещающаяся от начала к концу линии. Обратная бегущая волна – волна, перемещающаяся от конца к началу линии

Падающая волна – прямая бегущая волна. Отраженная волна – частный случай обратной бегущей волны, возникающей в результате неравенства волнового сопротивления линии и сопротивления нагрузки ( ).

Уравнения передачи для мгновенных значений в любом сечении

Соотношения между волнами в начале (x = 0) и в конце (x = l) линии

Длина волны – расстояние между ближайшими точками х1 и х2, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых отличаются на 2.

Фазовая скорость – скорость перемещения фазы колебания

За один период колебания бегущая волна проходит расстояние, равное длине волны

Коэффициент отражения по напряжению (току) –отношение комплексной амплитуды отраженной волны напряжения (тока) к комплексной амплитуде падающей волны напряжения (тока).

показывает, какую часть комплексной амплитуды падающей волны составляет комплексная амплитуда отраженной волны

Коэффициенты отражения по напряжению и по току в начале линии

Коэффициенты отражения по напряжению и по току в конце линии

Режим согласованного включения

В линии – только падающие волны
Нет эхо-сигналов — нет искажений
Минимальное рабочее ослабление

Линия без искажений

Линия, на приемном конце которой сохраняется форма передаваемого сигнала

Для такой передачи необходимо:

Ослабление и фазовая скорость – постоянны

2. 3. Линия согласованно нагружена

Подберем первичные параметры так, чтобы — условие Хевисайда

Для реальных линий обычно

Уменьшение R – увеличение диаметра провода (дорого)

Уменьшение С – увеличение расстояния между проводами (не всегда возможно)

Увеличение G – рост затухания

Лучше всего – искусственное увеличение L

При передаче ВЧ сигнала автоматически получается линия без искажений

18.4 Волновые процессы длинной линии без потерь

Такая линия, для которой (для небольших линий на СВЧ)

Входное сопротивление линии

1. Согласованный режим работы в длинной линии без потерь

Режим бегущей волны

Амплитуды колебаний постоянны
Сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю
Мощность имеет активный характер

2. Режим короткого замыкания

Уравнение стоячей волны

Амплитуды напряжения и тока являются функциями координаты х

Нулевое значение – узел стоячей волны Максимальное значение – пучность стоячей волны

Стоячие волны возникают в длинной линии без потерь при условии, когда к длинной линии подключена нагрузка, модуль коэффициента отражения которой равен 1, при этом амплитуды падающей и отраженной волн напряжения (тока) переносят одинаковую мощность в прямом и обратном направлениях и энергия в нагрузке не потребляется.

3. Режим холостого хода