Однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей

Однородная система линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ):

Представим (1) в матричном виде:

где A m×n матрица, x вектор столбец порядка n , 0 — нулевой вектор столбец порядка m.

СЛУ (1) (или (2)) называется однородной системой линейных уравнений, т.к. правая часть системы равна нулю.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. вектор 0 всегда является решением системы (1):

Это решение называется нулевым или тривиальным решением.

1. Cистема линейных однородных уравнений имеет ли другие решения, кроме нулевого.
2. При каких условиях система линейных однородных уравнений имеет нетривиальное решение.
3. Как найти множество всех решений системы однородных линейных уравнений.

Если A n×n матрица и rank( A)= n, то нулевой вектор является единственным решением системы (1), в противном случае система имеет множество решений.

Обшее решение однородной системы линейных уравнений

Пусть A m×n — матрица rank A=r. В общем случае можем предположить что r r столбцов матрицы A линейно независимы. Для удобства записи предположим, что это первые r столбцы матрицы A. Переставляя строки матрицы можно добиться того, чтобы подматрица матрицы A порядка r×r, расположенная в левом верхнем углу, была невырожденной. Запишем систему (2) в блочном виде:

где M — r×r — матрица, rang M=r.

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

где M₁ верхняя треугольная матрица, 0 — нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

где E — единичная матрица порядка r×r.

где F₂— r×(n-r) — матрица, E n-r — единичная матрица порядка n-r, X — матрица порядка n×(n-r).

В уравнении (5) вместо x подставляя матрицу (6), получим:

Таким образом, векторы столбцы матрицы X являются решением системы (2) (или (1)). Более того, эти векторы линейно независимы и их линейная комбинация также является решением (2).

Общее решение системы однородных линейных уравнений имеет следующий вид:

гдe k — произвольный вектор столбец порядка n-r.

Общее решение системы однородных линейных уравнений можно также записать в следующем виде:

где x_i — i-ый вектор-столбец матрицы X, а k_i — i-ая координата вектора k

Множество всех решений (8)(или (9)) образует ядро или нуль пространство матрицы A и обозначается через Ker (A) или N(A).

В начале этого параграфа мы предполагали, что линейные независимые r векторы столбцы расположены в начале матрицы A. В общем случае, если они расположены в произвольных местах, аналогично вышеизложенному, применяя метод Гаусса, затем обратный ход Гауссова исключения и, наконец , разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует), получим

Сделаем замену переменных:

где P -матрица перестановок поядка n×n выбрана так, чтобы при подстановке (11) в (10) получили:

где E — единичная матрица порядка r×r.

Аналогично вышеизложенному векторы столбцы матрицы X’:

образуют множесво всех решений однородной системы линейных уравнений (12).

Учитывая (11) получим:

Общее решение системы однородных линейных уравнений имеет следующий вид:

гдe k — произвольный вектор столбец порядка n-r.

Общее решение системы однородных линейных уравнений можно также записать в следующем виде:

где q_i — i-ый вектор-столбец матрицы Q, а k_i — i-ая координата вектора k

Нахождение общего решения однородной системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Если rank(A)= r, r общее решение можно представить в следующем виде:

где E —единичная матрица, A + — псевдообратная к A матрица.

Для проверки подставим (16) в (2):

Ax=A(E−A + A)z=(A−AA + A)z=(A−A)z=0.

Ранг матрицы rank( E−A + A)= n-r. Следовательно столбцы матрицы E−A + A образуют множество всех решений системы (2).

Отметим, что r столбцов матрицы E−A + A линейно зависимы. Для исключения линейно зависимых столбцов можно сделать скелетное разложение. Тогда E−A + A= QS, где Q n×n−r — матрица rank (Q)=n−r, S n−r×n-матрица rank (S)=n−r. Тогда множество всех решений однородной системы линейных уравнений примет следующий вид:

Решение однородной системы линейных уравнений онлайн

Для решения однородной системы линейных уравнений пользуйтесь онлайн калькулятором который решает однородную систему по шагам и находит полное решение.

Однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрица системы:

.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e₁ , e₂ , . e_n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, . n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

где c₁ , c₂ , . c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Однородные СЛАУ

Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.

Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, $A X=\Theta$ всегда совместна, так как $X=\Theta$ всегда является ее решением.

Заметим, что если $x_<1>, x_<2>$ — это два решения однородной СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ:

$$Y=\lambda_ <1>x_<1>+\lambda_ <2>x_<2>$$ $$A Y=A\left(\lambda_ <1>x_<1>+\lambda_ <2>x_<2>\right)=\lambda_ <1>A x_<1>+\lambda_ <2>A x_<2>=\lambda_ <1>\Theta+\lambda_ <2>\Theta=\Theta$$

Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю.

Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\<\begin 3 x-2 y=-1 \\ x+3 y=7 \end\right.$ ненулевые решения.

$$\Delta=\left|\begin 3 & -2 \\ 1 & 3 \end\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$$

Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$

Ответ. Система имеет только нулевое решение.

Фундаментальная система решений

Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\<\begin x_<1>+x_<2>-3 x_<4>-x_<5>=0 \\ x_<1>-x_<2>+2 x_<3>-x_<4>=0 \\ 4 x_<1>-2 x_<2>+6 x_<3>+3 x_<4>-4 x_<5>=0 \\ 2 x_<1>+4 x_<2>-2 x_<3>+4 x_<4>-7 x_<5>=0 \end\right.$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end\right)$$

От четвертой строки отнимем $\frac<4><3>$ третьей и третью строку умножим на $\frac<1><3>$ :

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь $x_<2>, x_<4>$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_<1>, x_<3>, x_<5>$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_<2>=1$ , $x_<4>=0$ получаем, что $\left\<\begin x_<1>=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_<3>=1-\frac<5> <2>\cdot 0=1 \\ x_<5>=3 \cdot 0=0 \end\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_<2>=0$ , $x_<4>=2$, будем иметь, что =12, x_<3>=-5, x_<5>=6> , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

$$X_<1>=\left(\begin -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end\right), X_<2>=\left(\begin 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end\right)$$

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_ <1>X_<1>+C_ <2>X_<2>=C_<1>\left(\begin -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end\right)+C_<2>\left(\begin 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end\right)$$

где коэффициенты $C_<1>, C_<2>$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

Придавая константам $C_<1>, C_<2>$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.