Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.
Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 и ЛНДУ n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .
Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях n -ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 при непрерывных на интервале интегрирования
X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяет линейная комбинация y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , в которой y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на X , а C j , j = 1 , 2 , . . . , n являются произвольными постоянными.
Когда тождество a 1 · y 1 + a 2 · y 2 + . . . + a n · y n ≡ 0 верно только при нулевых коэффициентах a 1 = a 2 = . . . = a n = 0 , функции y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми на неком интервале X .
Для линейно независимых функций y j , j = 1 , 2 , . . . , n определитель Вронского при любых
x из X отличен от нуля:
W ( x ) = y 1 y 2 … y n y ‘ 1 y ‘ 2 … y ‘ n y » 1 y » 2 … y » n … … … … y 1 ( n — 1 ) y 2 ( n — 1 ) … y n ( n — 1 ) ≠ 0
Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.
Каким же образом определяются y j , j = 1 , 2 , . . . , n — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка?
В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x
Когда подобраны все n линейно независимые частные решения y j , j = 1 , 2 , . . . , n , возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 — оно будет иметь запись y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j . Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) при непрерывных на интервале интегрирования X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функции f ( x ) определяется как сумма общего решения y 0 соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения y
заданного неоднородного уравнения: y = y 0 + y
Нахождение y 0 — общего решения соответствующего ЛОДУ n -ого порядка — было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится y
— частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка.
Иногда некое частное решение y
бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда
y
подобрать затруднительно, при этом определены n линейно независимых частных решений y j , j = 1 , 2 , . . . , n соответствующего ЛОДУ, общее решение исходного ЛНДУ n -ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.
В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) определяется как y = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j , а функции C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) находятся интегрированием после решения системы уравнений:
∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах
Уравнения, содержащие переменную и старшую производную
Разрешенные относительно старшей производной
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием
Разрешенные относительно переменной
Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная x является функцией от старшей производной:
.
Это уравнение можно решить параметрическим методом. Для этого вводим параметр . В результате получаем:
;
.
Из последнего уравнения . Интегрируя, получаем зависимость производной от x в параметрическом виде:
.
Продолжая интегрирование аналогичным образом, получим зависимость y от x в параметрическом виде.
Общий случай
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только независимую переменную и старшую производную общего вида:
.
Его можно решить в квадратурах в параметрическом виде, если удастся подобрать такие функции и , для которых .
Если такие функции найдены, то положим . Тогда исходное уравнение выполняется автоматически. Дифференцируя первую функцию, находим связь между дифференциалами переменных x и t : . Тогда
.
Интегрируя последнее соотношение, получаем решение для производной более низкого порядка в параметрическом виде. Продолжая действовать подобным способом, получим общее решение в квадратурах.
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-1
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-1-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Тогда положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению .
Тогда
;
.
Интегрируя эти уравнения, получим параметрическое представление производной порядка n – 2 . Продолжая подобным образом, получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t .
Подробнее, см. здесь.
Уравнения, содержащие только производные порядков n и n-2
Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-2-го порядков:
.
Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению
.
Положим
.
Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению.
Тогда
;
;
;
;
.
Интегрируя, получим параметрическое представление производных порядка n, n – 1 и n – 2 . Далее интегрируем как в предыдущем случае ⇑. В результате получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t .
Подробнее, см. здесь.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде
Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде
Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде
Для решения этого уравнения, делаем подстановку
.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Однородные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, однородные относительно функции и ее производных
Дифференциальное уравнение
является однородным относительно функции и ее производных, если оно обладает свойством:
.
Здесь t – число или любая функция; число p называют показателем однородности.
Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замену
.
Если после преобразований t сократится, то это однородное уравнение.
Для его решения делаем подстановку
,
где – функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков
Обобщенно однородные уравнения относительно переменных
Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения, которые не меняют вида, если сделать замену переменных: , где c – постоянная; s – измерение однородности для переменной y. При такой замене производная порядка m умножается на :
.
Если записать исходное уравнение в общем виде:
,
то оно является обобщенно однородным относительно переменных, если обладает свойством:
,
где t – число или любая функция; p – показатель однородности.
При подобные уравнения можно назвать однородными дифференциальными уравнениями относительно переменных.
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, если искать решение в параметрическом виде, и перейти от зависимой переменной (функции) y к новой зависимой переменной (новой функции) с помощью подстановок:
, где t – параметр.
В результате для функции получим дифференциальное уравнение n — го порядка, которое не содержит переменную t в явном виде. Далее понижаем порядок изложенным выше методом ⇑.
См. Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков
Дифференциальные уравнения с полной производной
Это уравнения, которые можно привести к полной производной:
.
Отсюда сразу получаем первый интеграл:
.
Он представляет собой дифференциальное уравнение, на единицу меньшего порядка по сравнению с исходным уравнением .
В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Разделим его на . Тогда
.
Отсюда получаем первый интеграл, который является дифференциальным уравнением первого порядка:
.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
(1) ,
где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) ,
где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где – общее решение однородного уравнения (1).
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида:
(3) .
Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2) .
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(4) .
Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:
.
Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .
Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .
Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.
Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью
Рассмотрим уравнение вида
,
где – многочлены степеней s 1 и s 2 ; – постоянные.
Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s – наибольшее из s 1 и s 2 .
Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.
После этого получаем общее решение:
.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Здесь возможны три способа решения.
1) Метод Бернулли.
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где – функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 — го порядка.
2) Метод линейной подстановки.
Сделаем подстановку
,
где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.
3) Метод вариации постоянных Лагранжа.
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .
Уравнение Эйлера
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-06-2017 Изменено: 11-05-2021
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/vysshih-poryadkov/