Однородное и однородно обобщенные уравнения

Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α– 1 y′ :
;
.
Разделим на t α+ 5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α – 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
.

Это – однородное уравнение. Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z – функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z – функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α– 1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = – 1 . Значит – это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x – 1 ,
где z – функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1):
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 03-08-2012 Изменено: 24-06-2015

Однородные дифференциальные уравнения
и приводящиеся к ним

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .

Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как

При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так как

Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку .

Пример 1. Решить однородное уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде так что данное уравнение оказывается однородным относительно и . Положим , или . Тогда . Подставляя в уравнение выражения для и , получаем . Разделяем переменные: . Отсюда интегрированием находим

Так как , то, обозначая , получаем , где или . Заменяя на , будем иметь общий интеграл .

Отсюда общее решение: .

При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение.

Положим теперь и . Но в силу подстановки , а из соотношения получаем, что , откуда . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и также являются решениями данного уравнения.

Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых однородного уравнения . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой.

Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.

Решение. По определению соответственных точек имеем , так что в силу самого уравнения , где и — угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым и , в точках и соответственно (рис. 12).

Уравнения, приводящиеся к однородным

А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где — постоянные, а — непрерывная функция своего аргумента .

Если , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.

1) Определитель . Вводя новые переменные и по формулам , где и — пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду

Выбирая и как решение системы линейных уравнений

получаем однородное уравнение . Найдя его общий интеграл и заменив в нем на , a на , получаем общий интеграл уравнения (3).

2) Определитель . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид . Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Определитель этой системы .

Система имеет единственное решение . Делаем замену . Тогда уравнение (5) примет вид

Это уравнение является однородным уравнением. Полагая , получаем

Интегрируя, найдем или .

Возвращаемся к переменным :

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид

Разделяя переменные, получаем

Возвращаясь к переменным , получаем общий интеграл данного уравнения

Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному приписать измерение 1, переменному — измерение и производной — измерение .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Делаем подстановку , где пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для и , получим

Заметим, что имеет измерение имеет измерение , имеет измерение . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие , или .

Положим ; исходное уравнение принимает вид

Положим теперь . Тогда это уравнение примет вид , откуда .

Разделяем переменные в этом уравнении . Интегрируя, найдем

Заменяя через , получаем общий интеграл данного уравнения

Уравнение имеет еще очевидное решение , которое получается из общего интеграла при , если интеграл записать в виде , а затем перейти к пределу при . Таким образом, функция является частным решением исходного уравнения.

Презентация на тему «Однородные и неоднородные уравнения»
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Рада представить вам проектный продукт своего ученика Воронина Матвея -презентация на тему «Однородные и неоднородные уравнения».

Матвей дает определение однородных и неоднородных уравнений. Также приводит примеры решения данных уравнений от простых к сложному.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Однородные и неоднородные уравнения Автор проекта: Воронин Матвей Юрьевич, 9 «Г» класс. Руководитель проекта: Шумихина Наталья Вениаминовна. МОУ «СОШ № 16 Вологда 2020

План решения уравнения. Решение уравнений С помощью уравнений-следствий 1)Преобразования, гарантирующие сбережение правильного равенства 2)Проверка корней подстановкой в начальное уравнение С помощью уравнений-следствий 1)Учет ОДЗ начального уравнения 2)Сохранение на ОДЗ правильности равенства при прямых и обратных преобразованиях

Что такое однородные и неоднородные уравнения? Однородными уравнениями называют уравнения, все слагаемые которых имеют одинаковую степень . ( в левой части все одночлены имеют одинаковую степень, справа 0) Неоднородными уравнениями называют уравнения, все слагаемые которых не имеют одинаковую степень . ( в левой части все одночлены не имеют одинаковую степень, справа 0)

О днородные уравнения. Решение однородных уравнений сводится к делению каждого одночлена уравнения на наивысшую степень одной из неизвестных и дальнейшей замене переменных. Задание: решите уравнение 3 x²−2xy− y²=0 Видим, что это уравнение однородное, разделим на y² ( предположим, что y≠0) . Получили : 3 . Пусть t= 3 t²-2t-1=0 . Видим, что t₁=1 является корнем данного уравнения, а t₁·t₂= t₂=

О днородные уравнения. Получили, что = Отсюда следует, что y = x или y=−3x , тогда множество решений, удовлетворяющее уравнению, можно представить парой чисел: ( m ; g=m ) или ( a ; b=−3a ). Изобразим решение данного уравнения графически: 1) y=x ●прямая пропорциональность ●график − прямая ●точки прямой:

О днородные уравнения. 2) у=−3 x ● прямая пропорциональность ●график − прямая ●точки прямой: х 1 3 у 1 3

Однородные уравнения. Изобразим график, показывающий множество решений данного уравнения: х 1 -1 у -3 3

О днородные уравнения. Таким образом, координаты любой точки каждого из графиков являются решением данного уравнения.

О днородные уравнения. Задание: решите уравнение (x²−x+1)³+ 2 x⁴(x²−x+1)−3x⁶= 0 Видим, что это уравнение однородное относительно переменных u=x² −x+1 и v=x² . Проверив, что x=0 не является корнем данного уравнения , разделим его почленно на v³=x⁶ . Получим уравнение : Положив Легко видеть, что у=1 — корень данного уравнения, поэтому,

О днородные уравнения. разделив (у−1)( y²+y+3)=0

Однородные уравнения. Обнаружив, что дискриминант квадратного уравнения D=1−12=−11 отрицательный, заключаем, что уравнение у³+2у−3=0 имеет единственный корень y=1 . Это значит, осталось решить уравнение : Решая это уравнение, находим единственный корень х=1. Ответ : 1

Однородные уравнения. Задание: решите задачу: При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, концентрация которого 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? Заполним таблицу: Масса раствора Концентрация кислоты Масса кислоты в растворе Первый раствор x 0,2 0,2x Второй раствор y 0,5 0,5 у Третий раствор x+y 0,3 0,3( x+y ) ; 0,2х+0,5у

Однородные уравнения. Таким образом масса чистой кислоты в 3 растворе равна 0,3( x+y ) ; 0,2х+0,5у. Составим уравнение: 0,3( x+y ) =0,2х+0,5у 0,3х+0,3у=0,2х+0,5у 0,2у=0,1х Ответ:

Линейные уравнения. Линейное уравнение — уравнение с одной переменной вида ax=b , где a и b — числа, х – переменная; a называется коэффициентом при переменной, b — свободным членом. Задание: решите уравнение 5х=42 Разделю обе части уравнения на 5, таким образом найдя корень уравнения : х=42 /5 → х=8,4 Ответ: х=8,4

Линейные уравнения . Задание : решите уравнение 7х+5=47 Для начала вычтем из обеих частей уравнения по 5, приведя его к стандартному виду: 7х=42. Затем разделим обе части уравнения на 7, получим х=6, это и является корнем данного уравнения. Ответ: х=6

Квадратные уравнения. Квадратное уравнение — уравнение вида ax²+bx+c=0 ( a≠0 ), где х- переменная , a, b, c — числа. Квадратное уравнение называют полным, если b, c ≠ 0 ; неполным , если b=0 , либо c=0 , либо b=c=0 . Неполные квадратные уравнения решаются вынесением общего множителя или извлечением квадратного корня . Корни полного квадратного уравнения находятся по формуле

Квадратные уравнения. · = ; ( x₁, x₂ — корни квадратного уравнения ) Задание: решите уравнение х²-20=0 Разложим левую часть уравнения по формуле разности квадратов получим (х-2 )(х+2 )=0, отсюда видно, что х=±2 Ответ: х=±2 Задание: решите уравнение х²-2х-35=0 Так как х · х = =-35, а х х = =2, то увидим, что корни этого уравнения это 7 и -5.

Квадратные уравнения. Ответ: х=-5; х=7 Задание: решите уравнение 2х²-11х-21=0 D=b²-4ac=(-11)²-4·2 · (-21)=121+168=289=17² x₁= = = =7 x₂= = = =-1,5 Ответ: х=-1,5; х=7

Возвратные уравнения 3 степени. Возвратными уравнениями 3 степени называют уравнения вида ax³+bx²+bx+a=0 , где a≠ 0 , х – переменная, а, b – числа. Возвратными уравнения 3 степени решаются при помощи разложения левой части уравнения на множители: ax³+bx²+bx+a = a(x³+1)+ bx (x+1)= a(x+1)(x²−x+1 )+ bx (x+1)= = (x+1)(a(x² −x+1)+ bx ) Задание: решите уравнение 2х ᶟ +7х²+7х+2=0

Возвратные уравнения 3 степени. Разложим левую часть уравнения на множители: 2 x³+ 7 x²+ 7 x+ 2= 2 (x³+1)+ 7 x(x+1)= 2 (x+1)(x²−x+1)+ + 7 x(x+1)= (x+1)( 2 (x² −x+1)+ 7 x) =( x+1 )( 2x²−2x+2+7x ) = =(x+1)(2x²+5x+2 ) Запишем первоначальное уравнение, заменив левую часть : (x+1)(2x²+5x+2) =0, отсюда следует, что х+1=0 или 2x²+5x+2 =0 Решив оба уравнения, получаем: x₁=−1 или x₂=−2 , x₃=−0 ,5 Ответ: −2, −1, −0,5

Биквадратные уравнения. Биквадратными уравнениями называют уравнения вида ax⁴+bx²+c=0 , где а≠0, а, b , c – числа ; x — переменная . Решаются биквадратные уравнения приведением их к квадратным уравнениям с помощью замены x²=t и дальнейшем решении квадратного уравнения с обратной заменой . Задание: решите уравнение 4х⁴-5х²+1=0 Совершим замену: x²=t ; t≥0 . Получим уравнение: 4t² −5t+1=0 Очевидно , что t₁=1 , а t₁∙t₂=0 ,25. Значит t₂ =0,25

Биквадратные уравнения. Совершим обратную замену: x²=1 и x²=0 ,25, следовательно x₁¸₂ =±1; x₃¸₄=±0 ,5 Ответ: x₁¸₂ =±1; x₃¸₄=±0 ,5

Возвратные уравнения 4 степени. Возвратные уравнения 4 степени — уравнения вида ax⁴+ bx ᶟ+cx²+bx+a=0, где а≠0, х — переменная; a, b, c — числа . Возвратные уравнения 4 степени решаются делением всех одночленов, входящих в уравнение на х² и дальнейшем введением переменной y=x+ уравнение приводится к квадратному. Задание: решите уравнение x⁴ -4 xᶟ+x²+ 4 x+ 1 =0 Проверив, что х=0 не является корнем уравнения, разделим на x² , получим x² -4х+1+ =0. Введём новую переменную y=x —

Возвратные уравнения 4 степени. Уравнение принимает вид: у²-4у+3=0. Заметим, что у=1 является корнем данного уравнения, а у · у = =3, тогда у₂=3. Совершив обратную замену и решив 2 квадратных уравнения получаем корни данного уравнения x₁¸ ₂ = , ; x₃¸₄= Ответ: x₁¸₂ = , ; x₃¸₄=

Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени. Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени — уравнения вида ax⁴+ bx ᶟ+cx²+kbx+k²a=0, где а≠0, х — переменная ; b, c, k, a — числа. Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени решаются делением всех одночленов, входящих в уравнение на x² и дальнейшем введении переменной у=х+ приводится к квадратному. Задание: решите уравнение 3 x⁴ -2 xᶟ -31 x²+ 10 x+ 75 =0 Перепишем уравнение в виде 3 x⁴ -2 xᶟ -31 x² +(-5)(-2)х+(-5)² · 3=0. Видим, что уравнение обобщённо-возвратное четвертой степени.

Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени. В нём k=(-5) , а=3. Проверив, что х=0 не является корнем данного, разделим на х² каждый одночлен этого уравнения и вынесем общие множители слагаемых, получили: 3( x² + )-2( x — )-31 = 0. Произведем замену у= x — ²-2у-1=0. Найдем корни данного уравнения – это 1 и — , произведем обратную замену и решим 2 квадратных уравнения, получим корни и Ответ: и

Способы решения произвольных уравнений. В данной презентации рассматривались уравнения, имеющие определенный вид. Для их решения люди нашли способы решения, и они стали стандартными. Далее в презентации я представлю способы решения произвольных уравнений, которые могут не работать с каждым из них, но они значительно упрощают поиски решений конкретного уравнения.

Решение уравнений через ОДЗ. Иногда для решения уравнения достаточно рассмотреть область допустимых значений. Рассмотрим такой пример: Задание: решите уравнение 773х³-266х+ =577х²-70х- Рассмотрим ОДЗ: и у неравенств, получим, что единственным возможным корнем уравнения может являться 1 . Подставим 1 в уравнение и получим верное числовое равенство, таким образом мы решили уравнение. Ответ: 1 Если бы мы пытались избавиться от квадратного корня, то получили бы огромные числа и степень многочлена явно больше 10.

Решение уравнений с помощью анализирования . Перед тем, как решать уравнение, нужно проанализировать, а может ли оно иметь корни? Рассмотрим подобный пример: Задание: решите уравнение 2х⁶+х⁴+х²+1=0 Заметим, что все степени при переменных четные, а значит значения 2х ⁶;х⁴;х² не могут быть отрицательны, да к тому же неотрицательное значение складывается с положительным, а значит оно не может равняться нулю. Ответ: решений нет

Решение уравнения с помощью рассмотрения его как квадратного. Задание: решите уравнение Возведём обе части уравнения в квадрат, получим х⁴+25-10х²-х-5=0 Произведем замену t=5 , получим t² -( 2 х²+1) t+ х⁴-х=0 , найдём дискриминант данного уравнения: D=4x⁴+1+4x²-4x⁴+4x=4x²+4x+1= =(2x+1)² . Далее найдем корни данного уравнения: t₁‚₂= → и t= Совершаем обратную замену и получаем 2 квадратных уравнения: х²+х-4=0 и х²-х-5=0. Решаем эти уравнения через дискриминант и получаем 4 корня:

Решение уравнения с помощью рассмотрения его как квадратного. ; . Важно найти ОДЗ и сравнить с полученными результатами: х²-5 и х+5 , решая это уравнение получаем промежутки на числовой прямой . Сравнив корни уравнений с ОДЗ понимаем, что только 2 из них являются решениями первоначального уравнения. Ответ: ;

Решение уравнений с помощью метода неопределённых коэффициентов. Метод неопределённых коэффициентов заключается в том, чтобы разложить уравнения на множители. Рассмотрим такой пример ― Задание: решите уравнение 6х⁴+23х³+31х²+31х-7=0 Распишем уравнение, разложив на множители: ( ax²+bx+c ) (dx²+ex+f)=0 . Раскроем скобки и вынесем общие множители, получили: adx ⁴+x³( ae+bd )+x²( af+be+cd )+x( bf+ce )+ cf =0 . Сопоставим полученное уравнение с изначальным и составим систему уравнений:

Решение уравнений с помощью метода неопределённых коэффициентов. С помощью подбора найдем корни: a=3, b=4, c=7, d=2, e=5, f=-1 . Таким образом перепишем первоначальное уравнение, разложив его на множители: 6х⁴+ 23х³+31х²+31х-7= =(3х²+4х+7)( 2х²+5х-1). Первое уравнение не имеет корней, а второе имеет корни .

Решение уравнений с помощью метода неопределённых коэффициентов. Ответ:

Решение уравнений, имеющих хот я бы 1 целый корень. Существует теорема, которая гласит, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет хотя бы один целый корень, то он находится среди делителей свободного члена. Рассмотрим подобное уравнение. Задание: решите уравнение х⁴+2х³-11х²+4х+4=0 Рассмотрим все делители свободного члена: ±1, ±2, ±4. Подставив все делители вместо переменной, мы видим, что корнями данного уравнения являются х=1 и х=2, тогда разделим х⁴+ 2х³-11х²+4х+4 на (х-1)(х-2)=х²-3х+2.(Пример деления столбиком многочлена на многочлен приведён на слайде 10)

Решение уравнений, имеющих хоть 1 целый корень. Получили многочлен х²+5х+2. Таким образом х⁴+ 2х³-11х²+4х+4=(х—1)(х-2)(х²+5х+2)=0, далее , решив квадратное уравнение х²+5х+2=0, мы получаем 2 корня х₃‚₄= Ответ: 1; 2;

Решение уравнений, имеющих хоть 1 рациональный корень. Существует теорема, которая гласит, что если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то оно представлено в виде отношения делителя свободного члена к делителю старшего коэффициента. Рассмотрим подобное уравнение. Задание: решите уравнение 6х³-11х²-2х+8=0 Рассмотрим возможные корни, сначала целые, потом рациональные, заметим, что является корнем данного уравнения, тогда разделим (6х³-11х²-2х+8) на ( х- ), получим 6х²-3х-6. Таким образом 6х³-11х²- -2х+8= ( х- )(6х²-3х-6). Решив данное квадратное уравнение мы

Решение уравнений, имеющих хоть 1 рациональный корень. получаем корни Ответ: ;

Вывод по презентации. Данная презентация подошла к концу, в ней была рассмотрена очень важная тема — решение уравнений. Я постарался изложить максимально подробно изученный мной материал, но тем не менее это лишь маленькая часть от этой обширной темы. Призываю всех изучать математику, любить математику всем сердцем, видеть её красоту, она может как сделать ваш досуг увлекательным, так и иметь практическое применение в вашей жизни!

Литература. Новейший полный справочник школьника по математике (5 – 11 классы). Издательство – « Эксмо », Москва, 2008. Учебное пособие для учащихся 9 класса с углублённым изучением математики под редакцией Н.Я.Виленкина . Издательство – « Просвящение », Москва, 2001. Интернет ресурс: https:// www.resolventa.ru/spr/algebra/red2.htm Ютуб канал: https://www.youtube.com/channel/UCLDpIKDTFBSwIYtAG0Wpibg?

Спасибо за внимание!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация-тест по теме «Квадратные уравнения»

Представленный материал будет интересен тем, кто все время находится в педагогическом поиске новых идей и форм работы с обучающимися. Данная презентация представляет собой быстрое тестирование о.

презентация к уроку решение систем уравнений и неравенств графическим способом

презентация к уроку» решение систем уравнений и неравенств графическим способом».

Презентация «Метод интервалов для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль»

Презентация подготовлена кодному из занятий элективного курса» Модули» в 9 классе.

Презентация «Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными»

Презентация к уроку предназначена для учащихся 9 класса коррекционной школы I, II вида, обучающихся по программе ЗПР.

Презентация к уроку «Решение квадратных уравнений»

Презентация содержить материал для входного контроля — повторение основных вопросов по теме «Квадратные уравнения».

Презентация «Исторические сведения о квадратных уравнениях»

В презентации представлены интересные исторические сведения о квадратных уравнениях, а также нестандартные способы решения квадратных уравнений.

презентация к уроку «Неполные квадратные уравнения»

Урок по теме «Неполные квадратные уравнения» объяснения нового материала.