Однородное тригонометрическое уравнение второй степени вида

Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

• ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени ;
• сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
• научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
• развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
• стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.

II. Актуализация опорных знаний..

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

IV. Усвоение новых знаний

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
2. Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
3. Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361 в)

3-я и 4-я группа решают № 363 в)

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника

№ 361в)
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363в)
sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0
разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим
tg 2 x + tgx – 2 = 0
решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а 2 + а – 2 = 0
Д = 9
а₁ = 1 а₂ = –2
возвращаемся к замене

VI. Самостоятельная работа

1. 2 cosx – 2 = 0
2. tg2x +1 = 0
3. 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
4. 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

VII. Подведение итогов урока

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

VIII. Задание на дом

§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
2. Единица измерения углов? (Радиан)
3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
7. Как называется верное равенство? (Тождество)
8. Равенство с переменной? (Уравнение)
9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
10. Множество корней уравнения? (Решение)

Рейтинговая система оценки знаний

• Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
• Презентация – 1балл
• Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
• Решение уравнений 1 балл
• Самостоятельная работа – 4 балла

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

За высокую активность ставится дополнительная оценка.

Решение задач и уравнений (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке рассматривается методика решения однородных тригонометрических уравнений второй и первой степени, решаются уравнения с применением данной методики.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс.

(УМК А.Г. Мордковича и др. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс

М. «Мнемозина»,2013 года)

Тема урока : Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Учитель : Александра Вячеславовна Евдокимова, I квалификационной категории, МОУ СОШ №43 им. А.С.Пушкина, города Ярославля.

• ввести определение однородного тригонометрического уравнения второй степени; вывести алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.
• повторить и закрепить навык решения простейших тригонометрических уравнений; тренировать вычислительные навыки.
• развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, обобщение, аналогия.

Демонстрационный материал :

1. Мотивация к учебной деятельности

1) Организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности(«надо»).

2) Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу»)

3) Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность(«хочу»)

— Чем занимались на прошлом уроке? (Решали простейшие тригонометрические уравнения; уравнения методом замены, разложением на множители, однородные уравнения первой степени.)

— Всё получалось? (Нет, но мы повторяли алгоритм решения таких уравнений, исправляли ошибки.)

— Какое предположение вы сделали в конце прошлого урока? (Что существуют более сложные виды тригонометрических уравнений и мы их сможем решить.)

— С чего начнём? (Повторим алгоритмы решения известных нам уравнений.)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).

4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.

5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.

6) Мотивировать к пробному действию («надо» — «могу» — «хочу»).

7) Организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

Sin x =0 sin x = 1

Cos x =0 cos x = 1

tg x = 0 tg x = 1

ctg x = 0 sin x = — 1

Среди предложенных уравнений укажите:

1. 2 tg 2 t – 5tg t +2 = 0

2. 2sin x – 3 cos x = 0 1) уравнения, которые решаются

3. (sin x — ) (sin x + 1) = 0 методом замены; (1)

4. sin 2x + cos 2x = 0 2) уравнения, которые решаются

5. sin 2 x – 3 sinхcos x + 2 cos 2 x = 0 методом разложения на

6. sin x + cos x = 2 3) однородные тригонометрические

уравнения 1 степени (2,4)

— Сформулируйте алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой степени.

Учащиеся формулируют алгоритм. Алгоритм пошагово появляется на доске.

— Найдите среди предложенных уравнений, то которое будет пробным.

— Рассмотрим его, чем оно отличается от остальных ? (Все одночлены в левой части – второй степени.)

— Уравнения вида а sin 2 x + b sin х cos x + c cos 2 x = 0

Называются однородными второй степени. Способ таких уравнений вам известен? (Нет.)

— Попробуйте решить уравнение № 5.

Учащиеся выполняют пробное действие.

-Удалось найти верный ответ? В чём затруднение?

(Нет, не удалось; решил, но не могу обосновать решение.)

3.Выявление места и причин затруднения.

1) Организовать восстановление выполненных операций.

2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.

3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами(алгоритмом, понятием и т.д.)

4) На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения- тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– В чём причина затруднения? (Мы не знаем алгоритма решения таких уравнений.)

Были ли уравнения

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1) Учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).

2) Учащиеся уточняют и согласовывают причины возникшего затруднения.

3) Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.)

4) Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

-Какова цель урока? (Составить алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Какова тема урока? (Однородные уравнения второй степени.)

— Запишите тему в тетрадь.

-Какие приёмы вы предлагаете использовать для конструирования алгоритма? (Деление обеих частей уравнения на cos 2 x.)

— Как решить уравнение вида: а sin 2 mx + b sin cos mx + c cos 2 mx = 0

— Для выполнения построенного плана предлагаю объединиться в группы и решить задания:

Ответ: , .

Учащиеся работают в группах. Записывают решение на заготовках для кодоскопа. Проверка через кодоскоп..

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи.

-Решим № 364 (в) проговаривая все этапы алгоритма.

sin 2 x + sin х cos x — 2 cos 2 x = 0 a≠0 c≠0

( Разделить обе части уравнения на cos 2 x)

tg 2 x + tg x — 2=0

Z 2 + Z – 2 = 0 (Решим полученное квадратное уравнение)

(В ернёмся к замене)

tg x = 1 или tg x = -2 ( Решим простейшие тригонометрические

х = , х = — (Запишем ответ уравнения).

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1) Организовать выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) Организовать соотнесение работы с подробным образцом;

3) Организовать вербальное сопоставление работы с подробным образцом;

4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

-Время на выполнение задания вышло. Проверьте свою работу по подробному образцу.

— С какого шага начнём проверку ( Проверим, чему равны коэффициенты.)

-Следующий шаг проверки ? ( Разделить обе части уравнения на cos 2 .)

— Дальше ?(Вввести замену Z = tg x и решить полученное квадратное уравнение.)

-Следующий шаг проверки ? (Вернёмся к замене и решим простейшие тригонометрические уравнения.)

-Последний шаг проверки? (Проверка правильности записи ответа уравнения.)

— Кто ошибся при определении коэффициентов?

— Кто допустил ошибки при делении обеих частей уравнения на cos 2 ?

— Кто неверно решил кв. уравнение?

— Кто неверно решил простейшее тригонометрическое уравнение?

8.Включение в систему знаний и повторение.

1) Организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия.

2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

-Рассмотрите уравнение. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени? (Нет.)

-А можно его привести к такому виду? (Да.)

— Что для этого нужно сделать? ( По основному тригонометрическому тождеству заменить 1 на sin 2 x + cos 2 x привести подобные слагаемые.)

— Решите это уравнение. (Ответ: х = — )

— Как вы думаете, а существуют другие виды тригонометрических уравнений? (Конечно.)

— Что может нам помочь в решении новых видов уравнений? (Тригонометрические формулы, которые мы знаем.)

-А много ли тригонометрических формул вы знаете ? (Пока нет.)

-Сделайте предположение, что вы узнаете на следующих уроках? (Новые тригонометрические формулы.)

9. Рефлексия учебной деятельности.

1) Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения.

3) Выполнения требований, известных учащимся.

4) Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке.

5) Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

— Что нового узнали на уроке? (Новый вид тригонометрического уравнения, способ его решения.)

— Достигли цель, поставленную в начале урока? (Да.)

— Почему? (Мы составили алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Где может пригодиться новое знание ? (При решении более сложных тригонометрических уравнений.)

— Как вы оцените свою работу на уроке?

-Для чего нам необходимо выполнять домашнее задание? (Чтобы закрепить умение решать данный вид уравнений.)

— Предлагаю записать домашнее задание : № 363(г), № 362 (бв), дополнительно: №378.