Однородное уравнение с двумя переменными

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Однородные уравнения

Разделы: Математика

Цели занятия:

• образовательные: – научиться распознавать однородные уравнения, отработать метод решения однородных уравнений.
• развивающие: – развивать логическое мышление, навыки самостоятельной работы и самоконтроля.
• воспитательные: – развивать познавательный интерес к предмету, творческие способности обучающихся.

Материал для лекции.

Определение: Многочлен называется однородным, если

Многочлен от двух переменных называют однородным многочленом степени k, если все его одночлены имеют степень k.

Например: = – однородный многочлен второй степени, а – однородный многочлен третьей степени.

Определение: Уравнение вида называется однородным уравнением степени k относительно , если – однородный многочлен степени k.

Понятие однородности распространяется и на уравнения с большим числом неизвестных.

Например: – однородное уравнение третьей степени относительно неизвестных

Однородное уравнение относительно и делением на (если не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного . Это свойство однородности облегчает процесс решения.

Однородные уравнения

Однородные уравнения

Алгебраический многочлен f(x,y) с двумя переменными x и у называется однородным многочленом n -й степени относительно этих переменных , если при любом имеет место тождество

Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде

где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.

Уравнение f(x,y) = 0 называется однородным алгебраическим уравнением n -й степени с двумя неизвестными x,у, если f(x,y) — однородный многочлен n-й степени относительно этих переменных.

Например, уравнение вида является однородным уравнением 2-й степени относительно неизвестных x и у . Действительно, достаточно проверить выполнение условия (1). При одновременной замене , получим

т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).

Аналогично, уравнение есть однородное уравнение 2-й степени по отношению к неизвестным x,y,z , поскольку при замене получаем

Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.

Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .

Однородным уравнением n -й степени относительно функций р(х), q(x) называется уравнение вида

В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида

Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций

Перейдём к процедуре решения уравнения (2).

Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность

Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.

1) Если то, поделив обе части уравнения на и обозначив после этого отношение p(x)/q(x) через t , получим алгебраическое уравнение n -й степени относительно t:

решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.

2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений

Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.

Пример №185.

Решить уравнение

Решение:

Перепишем уравнение: Видно, что это однородное уравнение 2-й степени относительно функций и1) Пусть х + 1 = 0 , но система решений не имеет.

2) Пусть теперь . Поделив на и обозначив , придём к квадратному уравнению . Оно имеет два корня , . Возвращаясь к переменной x , приходим к совокупности двух уравнений

Пример №186.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :

Обозначим t = x/у, тогда имеем кубическое уравнение Подбором находим корень t = — 1. Делением многочлена получаем: Убеждаемся в том, что данное кубическое уравнение имеет единственный корень t = — 1, что соответствует у = — x . Положим x = р, где р — произвольное целое число, не равное 0. Тогда у = — р , и имеем бесконечно много решений в виде пар чисел (р;- р), , . Объединяя все полученные решения, приходим к ответу.

Ответ: где .

Пример №187.

Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение

Решение:

Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно x и а.

1) Если а = 0 , то х = 0 .

2) Если , то поделим на , и положим :

Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня

Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;

при два решения

Пример №188.

Найти действительные корни уравнения

Решение:

Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду

Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.

1) Если , то, поделив на и обозначив , получим нет решений.

2) Если у = 1, то, подставляя в уравнение, находим x = — 1 .

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института