Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.
Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α– 1 y′ :
;
.
Разделим на t α+ 5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α – 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.
Метод решения
Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
.
Это – однородное уравнение. Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z – функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z – функция от x .
Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .
Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α– 1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = – 1 . Значит – это обобщенное однородное уравнение.
Делаем подстановку:
y = z x α = z x – 1 ,
где z – функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1):
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.
Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .
Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 03-08-2012 Изменено: 24-06-2015
Однородные дифференциальные уравнения
и приводящиеся к ним
Однородные уравнения
Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .
Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как
При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так как
Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде
Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:
Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).
Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку .
Пример 1. Решить однородное уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде так что данное уравнение оказывается однородным относительно и . Положим , или . Тогда . Подставляя в уравнение выражения для и , получаем . Разделяем переменные: . Отсюда интегрированием находим
Так как , то, обозначая , получаем , где или . Заменяя на , будем иметь общий интеграл .
Отсюда общее решение: .
При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение.
Положим теперь и . Но в силу подстановки , а из соотношения получаем, что , откуда . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и также являются решениями данного уравнения.
Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых однородного уравнения . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой.
Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.
Решение. По определению соответственных точек имеем , так что в силу самого уравнения , где и — угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым и , в точках и соответственно (рис. 12).
Уравнения, приводящиеся к однородным
А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где — постоянные, а — непрерывная функция своего аргумента .
Если , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.
Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.
1) Определитель . Вводя новые переменные и по формулам , где и — пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду
Выбирая и как решение системы линейных уравнений
получаем однородное уравнение . Найдя его общий интеграл и заменив в нем на , a на , получаем общий интеграл уравнения (3).
2) Определитель . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид . Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Определитель этой системы .
Система имеет единственное решение . Делаем замену . Тогда уравнение (5) примет вид
Это уравнение является однородным уравнением. Полагая , получаем
Интегрируя, найдем или .
Возвращаемся к переменным :
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид
Разделяя переменные, получаем
Возвращаясь к переменным , получаем общий интеграл данного уравнения
Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному приписать измерение 1, переменному — измерение и производной — измерение .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Делаем подстановку , где пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для и , получим
Заметим, что имеет измерение имеет измерение , имеет измерение . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие , или .
Положим ; исходное уравнение принимает вид
Положим теперь . Тогда это уравнение примет вид , откуда .
Разделяем переменные в этом уравнении . Интегрируя, найдем
Заменяя через , получаем общий интеграл данного уравнения
Уравнение имеет еще очевидное решение , которое получается из общего интеграла при , если интеграл записать в виде , а затем перейти к пределу при . Таким образом, функция является частным решением исходного уравнения.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=odnorodnye-differentsialnye-uravneniya