Однородное волновое уравнение и его решение

Решение однородных волновых уравнений Гельмгольца. Плоские волны

Если в рассматриваемой области отсутствуют сторонние источники, то электромагнитное монохроматическое поле описывается однородными уравнениями для комплексных амплитуд:

Каждое из векторных уравнений этой системы эквивалентно трем однотипным скалярным уравнениям для координатных составляющих соответствующего вектора:

,

где – любая из составляющих или .

Предположим, что в среде отсутствуют потери, следовательно, нужно положить и .

Однородное уравнение Гельмгольца в декартовой системе координат (x,y,z) принимает вид

,

где – любая из составляющих или . Предположим, что поле не зависит от координат x и y ( ). Это справедливо при определении поля в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника. Тогда имеем обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Его решение возьмем в форме

.

Точки над и поставлены, чтобы подчеркнуть, что это в общем случае, произвольные комплексные константы и . Чтобы найти w, возьмем ; это дает:

w(z,t) = Pcos(ωt – kz + ψ) + Q cos(ωt + kz + φ).

w(z,t) = Pcos(ωt – kz + ψ) .

Поверхность, на которой в данный момент времени мгновенное значение функции постоянно, принято называть поверхностью равных фаз(ПРФ). По виду этой поверхности классифицируются волны. Волны, у которых ПРФ – плоскость, называются плоскими.

ПРФ перемещается в пространстве со скоростью:

Таким образом имеем плоскую гармоническую волну, движущуюся со скоростью V_ф вдоль оси Z; введенный параметр k называется волновым числом. Значения функции w(z,t) периодически повторяются. Пространственный период называется длиной волны λ. Очевидно, что

Поэтому следует, что k . λ =2 π, т.е.

, V = λ . f,

где f = ω/2π – частота процесса. Заметим, что в данном случае V называется фазовой скоростью. Гармонические волны у которых амплитуда не зависит от поперечных (по отношению к направлению распространения) координат (в рассматриваемом случае x и y) называются однородными

. Л Е К Ц И Я — 4Чтобы составить более наглядное представление о гармонической волне, положим сначала в w(z,t) t =0 и получим

w(z,0) = Pcos(– kz + ψ) = Pcos(kz – ψ),

т.е. функцию, характеризующую распределение величины w вдоль оси Z в начальный момент t = 0. Эта косинусоида (кривая 1 на рис. 5.1) представляет собой как бы «мгновенный снимок» процесса. Выберем следующий фиксированный момент t₁ > 0 и для него запишем:

где l = ωt₁/V = V . t₁ – есть не что иное, как расстояние, пройденное волной за время t₁. «Мгновенный снимок», соответствующий моменту t₁, дает, таким образом, косинусоиду, сдвинутую по оси Z на расстояние l (кривая 2 на рис. 5.1).

Распространение гармонической волны – это движение косинусоидального распределения w вдоль прямой (оси Z) с постоянной скоростью (Рис.5.1.). Описываемый процесс называется бегущей волной.

Рассматривая случай P = 0 , получим также плоскую гармоническую волну, но распространяющуюся навстречу оси Z.

Таким образом, найденное решение уравнения выражает суперпозицию двух гармонических волн, распространяющихся со скоростью V в противоположенных направлениях.

Рассмотрим случай бегущих навстречу волн с одинаковыми амплитудами P = Q и начальными фазами ψ = φ . При этом из получаем:

w(z,t) = 2Pcoskz cos(ωt + ψ).

Описываемый процесс называется стоячей волной. Его отличительной особенностью является синфазность колебаний во всем пространстве. Фаза ωt + ψ зависит только от времени и постоянна для всех z; в зависимости от z косинусоидально изменяется амплитуда гармонических колебаний w_m = 2Pcoskz*. Ряд «мгновенных снимков» процесса для разных моментов времени приведен на рис.5.2. Косинусоидальное распределение вдоль оси z не движется (в отличие от бегущей волны), а испытывает синфазные гармонические колебания; при этом расстояния между соседними нулями («узлами») и максимумами («пучностями») распределения равны λ/2.

В случае среды с потерями , где k’ и k» – действительные числа. Соответственно решение уравнения (5.1.3) имеет вид:

,

.

Чтобы найти w, возьмем ; это дает:

w(z,t) = Pe – k » z cos(ωt – k’z + ψ) + Qe k » z cos(ωt + k’z + φ).

Гармоническая плоская волна у которой амплитуда зависит только от продольной по отношению к направлению распространения координаты является также однородной:

и, в частности, полагая коэффициент Q = 0, получаем гармоническую однородную затухающую волну

w(z,t) = Pe – k » z cos(ωt – k’z + ψ), (k»>0)

с амплитудой, уменьшающейся экспоненциально по мере ее распространения; параметр k» – называется коэффициентом затухания. Два «мгновенных снимка» затухающей волны для моментов t = 0 и t₁ > 0 показаны на рис. 5.3.

Сферическая и цилиндрическая волны выражаются частными решениями однородного уравнения в сферических и цилиндрических координатах при отсутствии зависимости от угловых координат φ и θ в сферической и от φ и z в цилиндрической системах.

Дата добавления: 2016-03-27 ; просмотров: 2062 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

2.2. Решение волнового уравнения

Уравнение типа (2.2), описывающее колебания различных упругих сред, называется волновым уравнением. Запишем его формально в виде:

Введем теперь вместо (x, t) новые переменные:

Производные по новым переменным выражаются по стандартным правилам дифференцирования сложной функции:

Отсюда следует, что уравнение (2.16) в новых переменных записывается в виде:

Поскольку производная по равна нулю,

не зависит от этой переменной и, следовательно, является некоторой функцией w только от переменной :

Интегрируем теперь это уравнение:

Первое слагаемое в правой части является только функцией переменной , которую мы обозначим как . Второе слагаемое — постоянная интегрирования. Она не зависит от , являясь, стало быть, функцией только переменной :

Мы получили, что решение волнового уравнения имеет вид:

Подставляя сюда выражения (2.17), мы возвращаемся к прежним переменным (x, t):

Функции f₁ и f₂ — совершенно произвольны и должны быть определены из начальных и граничных условий.

Обсудим физический смысл полученных решений. Ограничимся сначала первым слагаемым. Пусть

В момент времени t = 0 функция f₁(x) задает распределение смещений (профиль струны, деформацию твердого тела, распределение давления или частиц в газе и т. д.):

Предположим, например, что это распределение имеет максимум в точке (рис. 2.6).

Такое распределение называют обычно волновым пакетом. В момент t максимум функции по-прежнему будет в точке, в которой аргумент равен , но теперь (в момент времени ) аргумент равен , таким образом: или . Другими словами, за время от 0 до волновой пакет сдвинется вправо на расстояние vt, так что максимум теперь придется на точку

Нетрудно сообразить, что форму свою волновой пакет при этом перемещении не изменит.

Мы видим, что начальное распределение движется вправо со скоростью . Аналогично, второе слагаемое, , описывает движение волнового пакета налево с той же скоростью . Общее решение (2.21) является суперпозицией двух этих решений.

В свою очередь, любой волновой пакет может быть представлен как суперпозиция гармонических функций. Отсюда — особая роль решений волнового уравнения вида:

Это решение описывает монохроматическую волну, распространяющуюся направо со скоростью

Волновое уравнение

Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс нестационарный, то одной из независимых переменных является время t. Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения.

Одномерное волновое уравнение – уравнение, описывающее продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня (струны) и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используют для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны). Трехмерное волновое уравнениеописывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидкости, упругих волн в сплошной среде и т.п.).

Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде

(2.63)

Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x,t) описывает положение струны в момент t. В этом случае а2 = Т/ρ, где Т — натяжение струны, ρ — ее линейная (погонная) плотность. Колебания предполагаются малыми, т.е. амплитуда мала по сравнению с длиной струны. Кроме того, уравнение (2.63) записано для случая свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний в правой части уравнения добавляют некоторую функцию f(x,t), характеризующую внешние воздействия, при этом сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.

Простейшей задачей для уравнения (2.63) является задача Коши: в начальный момент времени задаются два условия (количество условий равно порядку входящей в уравнение производной по t):

(2.64)

Эти условия описывают начальную форму струны и скорость ее точек .

На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины l. В этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закрепленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид

(2.65)

Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (2.63)-(2.65). Простейшей является явная трехслойная схема типа крест (шаблон показан на рис. 2.21). Заменим в уравнении (2.63) вторые производные искомой функции Uпо tи х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции в узлах сетки :

Рис. 2.21. Шаблон явной схемы

Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на ( j + 1)-ом слое:

(2.66)

Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-ом слое нужно знать решения на j-ом и (j — 1)-ом слоях. Поэтому начать счет по формулам (2.66) можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Их находят с помощью начальных условий (2.64). На нулевом слое имеем

(2.67)

Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием (2.64). Производную заменим конечно-разностной аппроксимацией. В простейшем случае полагают

(2.68)

Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое:

(2.69)

Отметим, что аппроксимация начального условия в виде (2.68) ухудшает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка , т.е. первого порядка по τ, хотя сама схема (2.66) имеет второй порядок аппроксимации по hи τ. Положение можно исправить, если вместо (2.69) взять более точное представление:

(2.70)

Вместо нужно взять . А выражение для второй производной можно найти с использованием исходного уравнения (2.63) и первого начального условия (2.64). Получим

Тогда (2.70) примет вид:

(2.71)

Разностная схема (2.66) с учетом (2.71) обладает погрешностью аппроксимации порядка

При решении смешанной задачи с граничными условиями вида (2.65), т.е. когда на концах рассматриваемого отрезка заданы значения самой функции, второй порядок аппроксимации сохраняется. В этом случае для удобства крайние узлы сетки располагают в граничных точках (х0=0, xI = l). Однако граничные условия могут задаваться и для производной.

Например, в случае свободных продольных колебаний стержня на его незакрепленном конце задается условие

(2.72)

Если это условие записать в разностном виде с первым порядком аппроксимации, то погрешность аппроксимации схемы станет порядка . Поэтому для сохранения второго порядка данной схемы по hнеобходимо граничное условие (2.72) аппроксимировать со вторым порядком.

Рассмотренная разностная схема (2.66) решения задачи (2.63) — (2.65) условно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости:

(2.73)

Следовательно, при выполнении этого условия и с учетом аппроксимации схема (2.66) сходится к исходной задаче со скоростью O(h2+τ2). Данная схема часто используется в практи-ческих расчетах. Она обеспечивает приемлемую точность получения решения U(x,t), которое имеет непрерывные производные четвертого порядка.

Рис. 2.22. Алгоритм решения волнового уравнения

Алгоритм решения задачи (2.63)-(2.65) с помощью данной явной разностной схемы приведен на рис. 2.22. Здесь представлен простейший вариант, когда все значения сеточной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хранятся в памяти компьютера, а после решения задачи выводятся результаты. Можно было бы предусмотреть хранение решения лишь на трех слоях, что сэкономило бы память. Результаты в таком случае можно выводить в процессе счета (см. рис. 2.13).

Существуют и другие разностные схемы решения волнового уравнения. В частности, иногда удобнее использовать неявные схемы, чтобы избавиться от ограничений на величину шага, налагаемых условием (2.73). Эти схемы обычно абсолютно устойчивы, однако алгоритм решения задачи и программа для компьютера усложняются.

Построим простейшую неявную схему. Вторую производную по tв уравнении (2.63) аппроксимируем, как и ранее, по трехточечному шаблону с помощью значений сеточной функции на слоях j— 1, j, j + 1. Производную до х заменяем полусуммой ее аппроксимации на (j + 1)-ом и (j— 1)-ом слоях (рис. 2.23):

Рис. 2.23. Шаблон неявной схемы

Из этого соотношения можно получить систему уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на (j+ 1)-ом слое:

(2.74)

Полученная неявная схема устойчива и сходится со скоростью . Систему линейных алгебраических уравнений (2.74) можно, в частности, решать методом прогонки. К этой системе следует добавить разностные начальные и граничные условия. Так, выражения (2.67), (2.69) или (2.71) могут быть использованы для вычисления значений сеточной функции на нулевом и первом слоях по времени.

При двух или трех независимых пространственных переменных волновые уравнения принимают вид

Для них также могут быть построены разностные схемы по аналогии с одномерным волновым уравнением. Разница состоит в том, что нужно аппроксимировать производные по двум или трем пространственным переменным, что, естественно, усложняет алгоритм и требует значительно больших объемов памяти и времени счета. Подробнее двумерные задачи будут рассмотрены ниже для уравнения теплопроводности.