Однородные и линейные дифференциальные уравнения кратко

Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: «Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями». Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии — науки о пространстве и его свойствах.

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания «дифференциальное уравнение». Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это — производная.

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная — это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)’=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)’=a’+b’ и (a-b)’=a’-b’.
2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения — это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)’=a’*b+a*b’.
3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)’=(a’*b-a*b’)/b 2 .

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Интеграл

Другое важное понятие — интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные неопределённые интегралы.

Итак, что такое интеграл? Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)’=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Классы дифференциальных уравнений

«Диффуры» делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y’=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y’=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого «диффура» — это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

Переносим переменные в разные стороны:

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

Если требуется, мы можем выразить «игрек» как функцию от «икс». Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y’=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t — некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y’=t'(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y’=y-x*e y/x .

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y’=t'(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t'(x)*x=-e t . Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e -t =ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e -y/x =ln(x*С).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y’ + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y’ — y*x=x 2 .

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый — метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

Теперь надо заменить константу C₁ на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

Проведём замену производной:

y’=v’*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v’*e x2/2 — x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv = x 2 *e — x2/2 dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще — решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n — некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y’=k’*n+k*n’. Подставляем обе замены в уравнение:

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x 2 /2. Тогда, если выразить n:

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Где используются дифференциальные уравнения?

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим — решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник — жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки «что такое дифференциальное уравнение?» не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос «как решить дифференциальное уравнение первого порядка?» вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка — это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Что ещё можно изучить для лучшего понимания?

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений (ДУ) такого типа называют линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения на отрезке [a;b] представляет собой линейную комбинацию 2х линейно независимых частных решений y₁ и y₂ нашего уравнения, т.е.:

.

Самое сложное заключается в определении линейно независимых частных решений ДУ такого типа. Зачастую, частные решения выбирают из таких систем линейно независимых функций:

Но достаточно редко частные решения представляются именно так.

Примером линейного однородного дифференциального уравнения можно назвать .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения определяется как ,

где y₀ является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,

а является частным решением исходного ДУ. Метод определения y₀ мы сейчас обсудили, а вычисляют, используя метод вариации произвольных постоянных.

Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения приводим .

Познакомиться ближе с теорией и просмотреть примеры решений можете здесь: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.