Однородные и симметрические системы уравнений

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №14. Алгебраические системы уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) определение алгебраической системы уравнений;

2) методы решений алгебраических систем уравнений;

3) симметрические системы уравнений.

Глоссарий по теме

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.

Уравнение P(x;y)= а, где, называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

А теперь можно сформулировать определение.

Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Рассмотрим методы решения систем уравнений.

Методы решения систем уравнений.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Решить систему уравнений

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

Метод алгебраического сложения

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

Метод введения новых переменных

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

Решением системы является две пары чисел.

Первая пара чисел:

Вторая пара чисел:

Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим

получим t² -1 — 2 = 0 t₁ =2, t₂ =-1.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: х₁ =1, у₁ = 2; х₂ = -1; у₂ = -2.

Вторая система несовместна. Отсюда (1;2), (—1;—2) — решения исходной системы.

Решить систему уравнений

Сложим уравнения почленно.

Решим полученное уравнение с одной переменной.

Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения

в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.

если х=5, то 25+y 2 =29

если х=-5, то 25+y 2 =29

Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) — решения системы.

Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
развивающая: развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения.
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения.

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

Содержание урока

I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

симметрические системы уравнений;
системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2).

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV. Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?

Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.

Симметрические и однородные системы уравнений

Методическая разработка занятия элективного курса в профильной группе 10 класса.

Просмотр содержимого документа
«Симметрические и однородные системы уравнений»

Симметрические и однородные системы уравнений

Система уравнений, каждое из которых является линейным относительно всех неизвестных, называется ….
Система уравнений, в которой хотя бы одно из уравнений не является линейным, называется ….
Система уравнений называется симметрической, если…
Для решения симметрической системы используют замену: …
Систему уравнений называют однородной, если …