Однородные системы линейных уравнений ax 0

Однородная система линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ):

Представим (1) в матричном виде:

где A m×n матрица, x вектор столбец порядка n , 0 — нулевой вектор столбец порядка m.

СЛУ (1) (или (2)) называется однородной системой линейных уравнений, т.к. правая часть системы равна нулю.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. вектор 0 всегда является решением системы (1):

Это решение называется нулевым или тривиальным решением.

1. Cистема линейных однородных уравнений имеет ли другие решения, кроме нулевого.
2. При каких условиях система линейных однородных уравнений имеет нетривиальное решение.
3. Как найти множество всех решений системы однородных линейных уравнений.

Если A n×n матрица и rank( A)= n, то нулевой вектор является единственным решением системы (1), в противном случае система имеет множество решений.

Обшее решение однородной системы линейных уравнений

Пусть A m×n — матрица rank A=r. В общем случае можем предположить что r r столбцов матрицы A линейно независимы. Для удобства записи предположим, что это первые r столбцы матрицы A. Переставляя строки матрицы можно добиться того, чтобы подматрица матрицы A порядка r×r, расположенная в левом верхнем углу, была невырожденной. Запишем систему (2) в блочном виде:

где M — r×r — матрица, rang M=r.

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

где M₁ верхняя треугольная матрица, 0 — нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

где E — единичная матрица порядка r×r.

где F₂— r×(n-r) — матрица, E n-r — единичная матрица порядка n-r, X — матрица порядка n×(n-r).

В уравнении (5) вместо x подставляя матрицу (6), получим:

Таким образом, векторы столбцы матрицы X являются решением системы (2) (или (1)). Более того, эти векторы линейно независимы и их линейная комбинация также является решением (2).

Общее решение системы однородных линейных уравнений имеет следующий вид:

гдe k — произвольный вектор столбец порядка n-r.

Общее решение системы однородных линейных уравнений можно также записать в следующем виде:

где x_i — i-ый вектор-столбец матрицы X, а k_i — i-ая координата вектора k

Множество всех решений (8)(или (9)) образует ядро или нуль пространство матрицы A и обозначается через Ker (A) или N(A).

В начале этого параграфа мы предполагали, что линейные независимые r векторы столбцы расположены в начале матрицы A. В общем случае, если они расположены в произвольных местах, аналогично вышеизложенному, применяя метод Гаусса, затем обратный ход Гауссова исключения и, наконец , разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует), получим

Сделаем замену переменных:

где P -матрица перестановок поядка n×n выбрана так, чтобы при подстановке (11) в (10) получили:

где E — единичная матрица порядка r×r.

Аналогично вышеизложенному векторы столбцы матрицы X’:

образуют множесво всех решений однородной системы линейных уравнений (12).

Учитывая (11) получим:

Общее решение системы однородных линейных уравнений имеет следующий вид:

гдe k — произвольный вектор столбец порядка n-r.

Общее решение системы однородных линейных уравнений можно также записать в следующем виде:

где q_i — i-ый вектор-столбец матрицы Q, а k_i — i-ая координата вектора k

Нахождение общего решения однородной системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Если rank(A)= r, r общее решение можно представить в следующем виде:

где E —единичная матрица, A + — псевдообратная к A матрица.

Для проверки подставим (16) в (2):

Ax=A(E−A + A)z=(A−AA + A)z=(A−A)z=0.

Ранг матрицы rank( E−A + A)= n-r. Следовательно столбцы матрицы E−A + A образуют множество всех решений системы (2).

Отметим, что r столбцов матрицы E−A + A линейно зависимы. Для исключения линейно зависимых столбцов можно сделать скелетное разложение. Тогда E−A + A= QS, где Q n×n−r — матрица rank (Q)=n−r, S n−r×n-матрица rank (S)=n−r. Тогда множество всех решений однородной системы линейных уравнений примет следующий вид:

Решение однородной системы линейных уравнений онлайн

Для решения однородной системы линейных уравнений пользуйтесь онлайн калькулятором который решает однородную систему по шагам и находит полное решение.

Системы линейных однородных уравнений

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства систем линейных однородных уравнений

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из ( n-r ) решений.

Однородные системы линейных уравнений ax 0

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных

при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где A — матрица системы, b — правая часть, x — искомое решение, A_p — расширенная матрица системы:

.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду

.

Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e₁ , e₂ , . e_n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, . n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

где c₁ , c₂ , . c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter