Однородные системы линейных уравнений презентация

Линейная алгебра Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемtver-math.narod.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Линейная алгебра Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений.» — Транскрипт:

1 Линейная алгебра Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений

2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: Если закрепить раз и навсегда нумерацию неизвестных, то можно опустить неизвестные в записи системы и записать ее в виде матрицы, отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой. Расширенная матрица системы

3 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Следующие действия над расширенной матрицей системы называются элементарными преобразованиями. Умножение или деление элементов строк на одно и то же число, не равное нулю Перестановка местами двух строк Прибавление к элементам строки элементов другой строки, умноженных на произвольный множитель. Конечной целью элементарных преобразований является получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования стараются производить так, чтобы на главной диагонали появлялись единицы.

4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Запишем расширенную матрицу системы К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на (-2), К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на (-3). Из третьей строки вычтем вторую строку Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (-5)

5 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 4 Вторую строку умножим на (-1), третью строку разделим на 5 Восстановим систему:

6 Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n). Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов. Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют определитель k — того порядка. Минором k-того порядка матрицы А называют определитель, полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

7 Ранг матрицы Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Матрица А имеет 4 минора 3 — его порядка, например: 18 миноров 2 — го порядка, например: 12 миноров 1 — го порядка – сами элементы. Наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы равен 3, поэтому:

8 Ранг матрицы Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором. Он может быть не единственным. Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы, ее приводят к треугольному виду. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду

9 Исследование систем линейных уравнений Теорема Кронекера — Капелли. Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение ), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов: Если (числу неизвестных), то система совместна и определенна (имеет единственное решение). Если,то система совместна и неопределенна (имеет бесконечное множество решений). Если,то система несовместна (не имеет решений). При решении систем линейных алгебраических уравнений нет необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной матриц. Их определение производится автоматически при выполнении метода исключения Гаусса.

10 Исследование систем линейных уравнений

11 система совместна — число неизвестных система неопределенна — число свободных переменных Пусть Восстановим систему:

12 Исследование систем линейных уравнений система несовместна

13 Однородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю. Однородная система всегда имеет решение: Это решение называется тривиальным. Оно является единственным решением системы в случае, когда Если, то система имеет бесконечное множество решений.

14 Однородные системы линейных уравнений Пусть: Тогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных переменных. Общее решение системы запишется в виде: Базисные переменные, зависящие от свободных переменных Значения свободных переменных

15 Однородные системы линейных уравнений Выберем n — r частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из значений свободных переменных равным 1, а остальные равными 0 : Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы (ФСР).

16 Однородные системы линейных уравнений Найти фундаментальную систему решений: — число свободных переменных

17 Однородные системы линейных уравнений Обозначим: (в качестве свободных переменных обычно берут те, которые имеют 0 на главной диагонали) Общее решение Фундаментальная система решений

Однородные системы линейных уравнений

Однородные системы линейных уравнений. Опр. 1. СЛАУ называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна. Теорема. Однородная система имеет ненулевые (нетривиальные) решения тогда и только тогда, когда .

Слайд 5 из презентации «Метод Гаусса»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Метод Гаусса.ppt» можно в zip-архиве размером 181 КБ.

Похожие презентации

«Система линейных уравнений» — Решить систему: Ответ: (1;3). Решить задачу № 12.25. Определение линейного уравнения с двумя переменными. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков. х + у = 36 х – у = 3. С помощью какой из систем, можно решить следующую задачу. Решить систему методом подстановки. Решение системы 1 варианта. Ключ к тесту. Задачи урока:

«Примеры линейных алгоритмов» — Алгоритмический язык. Клавиатура. Команда N End. Найти площадь поверхности куба со стороной a. Начало. Пример. На языке Паскаль. ПАМЯТЬ Ячейка a Ячейка S. Блок-схема (графическое представление). Линейный алгоритм. Алгоритм, в котором команды выполняются последовательно одна за другой, называется линейным.

«Однородные члены» — Знаки препинания при однородных членах. Однородные члены предложения. Перед неповторяющимися союзами: От мороза побелели деревья и кусты. Средства связи однородных членов. Виды отношений между однородными членами. В танце собрано многое вольнолюбие жизнерадостность магия. Знаки препинания при однородных членах с обобщающим словом:

«Линейная перспектива» — Иван Шишкин «Рожь». 1878 г. Профессор пейзажной живописи. Альфред Сислей «Улица Севр в Лувесьенне». 1873 г. В своих работах художник умело передает законы линейной и воздушной перспективы. Воздушная перспектива изучает правила изображения объектов в цвете. Наука, помогающая правильно изображать предметы в пространстве называется перспектива.

«Однородные определения» — Соединены между собой сочинительной связью. (Можно поставить союз и). Однородные определения черными, светлыми глазами, приличной и благовоспитанной барышни, Проверка домашней работы (расставить знаки препинания). Определения- эпитеты (художественные, эмоциональные определения). И.С. Тургенев. Произведите морфологический разбор слов певуч и русский.

«Однородные члены в предложении» — С, детство, не, охота, любить,мы, рыбалка. Объяснительный диктант. Схематический диктант. Синтаксический разбор предложения. Повторение. Лингвистическая разминка. Море глухо шумело… Солнце зашло… Назовите группы сочинительных союзов. Словарно-лексическая работа. Составь предложения. Не только но и . и и и .

Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Основные понятия и определения системы линейных алгебраических уравнений» — урок 10-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Основные понятия и определения системы линейных алгебраических уравнений. ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 8 УРОК ДЕСЯТЫЙ

Система линейных уравнений а11×1 + а12×2 + . + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Числа а11 , а12 , . , а mn — это коэффициенты системы Числа b1, b2 ,…, bm – свободные члены системы Переменные х1, х2 ,…, хm — неизвестные, значения которых надо найти 1

однородной Система линейных уравнений если все свободные члены равны нулю т.е. b1 = b2 = … = bm = 0 неоднородной если хоть один из свободных членов не равен нулю

несовместной Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать их отсутствие Система уравнений имеет решение? НЕТ совместной ДА Если решение одно, то система называется Совместной определённой Если решений бесконечно много, то система называется Совместимой неопределённой ОДНО МНОГО

Система записи систем линейных уравнений Матричный вид АХ = В А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. 1 А = а11 а12 . a1n a21 a22 … a2n . am1 am2 … amn X = X1 X2 …. Xn B = b1 b2 …. bm

Система записи систем линейных уравнений Расширенная матрица Расширенная матрица системы — А|В: к основной матрице системы добавляется столбец свободных членов A/B = а11 а12 . a1n / b1 a21 a22 … a2n / b2 . / . am1 am2 … amn / bm А – основная матрица системы, В – матрица-столбец свободных членов.

Рассмотрим пример 1 Задана система уравнений. Сделать анализ. Х1 + Х2 = 3 Х1 – Х2 = 1 Анализ. Задание. Это неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Система совместная, имеет единственное решение Х1 = 2, Х2 = 1 Геометрически это означает, что две прямые пересекаются в одной точке, координаты которой (2;1). ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3

Х1 + Х2 = 3 Х1 – Х2 = 1 Х1 Х2 0 2 1 Графически это выглядит так: Х1 + Х2 = 3 Х1 – Х2 = 1

Рассмотрим пример 2 Х1 + Х2 = 3 2Х1 + 2Х2 = 6 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. Это так же неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Она совместная, имеет бесконечное множество решений: (2;1), (4;-1), (0;3), и т.п. Геометрически это означает, что две прямые совпадают друг с другом, и решением системы являются координаты точек, принадлежащие этой прямой ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3

Х1 + Х2 = 3 2Х1 + 2Х2 = 6 Х1 Х2 0 2 1 Графически это выглядит так: Х1 + Х2 = 3 2Х1 + 2Х2 = 6 1 2 (2;1) (1;2) 4 -1 (4;-1) (0;3) 3 3 (3;0)

Это неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Она несовместная, т.е. нет ни одной пары (Х1;Х2), которая при подстановке в каждое уравнение системы обращала бы их одновременно в верные числовые равенства. Геометрически это означает, что прямые параллельны. Х1 + Х2 = 3 Х1 + Х2 = 7 Рассмотрим пример 3 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. ШАГ 1 ШАГ 2 ШАГ 3

Х1 + Х2 = 3 Х1 + Х2 = 7 Х1 Х2 0 1 1 Графически это выглядит так: Х1 + Х2 = 3 Х1 + Х2 = 7 (4;3) (5;2) 2 3 4 5 6 7 2 3 4 -1 -2 (0;3) (3;0)

Х1 + Х2 = 25 Х1 — Х2 = 0 2 2 Это нелинейная система двух уравнений с двумя переменными. Ее можно решить, например, методом подстановки, дать геометрическую интерпретацию. Но такими системами этот раздел не занимается. Рассмотрим пример 4 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. х2 х1 2 4 -2 -2 2 4 -4 -4 (2;2) (-2;-2) 0 (-5;0) (5;0) (0;5) (0;-5)

Рассмотрим пример 5 Х1 + 2Х2 = 0 3Х1 + 5Х2 = 0 Это однородная система двух линейных уравнений с двумя переменными. Она совместная, имеет единственное решение (0;0) Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. х2 х1 2 2 -2 -2 -4 4 4 -4 6 0 Х1 + 2Х2 =0 (-2;4) (2;-4) (10/3;-2) (-10/3;2) 3Х1 + 5Х2 =0

Рассмотрим пример 6 2Х1 + 3Х2 = 0 6Х1 + 9Х2 = 0 Это однородная система двух линейных уравнений с двумя переменными. Она совместная, имеет бесконечное множество решений, например, (0;0), (-3;2), (3;-2), и т.д. Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ. х2 х1 -1 -2 -3 1 2 3 1 2 -1 -2 (-3;2) (0;0) (3;-2)

3x + 4y + 7z = 0 x — 5y + 6z = 1 8x + y – z = 10 Это неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Но здесь не так легко, как в предыдущих примерах, ответить на вопрос о ее совместности или несовместности. Разберитесь с ней позже, самостоятельно Рассмотрим пример 7 Задание. Задана система уравнений. Сделать анализ. Анализ.

Нас будут интересовать три факта Способ или метод отыскания имеющихся решений. Совместна система линейных уравнений или нет? Если система совместна, то сколько решений она имеет: единственное или бесконечное множество?

Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. — 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 049 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 27.01.2016
• 941
• 0

• 27.01.2016
• 347
• 0

• 27.01.2016
• 365
• 0

• 27.01.2016
• 477
• 2

• 27.01.2016
• 18592
• 53

• 27.01.2016
• 829
• 0

• 27.01.2016
• 1878
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.01.2016 1349
• PPTX 425 кбайт
• 26 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Осипова Людмила Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 8
• Всего просмотров: 77106
• Всего материалов: 26

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.