Однородные уравнения 10 класс конспект урока

Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

• ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени ;
• сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
• научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
• развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
• стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.

II. Актуализация опорных знаний..

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

IV. Усвоение новых знаний

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
2. Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
3. Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361 в)

3-я и 4-я группа решают № 363 в)

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника

№ 361в)
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363в)
sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0
разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим
tg 2 x + tgx – 2 = 0
решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а 2 + а – 2 = 0
Д = 9
а₁ = 1 а₂ = –2
возвращаемся к замене

VI. Самостоятельная работа

1. 2 cosx – 2 = 0
2. tg2x +1 = 0
3. 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
4. 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

VII. Подведение итогов урока

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

VIII. Задание на дом

§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
2. Единица измерения углов? (Радиан)
3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
7. Как называется верное равенство? (Тождество)
8. Равенство с переменной? (Уравнение)
9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
10. Множество корней уравнения? (Решение)

Рейтинговая система оценки знаний

• Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
• Презентация – 1балл
• Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
• Решение уравнений 1 балл
• Самостоятельная работа – 4 балла

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

За высокую активность ставится дополнительная оценка.

Разработка урока на тему: «Однородные тригонометрические уравнения» 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Цели и задачи урока:

1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Оборудование урока: проектор, карточки, тетради, стенды по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций, б) основные формулы тригонометрии.

Содержание урока

I. Организационный момент.

Взаимное приветствие: проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, кто отсутствует).

II. Проверка домашнего задания.

1. Проверка домашнего задания у доски. Учащиеся решают у доски уравнения:

sin (2x — 2x — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif» /> = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» /> + 2πn, n2x = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» /> + 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif» /> + 2πn, n2x = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif» /> + 2πn, nx = — 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif» /> + πn, na) наименьший положительный корень: если n=1, x = [- 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif» />; 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif» />] n=0, х = — n=1, х = в) наименьший отрицательный корень n=0, х = — (-π;1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif» />) х = — cos 2 2x – 1 – cos x = cos 2 2x – 1 – cos x — – cos x — cos x = — x= ±arccos (1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image018.gif» /> 2πn, nx= ±1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image020.gif» /> 2πn, nЕсли |a|≤1,то арксинусом a называется такое число из отрезка [- 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif» />; Арктангенс a – это такое число из интервала (- 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif» />;Если |a|≤1, то уравнение sin x=a, имеет решения x= (-1)ⁿ arcsin a +πn, где nЕсли |a|≤1, то уравнение cos x=a, имеет решения x = ± arccos a +2πк, где кУравнение tgx=a имеет решения x=arctg a + πк, где к1) arcsin 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.gif» /> = 2) arcos 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.gif» /> = 3) arccos 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.gif» /> = 4) arcsin 1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image034.gif» /> =

Открытый урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Данный план — конспект открытого урока рассчитан на обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических уравнений» — 10 класс, по учебнику Колмогорова А.Н.

Разрабоктка урока по теме: «Решение тригонометрических уравнения»

Урок разаботан для 1 курса НПО-СПО по теме «Решение тригонометрических уравнения»конспект урока + презентация.

Урок по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе

Конспект урока по теме Решение тригонометрических уравнений в 10 классе.

Открытый урок по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Разработка открытого урока по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Урок-презентация .Цели урока: повторить формулы для решение простейших тригонометрических уравнений; закрепитьнавык решения тригонометрических уравнений различными методами; развивать умен.

Методическая разработка урока по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

Урок-соревнование проводится с помощью компьютерной поддержки. Применяются групповая, фронтальная и индивидуальная формы работы. Соревнование между 3 командами проходит в 4 этапа. Каждый обучающийся в.

План урока по теме «Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений».

Подбор разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 10 классов.

Конспект урока «Однородные тригонометрические уравнения» 10класс.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Учитель математики МБОУ СОШ № 49,г. Новокузнецка

Сухова Людмила Васильевна

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения» 10класс.

Тип урока: сознательное усвоение нового материала.

I .Организационный момент.

Учитель сообщает цели урока, проводит вводную беседу. ( В течение 5 уроков мы с вами решали тригонометрические уравнения, используя различные методы их решения). Выяснили, что правильно выбранный метод позволяет упростить решение. Сегодня мы познакомимся с еще одним видом тригонометрических уравнений, а пока перед вами стоит задача – показать свои знания и умения в решении тригонометрических уравнений.

II . Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

А) Какое уравнение мы называем тригонометрическим?

Б) Назовите алгоритм решения уравнения cost = а?

1. Проверить условие | a | ≤ 1

2. Отметить точку, а на оси абсцисс.

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью

5. Полученные точки – решение уравнения cost = a .

6. Записать общее решение уравнения:

t = arccosa +2 , k .

7. Какие особые случаи решения уравнения вы знаете?

а ) cost=1, t= 2 , б ) cost= -1, t= + 2 cost = 0, t =

8. Если, а отрицательное число, как записать решение этого уравнения?

t = ( — arccosa ) +2 , k .

В. Назовите алгоритм решения уравнения sin t = а?

1. Проверить условие | a | ≤ 1

2. Отметить точку, а на оси ординат.

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью

5. Полученные точки – решение уравнения . sin t = a .

6. Записать общее решение уравнения.

t ₁ = arcsina +2 , k .

t ₂ = — arcsina +2 ,объединяя эти решения имеем:

t = (-1) k arcsina + ,

7. Какие особые случаи решения уравнения вы знаете?

а ) sint=1 t= б ) sint = -1, t= — в ) sint=0 t= n

8. Если а отрицательное число, как записать решение этого уравнения?

t = (-1) k +1 arcsina + , k .

а) sin x =; б)2 sin x =2; в) sin 2 x =0; г)3 cosx = -3; д) tgx =1; е) cosx = 2,5.

Вычислить : arccos; : arcos(-); : arccos; : arccos1 ; arcsin;

arcsin (- ); arctg 1; arctg (-).

Имеют ли смысл выражения:

а ) arccos 5; arccos ; arctg3; arcsin(-2); arc с tg(-7).?

IV . Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Расскажите способ решения уравнения:

а). 2 sin 2 x +5 sin x -3 =0 (Замена на sin x =а, где IaI 1)

б). 3 tgx +5 ctgx -8=0 ( ctgx заменяем на tgx и сводим к квадратному)

в). 2 sin 2 x +5 cosx +1=0 ( sin 2 x заменяем через 1- cos 2 x , и сводим к квадратному)

г).( tgx —)( cosx -1)=0 (разложением на множители)

д ). cos 2 x os 2 x -3 cosx =0. (разложением на множители).

е). 5 sin x + 2 cosx =0

Какое уравнение вызывает трудность?(е)

Сегодня мы познакомимся с еще одним видом тригонометрических уравнений, которые получили специальное название.

V . Этап усвоения новых знаний:

Открыли тетради, записали число и тему урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Уравнение: 5 sin x + 2 cosx =0 получило специальное название.

Рассмотрим решение данного уравнения.

Разделим почленно обе части уравнения на cosx 0, имеем

5tgx +2 =0; tgx = 0,4; х = -arctg0,4 + k, kz

VI . Закрепление нового материала :

Рассмотреть у доски решение уравнений:

а ) sin x + cosx =0 б ) sin2 x — cos2x =0

VII . Этап проверки понимания учащимися нового материала:

Как вы думаете, будет ли однородным уравнение :

sin 2 x + cos 2 x =0

sin 2 x — 3 sin x cosx +2 cos 2 x =0( да будет, т.к. каждый член этого уравнения имеет вторую степень) Как будем решать данное уравнение?( Делением на cos 2 x 0)

sin 2 x — 3sin x cosx +2cos 2 x =0

tg 2 x — 3 tgx +2 =0 , а₁ =2 и а₂ =1, tgx =2; х = arctg 2 + z

tgx =1, х = arctg 1 + z ; x =,.

Решить у доски еще одно уравнение: 3 sin 2 2 x + sin 2 x cos 2 x – 2 cos 2 2 x =0

3 tg 2 2 x + tg 2 x -2 =0 , а₁ = и а₂ =-1, tg 2 x =; 2х = arctg + z ,

х = arctg + , tgx =-1, x =- , .

VIII . Этап всесторонней проверки знаний:

Самостоятельная работа в форме тестированного контроля.

Дифференцированные задания по двум вариантам. ( учащимся предлагается выбрать правильный ответ). Подведение итогов на экране.

x = — +

x = — arctg 3 +k

k

x = +

x = arctg 3 +k

k

x = +

x = — arctg 3 +k

k

— вариант

1). sin x — 4 cosx =0

x = arctg+k

k

x = arctg 4 +k

k

2).sin 2 x-4sin x cosx +3cos 2 x =0

x = +

x = arctg 3 +k

k

x = — +

x = arctg 3 +k

k

x = +

x = — arctg 3 +k

k

Разобрать решение уравнения:

5 sin 2 x -14 sin x cosx – 3 cos 2 x =2 (представим 2( sin 2 x + cos 2 x ) в виде суммы квадрата тригонометрических функций)

5sin 2 x -14 sin x cosx – 3cos 2 x =2

5sin 2 x -14 sin x cosx – 3cos 2 x =2 (sin 2 x + cos 2 x)

3sin 2 x — 14sin x cosx -5cos 2 x =0/ cos 2 x

3 tg 2 x — 14 tgx -5 =0; а₁ =5 и а₂ =-, tgx =5; х = arctg 5 + z

tgx =-, х = — arctg + z ;

Ответы к самостоятельной работе:

IX . Подведение итогов, выставление оценок.

1. C каким видом уравнения мы познакомились на этом уроке?

2. Какие уравнения мы называем однородными?

3.Расскажите, как решаются однородные уравнения?

4. Как вы думаете, почему мы так много решаем тригонометрических уравнений?