Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cosx, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Если \(\cosx=0\), то \(\sinx=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).
Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cosx\)
Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cosx\), была сделана проверка — является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .
Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми. Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).
Получился классический вид однородного уравнения. Поделим уравнение на \(4^\) . Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.
Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.
Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется. .
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Делаем замену y → ty , x → tx .
Делим на t 2 .
. Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение: (i) Делаем подстановку: y = ux , где u — функция от x . Дифференцируем по x : y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u Подставляем в исходное уравнение (i). , , (ii) . Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .
При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 . Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ . , , . Сокращаем на t .
Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x . y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u Подставляем в исходное уравнение. , , , . При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 . , Умножаем на ± dx и делим на .
При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные, .
Применим формулу: ( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 . Положим a = u , . . Возьмем обе части по модулю и логарифмируем, . Отсюда .
Таким образом имеем: , . Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .
Умножаем на x и подставляем ux = y . , . Возводим в квадрат. , , .
Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 . Корни этого уравнения . Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015
Однородные уравнения
Однородные уравнения
Алгебраический многочленf(x,y) с двумя переменными x и у называется однородным многочленомn -йстепени относительно этих переменных , если при любом имеет место тождество
Это означает, что однородный многочлен n-й степени f (х, у) можно представить в виде
где — коэффициенты многочлена, одновременно не обращающиеся в нуль.
Уравнениеf(x,y) = 0называется однородным алгебраическим уравнением n -й степени с двумя неизвестнымиx,у, если f(x,y) — однородный многочлен n-йстепени относительно этих переменных.
Например, уравнение вида является однородным уравнением 2-й степени относительно неизвестных x и у . Действительно, достаточно проверить выполнение условия (1). При одновременной замене , получим
т.е. условие (1) из определения выполняется (n = 2).
Аналогично, уравнение есть однородное уравнение 2-й степени по отношению к неизвестным x,y,z , поскольку при замене получаем
Итак, однородное алгебраическое уравнение — это уравнение, не меняющее своего вида при одновременном умножении всех его неизвестных на одно и то же число, отличное от нуля. Можно распространить понятие однородности на случай неалгебраических уравнений.
Пусть р(х) и q(x) — две произвольные функции, определённые на одном и том же множестве, .
Однородным уравнением n -й степени относительно функций р(х), q(x) называется уравнение вида
В частности, если функции р(х) и q(x) являются целыми алгебраическими многочленами, то и уравнение (2) будет относиться к аналогичному классу. В качестве другого примера рассмотрим уравнение вида
Оно является однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени относительно функций
Перейдём к процедуре решения уравнения (2).
Если хотя бы один из коэффициентов или обращается в нуль, то левая часть уравнения легко раскладывается на множители. В результате уравнение оказывается равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений. Например, если , то получим совокупность
Если же и , то для решения однородного уравнения (2) необходимо рассмотреть два возможных случая.
1) Если то, поделив обе части уравнения на и обозначив после этого отношение p(x)/q(x) через t , получим алгебраическое уравнение n -йстепени относительно t:
решив которое и сделав обратную подстановку, найдём часть решений однородного уравнения.
2) Если q(х) = 0. то, подставив в уравнение вместо q(x) нуль, получим, что тогда и р(х) должно обращаться в нуль. Таким образом, этот случай сводится к решению системы уравнений
Осталось объединить все найденные решения. Уравнение (2) решено. Обратимся к примерам.
Пример №185.
Решить уравнение
Решение:
Перепишем уравнение: Видно, что это однородное уравнение 2-й степени относительно функций и1) Пусть х + 1 = 0 , но система решений не имеет.
2) Пусть теперь . Поделив на и обозначив , придём к квадратному уравнению . Оно имеет два корня , . Возвращаясь к переменной x , приходим к совокупности двух уравнений
Пример №186.
Решить в целых числах уравнение
Решение:
Заметим, что если у = 0, то x = 0, и, значит, пара (0;0) удовлетворяет уравнению. Пусть , тогда поделим обе части уравнения на :
Обозначимt = x/у, тогда имеем кубическое уравнение Подбором находим корень t = — 1. Делением многочлена получаем: Убеждаемся в том, что данное кубическое уравнение имеет единственный корень t = — 1, что соответствует у = — x. Положим x = р, где р — произвольное целое число, не равное 0. Тогда у = — р , и имеем бесконечно много решений в виде пар чисел (р;- р), , . Объединяя все полученные решения, приходим к ответу.
Ответ: где .
Пример №187.
Для каждого действительного значения параметра а решить уравнение
Решение:
Заметим, что данное уравнение можно рассмотреть как однородное алгебраическое уравнение 4-й степени относительно xи а.
1) Если а = 0, то х = 0 .
2) Если , то поделим на , и положим :
Первый сомножитель в нуль не обращается, а второй имеет два корня
Ответ: при а = 0 единственное решение x = 0 ;
при два решения
Пример №188.
Найти действительные корни уравнения
Решение:
Данное уравнение в исходном виде не является однородным, но может быть сведено преобразованиями к однородному. Действительно, достаточно привести его к виду
Получили однородное уравнение 2-й степени относительно x + 1 и у — 1.
1) Если , то, поделив на и обозначив , получим нет решений.
2) Если у = 1, то, подставляя в уравнение, находим x = — 1 .
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.