Огэ по математике 2021 решение уравнений

Задания № 20 для подготовки к ОГЭ по математике 2021-2022

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Задание №21
(2 часть)
Уравнения, неравенства и их системы

Преобразование выражений
Сократите дробь 5 𝑛−1 + 5 𝑛+2 6∙ 5 𝑛
5 𝑛−1 + 5 𝑛+2 6∙ 5 𝑛 =
5 𝑛 ∙ 5 −1 + 5 𝑛 ∙ 5 2 6∙ 5 𝑛 =
5 𝑛 ∙( 5 −1 + 5 2 ) 6∙ 5 𝑛 =
= 1 5 +25 6 =
25,2 6 =
4,2
Ответ. 4,2

Преобразование выражений
Сократите дробь 2 6𝑛+8 ∙ 7 3𝑛+6 28 3𝑛+5
2 6𝑛+8 ∙ 7 3𝑛+6 28 3𝑛+5 =
2 6𝑛+8 ∙ 7 3𝑛+6 2 2 ∙7 3𝑛+5 =
2 6𝑛+8 ∙ 7 3𝑛+6 2 2 3𝑛+5 ∙ 7 3𝑛+5 =
= 2 6𝑛+8 ∙ 7 3𝑛+6 2 6𝑛+10 ∙ 7 3𝑛+5 =
2 6𝑛+8− 6𝑛+10 × 7 3𝑛+6− 3𝑛+5 =
=2 −2 × 7 1 =
7 4 =1,75
Ответ. 1,75

Преобразование выражений
1) Сократите дробь 45 𝑛+4 3 2𝑛+7 ∙ 5 𝑛+3
2) Сократите дробь 36 𝑛+2 9 𝑛+1 ∙ 2 2𝑛−3
3) Сократите дробь 2𝑦 4 ∙ 𝑦 −12 𝑦 −10 ∙ 5𝑦 2
Ответ. 15
Ответ. 1152
Ответ. 3,2

Уравнения
Решите уравнение 𝑥−4 2 𝑥+10 =15 𝑥−4
𝑥−4 2 𝑥+10 −15 𝑥−4 =0
𝑥−4 ( 𝑥−4 𝑥+10 −15)=0
𝑥−4 ( 𝑥 2 −4𝑥+10𝑥−40−15)=0
𝑥−4 ( 𝑥 2 +6𝑥−55)=0
Ответ. −11;4;5.

Уравнения
Решите уравнение 1 𝑥−1 2 + 4 𝑥−1 −12=0
1 𝑥−1 2 + 4 𝑥−1 −12=0
Ответ. 5 6 , 1,5.
1 𝑥−1 2 +4∙ 1 𝑥−1 −12=0
Пусть 𝑡= 1 𝑥−1 ,
ОДЗ:𝑥−1≠0
𝑥≠1
𝑡 2 +4∙𝑡−12=0
𝑡 1 =−6, 𝑡 2 =2
𝑥 1 = 5 6 , 𝑥 2 =1,5

Уравнения
Решите уравнение 𝑥 2 + 3−2𝑥 =3𝑥+ 3−2𝑥 +10
ОДЗ:3−2𝑥≥0
𝑥 2 + 3−2𝑥 −3𝑥− 3−2𝑥 −10=0
𝑥 2 −3𝑥−10=0
𝑥 1 =−2
𝑥 2 =5
Ответ. −2.

Уравнения
1) Решите уравнение 𝑥+8 2 𝑥−4 =28 𝑥+8
2) Решите уравнение 𝑥−5 2 𝑥+7 =13 𝑥−5
3) Решите уравнение 𝑥 2 + 2𝑥−7 =7𝑥+ 2𝑥−7 −12
4) Решите уравнение 𝑥 2 +15− 12−3𝑥 =8𝑥− 12−3𝑥
Ответ. -10;-8; 6
Ответ. −8;5;6
Ответ. 4
Ответ. 3

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 558 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

Глава 2. Уравнения и неравенства с одной переменной

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.10.2021
• 64
• 0

• 27.10.2021
• 70
• 0

• 27.10.2021
• 48
• 1

• 27.10.2021
• 74
• 0

• 27.10.2021
• 174
• 5

• 27.10.2021
• 27
• 0

• 27.10.2021
• 33
• 6

• 26.10.2021
• 138
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.10.2021 956
• PPTX 662.6 кбайт
• 60 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Малявина Алена Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 11 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 18589
• Всего материалов: 22

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Вторая часть ОГЭ по математике: как научиться решать все задания

ОГЭ по математике сложнее, чем базовый уровень ЕГЭ по этому же предмету, поэтому после сдачи экзамена девятиклассникам и море по колено. Сложность в разы повышается из-за того, какую особенность имеет, в отличие от базы, ОГЭ по математике — вторая часть. Но если научиться ее решать, получить «отлично» за экзамен будет проще простого!

Что из себя представляет вторая часть ОГЭ по математике

В ОГЭ по математике вторая часть включает шесть заданий повышенной сложности (по три на алгебру и геометрию). Для их решения требуются несколько основных навыков:

• умение решать уравнения, неравенства, их системы,
• умение преобразовывать выражения,
• умение строить и читать графики, а также простые математические модели,
• умение работать с фигурами, векторами, координатами,
• умение доказывать приведенное положение,
• умение оценивать суждения на правильность или ошибочность.

Наиболее сложными заданиями являются №22 (алгебра, функции и их свойства) и №25 (геометрия, задача). Для отметки «отлично» достаточно решить правильно все остальное и один из этих номеров.

Критерии оценивания

Максимальный балл — это 12 из 31 балла (по два за каждый номер).

Максимальный балл ставится за полное решение, без ошибок и с верными ответами.

Один балл ставится при наличии описки или вычислительной ошибки, с учетом которой ход решения остается верным. В таком случае, ответы могут не совпадать с ключами.

Если же задание выполнено неверно полностью, то ставится ноль баллов.

Задания из второй части

В ОГЭ по математике вторая часть включает три алгебраических номера и три геометрических задачи. При этом, задания № 20-21 (алгебра), № 23-24 (геометрия) одного уровня сложности, а № 22 (алгебра), №24 (геометрия) — труднее.

Как решать вторую часть ОГЭ по математике в 2021

В ОГЭ по математике вторая часть содержит шесть номеров, первый из которых (№20) проверяет умение работать с уравнениями, неравенствами, их системами, а также производить вычисления и преобразования. Оно представлено в качестве примера, который необходимо решить. Стоит следить за наличием минуса (и его сокращением), а также помнить правила преобразования выражений, действий с дробями. Не стоит полагаться исключительно на умение считать в уме: лучше считать на бумаге и после производить проверку (подставляя значение на место неизвестной в уравнениях и производя смежные действия (сложение-вычитание, деление-умножение) в простых примерах). Также нужно помнить простейшие алгоритмы решения примеров: сначала действия в скобках, а потом остальные; первыми идут умножение и деление, потом сложение и вычитание. Так, в дробях ни в коем случае нельзя забывать про знаменатель, а сокращаться из числителя и знаменателя могут только множители (простые числа и выражения в скобках).

При решении неравенств не стоит забывать о нахождении ОДЗ и знаках промежутков. При переносе на другую сторону знак меняется на противоположный: минус на плюс. При умножении на отрицательное число знак также меняется: минус на плюс, плюс на минус; больше на меньше, меньше на больше.

На ОГЭ по математике вторая часть может удивить системой. В таком случае можно сложить уравнения системы (первый член с первым, второй со вторым, третий с третьим, ответ с ответом), вывести одну из неизвестных из исходного уравнения и поставить в получившееся в результате сложения для решения.

Задание №22, которое включает в себя на ОГЭ по математике вторая часть, проверяет умение решать текстовые задачи. Их пять видов:

1. Движение по воде — важно понять, как движется лодка (по течению или против него); если по течению, то скорость движения — это скорость лодки и скорость течения; если против, то скорость лодки минус скорость течения. Плот собственную скорость не имеет.
2. Проценты и сплавы — важно понять, что процент повышения или понижения стоимости или концентрации вычисляется от старой, а не новой цены или концентрации, поэтому принимать новую за 100% и исходить из нее ошибочно. Новая цена — это 100% ± процент повышения (+) или понижения (-).
3. Совместная работа — нужно сразу узнать, какое количество работы выполняется в час одним из действующих лиц, а совместная работа станет суммой их работы за час, умноженной на время.
4. Движение по прямой — важно нарисовать себе рисунок, чтобы представлять, что и как движется. Формула, которая поможет решить любую задачу: путь — это скорость на время.
5. Другие задачи — встречаются редко и интуитивно понятны.

В ОГЭ по математике вторая часть алгебры заканчивается номером на построение графика функции и определения какой-либо из ее характеристик. В этом задании важнее всего построить график, так как за его правильное построение можно получить балл, даже не ответив на вопрос, а при ошибке в построении автоматически ставится ноль. Наиболее распространенные графики — параболы (степени), гиперболы (х в знаменателе дроби), непрерывные функции (тригонометрические).

Геометрия начинается с решения задачи №23 на вычисление и №24 на доказательство. Чаще всего они связаны с теоремами о треугольнике: прямые углы, биссектрисы, медианы, высоты и пр. Реже встречаются просто углы, окружности, четырехугольники. для решения этого задания необходимо уметь ориентироваться в теоремах и аксиомах, знать основные свойства фигур и углов.

Для заключительного задания ОГЭ по математике вторая часть приготовила целый набор фигур. Чаще всего, это окружность, вписанная в фигуру или описанная вокруг нее. Особенность этой задачи в том, что для ее решения недостаточно будет одной или двух теорем: она потребует целую цепь выводов, сделанных на основе более сложных аксиом и свойств. В ее решении поможет практика.

Таким образом, ОГЭ по математике — это непростой экзамен, требующий особой подготовки. Для получения отметки «отлично» потребуется приложить массу усилий и усвоить огромное количество заданий, и хорошо иметь наставника на этом нелегком пути. Он сможет рассказать об алгоритмах решения задач и показать принципы их работы на практике. А это — залог «пятерки».

ОГЭ 2021 по математике: разбор реального варианта

Разбираем реальный вариант ОГЭ по математике 2021 года.

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж – 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина – 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Выполним вычитание десятичных дробей, где 9,4 больше по модулю, значит, ответ будет отрицательным. Итак, – (9,4 – 4,9)= – 4,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сначала выразим обыкновенную дробь десятичной, разделив 107 на 13, получаем приближенное число 8,23…. Теперь работаем с числовым лучом, на котором видно, что наше число 8,23.. будет располагаться между числами 8 и 9, но ближе к 8, так как оно меньше 8,5; следовательно, это точка А.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

( 3 ∙ 8 ) 7 3 7 ∙ 8 5 . .

В числителе дроби возведем в степень каждый множитель:

( 3 ∙ 8 ) 7 3 7 ∙ 8 5 . . = 3 7 ∙ 8 7 3 7 ∙ 8 5 .

Сократимость — способность мышечных волокон укорачиваться или изменять степень напряжения при возбуждении.

( 3 ∙ 8 ) 7 3 7 ∙ 8 5 . . = 3 7 ∙ 8 7 3 7 ∙ 8 5 . . = 8 2 = 64

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Имеем линейное уравнение:

Следовательно, начинаем решение с переноса слагаемых (с переменной влево, без переменной – вправо): 3х + 7х= – 5 – 2, не забывая изменять знак у слагаемых, которые переносим. Теперь приводим подобные в каждой части, получаем 10х= –7.

Находим неизвестный множитель делением произведения –7 на известный множитель 10, получаем –0,7.

Запись решения выглядит так:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Это задача на простую вероятность, где надо знать число благоприятных исходов и разделить его на общее количество. Так как нам надо найти вероятность, что фонарик будет исправным, то 100 – 9=91 – это количество исправных фонариков (по условию их всего 100 и из них 9 неисправных). Для нахождения вероятности надо разделить число благоприятных исходов (в нашем случае – это 91) на общее количество фонариков – на 100. Итак, 91:100=0,91. Значит, вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен, равна 0,91.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

А) a>0, с >0 Б) а 0 В) а>0, с

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a 0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с 0, с >0 – это график №1

Б) а 0 – это график №3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Вынесем -х за скобки: -х(-8 + х) ≥ 0

Теперь разделим на -1, не забывая изменить знак неравенства на противоположный: х(х – 8) ≤ 0

Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю: х=0 и х – 8=0, найдем х из второго уравнения: х=8.

Итак, имеем нули функции 0 и 8.

Теперь расставляем их на числовом луче и решаем неравенство методом интервалов.

Теперь находим промежуток чисел, соответствующий неравенству х(х – 8) ≤ 0, т.е. промежуток отрицательных или равных нулю чисел. Это будет промежуток [0; 8]

В соответствии с его номером, это будет ответ под №3.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Значит, наш ответ -54 0 С

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. a_n=a₁+d(n – 1). В данном случае a₁₌-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a₇=-6₁-8(7 – 1). Вычислим: a₆=-6-8 ∙ 5=-6-48=-54.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Обращаем внимание на то, что вопрос содержит слово КАКИЕ, что означает нахождение нескольких верных ответов. Итак, первое утверждение является верным, потому что есть теорема о сумме углов треугольника, равной 180 градусов, это не зависит от вида треугольника. Второе утверждение является не верным, так как по определению, только у равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Теперь становится понятным, что третье утверждение тоже должно быть верным. Но в доказательство тому мы имеем правила, которые нам говорят о том, что центры окружностей совпадают.

Итак, наши верные утверждения под номерами 1 и 3.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Нам дано уравнение третьей степени: х 3 + 6х 2 =4х + 24

В данном уравнении перенесем все слагаемые в одну сторону ( в левую), изменяя при этом знаки: х 3 + 6х 2 – 4х – 24=0

Теперь сгруппируем слагаемые: (х 3 + 6х 2 ) – (4х + 24)=0

Вынесем общий множитель за скобки из каждой группы: х 2 (х + 6) – 4(х + 6)=0

Вынесем за скобки выражение (х + 6): (х + 6)(х 2 – 4)=0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:

х + 6=0 и х 2 – 4=0

х=6 х 2 =4, отсюда х_1,2= ± 2

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Составим для удобства решения таблицу, в которую внесем данные из условия задачи, обозначив переменной х неизвестную величину – скорость 1 автомобиля:

Пояснения к заполнению таблицы:

Так как мы обозначили за х скорость 1 авто, значит скорость 2 авто будет на 36 км/ч меньше.

Расстояние у каждого авто будет 800 км.

Для нахождения времени надо расстояние разделить на скорость, поэтому мы получили дроби с переменной в знаменателе.

Зная, что первый прибывает к финишу на 5 ч раньше второго, составим и решим уравнение:

800 х − 36 . . − 800 х . . = 5

Приведем к общему знаменателю х(х-36) наше уравнение и решим его:

800х – 800х+28800=5х 2 – 180

5х 2 – 180 – 28800 =0; разделим на 5 каждый коэффициент:

Решим полученное квадратное уравнение

D=b 2 – 4ac=36 2 – 4 ∙ ( − 5760 ) =24336

х_1,2= − b ± √ D 2 a . . = 36 ± 156 2 . .

Отсюда х₁=96, а х₂ не удовлетворяет условию задачи, так как оно отрицательное, а скорость не может быть выражена отрицательным числом.

Значит, скорость первого автомобиля 36 км/ч

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

у=х 2 — |2x +1|

Определите, при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для построения графика найдем вершины каждой параболы:

х₀₌ − b 2 a . . = 2 2 . . = 1

Итак, вершина первой параболы (1; -2)

Возьмем дополнительные точки, где х ≥ − 1 2 . .

Аналогично найдем вершину второй параболы: х₀=-1, у₀₌0

Вершина второй параболы (-1;0)

Дополнительные точки при х − 0 . 5

Изобразим параболы в системе координат:

Теперь нам нужно ответить на вопрос задания: «Определите, при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно три общие точки?»

Для этого построим такие прямые (одна желтая, вторая зеленая), откуда видно, что первая прямая совпадает с осью х, т.е. у=0; вторая имеет с графиком три общие точки при у=0,25.

Ответ: при m равных 0; 0,25

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить