Олимпиадные задачи на логарифмические уравнения

Решение логарифмических уравнений
олимпиадные задания (алгебра, 10 класс) по теме

Обобщение знаний по теме: «Логарифмы». Определение логарифма числа. Основное логарифмическое тождество. Основные свойства логарифмов. решение логарифмических уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План – конспект урока по теме: Решение логарифмических уравнений.

1. Отработка умений систематизировать, обобщать знания по теме
2. Развитие зрительной памяти, математически грамотной речи
3. Сознательное восприятия учебного материала
4. Воспитания чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: интерактивная доска.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания № учебник под редакцией

Проверка осуществляется с помощью интерактивной доски. Учащиеся сверяют свои решения, при необходимости вносят коррективы в решение.

1. Устные упражнения

1. Проверьте справедливость равенства:

log = — 4; log16 = 2; log0,04 = -2; lg 0,01 = -2

Ответьте на вопросы: а) дайте определение логарифмической функции и перечислите её основные свойства;

б) дайте определение логарифма числа;

в) запишите основное логарифмическое тождество

г) перечислите основные свойства логарифмов.

а) logх = -1; б) logх = 2 в) logх = -3; г) logх = -2

1. Самостоятельная работа с последующей проверкой на интерактивной доске

1. Значение log равно :

2. Убывающей является функция:

1) у = logх; 2) у = logх; 3) у = logх; 4) у= logх

3. Областью определения функции у = log(8-3х) является :

1) луч (-; ); 2) луч (-; 2); 3) вся числовая прямая;

4. Число log2 + log18 равно :

1) 6; 2) 2; 3) -2; 4) 3.

5. Число log15 — log5 равно

6. Решением уравнения log(х+5) = 3 является число:

1)-3; 2) 13; 3) 3; 4) -2.

1. Значение log81 равно:

2. Возрастающей является функция:

1) у = logх; 2) у = logх; 3) у = logх; 4) у = logх.

3. Областью определения функции у = log(5-2х) является:

1) луч (-; 2,5); 2) луч (2,5; +); 3) луч (-; +); 4) луч (-; 2,5]

4. Число lg 25 + lg4 равно:

1) 9; 2) 6; 3) 2; 4) -2.

5. Число log24 — log6 равно:

6. Решением уравнения log(х-2) = 2 является число :

1) 25; 2) 27; 3) 23; 4) 4.

1. Задание классу: Решить логарифмическое уравнение:

log(х-1) + log(х-1) + log(х -1) = 7.

Учитель: Приведем все логарифмы к основанию 2, получим уравнение, решить которое будет несложно.

Ученик решает у доски:

log(х-1) + log(х-1) + log(х -1) = 7

log(х-1) + log(х-1) + log(х-1) = 7;

VI. Задание классу: Решить уравнение:

Указание классу: воспользуйтесь формулой перехода к новому основанию, введя новую переменную вы получите дробно – рациональное уравнение, решить которое особого труда не представляет.

Ответ: 4; . (проверить решение на доске).

VII. Решите уравнение 2 logх = log(2х 2 –х)

Указание для учащихся: воспользуйтесь операцией потенцирования логарифмического уравнения, но предварительно само уравнение следует преобразовать так, чтобы коэффициент 2, стоящий перед выражением logх, исчез. С этой целью мы можем применить тождество р logв = logв р , преобразовав 2 logх к logх 2 ,

Но при этом следует помнить, что подобная операция приводит к расширению множества решений, и , значит, необходимо поставить условие корректности такого преобразования: х>0.

Итак, у нас получилось, что уравнение 2 logх = log(2х 2 –х) равносильно системе:

VIIІ. Итог урока. Выставление оценок

Литература: Алгебра и начала математического анализа 10 класс: учебник. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко.-М.: Просвещение, 2009.

Дидактические материалы для 10 и 11 классов.

Изучение алгебры и начал математического анализа в 10-11 классах.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).