Олимпиадные задания на уравнения с модулями

Олимпиадные задания с решениями по математике (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Школьный этап олимпиады по математике

для учащихся 9 класса

1.Докажите, что значение выражения + есть число рациональное.

2.На пост мера города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова – в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя? (4балла)

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану? (5 баллов)

4.В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени? (щука может быть в некоторый момент сытой, но потом голодной). (6 баллов)

5.Пусть х и у – такие целые числа, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что
43х + 75у тоже делится на 19. (6 баллов)

1.Докажите, что значение выражения + есть число рациональное.

Решение : + = = — .

Решение : за Андреева было отдано х голосов; за Васильева было отдано 1,5х голосов; за Борисова было отдано 4 2,5х =10х голосов. Победитель – Борисов. Всего проголосовало х+1,5х +10х =12,5х человек. 12,5х – 100%; 10х – а% ; а =

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?
Ответ: 9:8, считая от основания.
Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольникаАВС равна 5 см. Кроме этого , и . Отсюда: . Отсюда . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что .
4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)
Ответ. 9 щук.
Решение. 10 сытых щук быть не может, так как каждая из них съест хотя бы по три щуки и еще последняя останется живой. То есть щук было хотя бы 31. Пример на 9 щук строится просто: первая съела три других, следующая съела ее и две других, и т. д.

5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.
Доказательство. Попробуем представить Отсюда:

Отсюда ,

1. Докажите, что , если .

Доказательство. Первое решение. Если , то условие имеет вид , что не верно. Следовательно, если и требуемое неравенство выполняется. Пусть . Рассмотрим квадратичную функцию . Поскольку , и, по условию, , то в точках +1 и -1 функция принимает значения разного знака и отлична от нуля. Это означает, что квадратичная функция имеет два корня, необходимым и достаточным условием которого является положительность дискриминанта, то есть , откуда и следует требуемое неравенство.

Второе решение . Из условия имеем

. Или . Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом , откуда .

2. В десятичной записи некоторого натурального числа переставили цифры и получили число в три раза меньшее. Доказать, что исходное число делится на 27.

Доказательство. Пусть a – исходное число, а число b получено из a после перестановки некоторых цифр. По условию , то есть число a делится на 3. Так как сумма цифр у чисел a и b одинакова, то, по признаку делимости на 3, число b тоже делится на 3. Далее, раз число b делится на 3, а число a = 3 b , то a делится на 9. Теперь согласно признаку делимости на 9, число b тоже делится на 9, а значит, число a делится на 27.

Примечание. Доказано, что число a делится на 9, – 3 балла.

3. В окружность радиуса 1 вписан правильный 2012-угольник. Найти сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого многоугольника.

Решение. Так как число вершин правильного 2012-угольника четно, то они разбиваются на 1006 пар диаметрально противоположных вершин. Пусть AB некоторый диаметр, а M – произвольная точка окружности. Если M совпадает с одной из вершин A или B , то . Если точка M отлична и от A и от B , то треугольник MAB прямоугольный (угол AMB – вписанный и опирается на диаметр) с гипотенузой AB = 2. Тогда, по теореме Пифагора, . Следовательно, независимо от выбора точки M , сумма квадратов расстояний от нее до вершин каждой пары диаметрально противоположных вершин постоянна и равна 4. Следовательно, сумма квадратов расстояний от точки M до вершин правильного 2012-угольника будет равна .

Примечание. Если не рассмотрен случай совпадения точки с вершиной многоугольника – минус 1 балл.

4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии.

Решение. Обозначим через — первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.

5. В шахматном однокруговом турнире, где каждый участник играет с каждым другим один раз, участвовало два девятиклассника и некоторое число десятиклассников. Два девятиклассника вместе набрали 8 очков, а каждый десятиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько десятиклассников участвовало в турнире? (За победу в шахматной партии дается одно очко, за ничью – пол очка, за поражение – ноль очков).

Решение . Пусть в турнире участвовало n десятиклассников. Так как в каждой партии всего разыгрывается одно очко, то девятиклассники в игре между собой вместе набрали 1 очко, и, следовательно, 7 очков набрали в играх с десятиклассниками. Тогда все десятиклассники суммарно набрали очков в играх между собой и 2 n – 7 очков в играх с двумя девятиклассниками. По условию, все десятиклассники набрали одинаковое число очков, то есть, число кратно n . Последнее означает, что число целое. Если n нечетно, то ( n – 1) – четно, и, следовательно, n делит 7, то есть n = 1 или n = 7. Значение n = 1 не подходит, так как общее число набранных очков десятиклассниками будет отрицательно. Пусть n четно, то есть n = 2к. Тогда = . Следовательно, целое, а значит , откуда k = 1 или k = 7. Действительно, при k > 7 , а значения k проверяются непосредственно. Значение k = 1 не подходит по тем же причинам, что и в первом случае. Таким образом, для n имеем два значения: 7 и 14. Проверкой легко убедиться, что оба значения подходят.

Примечание. Получен один ответ – 5 баллов.

5.Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24

1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255

угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5

АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R

BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R

AC = R x 2 x sin 127,5 =1,5866 R

Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате

1. Так как , то графиком функции будет синусоида с выколотыми точками .

2. Воспользуемся формулами для синуса двойного угла:

,тогда получим уравнение Далее используем формулу синуса суммы для sin 12 x = sin (8 x +4 x ) и получаем, что sin 8 x cos 4 x =0, откуда sin 8 x =0 или cos 4 x =0. Решением совокупности этих уравнений будет . В итоге получим .

3. Выделим полный квадрат: . Но первое слагаемое при любых значениях х неотрицательно, а второе слагаемое строго больше нуля, поскольку дискриминант отрицательный, следовательно, данное выражение всегда положительно. Значит, данное неравенство решений не имеет.

4. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (2 x +2 y +2 z )( x + y + z )=288,из которого найдем х+ y + z =-12. Получим в первом случае х=2, y =4, z =6; а во втором случае х=-2, y =-4, z =-6.

5.Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24

1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255

угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2 дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5

АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R

BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R

AC = R x 2 x sin127,5 =1,5866R

Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате

Решение уравнений с модулем. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Тип урока: урок постановки учебной задачи.

Цели урока:

обучение решению уравнений со знаком модуля на основе применения свойств уравнений;
развитие навыков теоретического мышления с применением навыков элементарных операций с модулем и определения модуля;
воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.

I. Повторение пройденного

Внимательно рассмотрите предложенные уравнения:

1) | х | = х + 5;
2) | х | = – 3х + 5;
3) | х – 3 | = 2;
4) | 2х – 5 | = х – 1;
5) = х – 1;
6) | 2х – 5 | = 2 – х;
7) | х + 2 | = 2(3 – х);
8) | 3х – 5 | = | 5 – 2х | ;
9) | х – 2 | = 3 | 3 – х | ;
10) | | х – 1 | – 1 | = 2.

Задание 1. Распределите данные уравнения по группам.

Учащиеся сначала выделили две группы. В первую группу вошли уравнения 1) –3), 5) –7). Ко второй группе были отнесены уравнения 8) и 9). Затем учащиеся заметили уравнение 10), содержащее знак модуля два раза. Окончательно было выделено три группы: 1-я группа – модуль содержится в левой части уравнения; 2-я группа – модуль содержится в обеих частях уравнения; 3-я группа – в уравнении содержится двойной модуль.

Учитель. Какую главную задачу мы должны будем решить сегодня на уроке?

Учащиеся. Мы должны научиться решать уравнения.

Учитель. Да. Но посмотрите еще раз на все эти уравнения и выделите их общую особенность.

Учащиеся. Все они содержат модуль.

Учитель. Как точнее сформулировать задачу нашего урока?

Учащиеся. Применять определение модуля при решении данных уравнений.

Учитель. Действительно, эту задачу мы и должны решить на уроке. По-другому ее можно сформулировать так: “Как решать уравнения с модулем?” Какие понятия, определения могут быть полезны при решении этой задачи?

1. Что такое модуль?
2. Определение модуля.

Учитель. Вспомним, что такое модуль.

Учащиеся. По определению:

| а | =

если а > 0
если а 0 (число положительное).

| х – 1 | + | х – 2 | =

если х 2

а) Если х – 3 0, то есть х 3, то | х – 3 | = х – 3;

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241043 0

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/313738

http://www.uchportal.ru/publ/15-1-0-471