Оператор гамильтона в уравнении шредингера это

Уравнение Шредингера. Гамильтониан.

Напомним, что в представлении Шредингера оператор эволюции во времени переводит исходный вектор состояния в вектор в момент времени t.

Основным свойством операторов эволюции, является унитарность, вытекающая из требования сохранения нормы, как мы говорили в 31 части.

Еще одно свойство следует из требования непрерывности. В отличие от резкого коллапса вектора состояния, в процессе временной эволюции вектор меняется плавно. То есть чем меньший интервал времени мы берем, тем меньше матрица оператора эволюции будет отличаться от единичной матрицы, которая ничего не делает с вектором.

То есть для малого интервала времени Δt оператор эволюции можно представить как единичная матрица плюс матрица, пропорциональная этому Δt. Тогда при Δt->0 мы как раз получим единичную матрицу. Исторически, из матрицы H еще принято выносить множитель –i. Это просто соглашение, не несущее физического смысла.

Запишем аналогичное выражение для эрмитово-сопряженного оператора. Не забываем при эрмитовом сопряжении менять знак у мнимой единицы.

Но условие унитарности говорит, что их произведение должно равняться единичной матрице. Раскроем скобки. Отбрасывая слагаемое с Δt 2 ввиду его малости, видим, что равенство удовлетворяется если эрмитово-сопряженный оператор Н равен исходному. То есть оператор Н эрмитов, а значит соответствует в квантовой механике какой-то наблюдаемой величине.

Подумаем, что же это за величина. Все величины в равенстве, за исключением времени безразмерны. Соответственно, величина Н должна иметь размерность [1/время], то есть частота.

Но мы работаем в единицах, когда постоянная Планка также безразмерна и равна единице. А она по определению связывает энергию и частоту. То есть в таких единицах измерения размерности частоты и энергии одинаковы и равны [1/время].

Оператор Н называется оператором Гамильтона или Гамильтонианом и является оператором энергии.

Гамильтониан тесно связан с временной эволюцией. В конечном счете мы ведь и получили его из оператора эволюции. Рассмотрим интервал времени от 0 до t и от t до t+Δt. Каждому интервалу соответствует свой оператор эволюции во времени. Матрица оператора эволюции, соответствующая всему интервалу от 0 до t+Δt, равна произведению матриц этих двух операторов.

Операторы эволюции действуют на кет-вектор, который домножается справа, поэтому порядок следования операторов обратный.

Подставим определение оператора эволюции через Гамильтониан. Раскроем скобки. Сгруппируем немного по-другому слагаемые. Левая часть равенства теперь что-то смутно напоминает. Если перейти к пределу Δt->0, то мы видим школьное определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента.

Мы получили дифференциальное уравнение, известное как уравнение Шредингера.

Оно удовлетворяется не только для оператора эволюции, но и для самих векторов состояния. Домножим обе части равенства на вектор состояния в начальный момент времени. Поскольку он не зависит от времени, его можно внести под знак производной. Теперь, в соответствии с определением оператора эволюции, мы можем заменить это произведение вектором, зависящим от времени. Мы получили уравнение Шредингера для вектора состояния.

Часто уравнение Шредингера вводится с первых же страниц учебников по квантовой механике в виде постулата. Все остальные страницы посвящены методам его решения. Однако мы видим, что оно следует из более глубоких постулатов квантовой механики: унитарной эволюции и непрерывности.

К тому же оно справедливо только для представления Шредингера, поскольку описывает изменение вектора состояния во времени. В представлении Гейзенберга вектор состояния не меняется, а изменяются операторы. Изменение операторов во времени описывается уравнением Гейзенберга, которое мы получим в следующей части.

В общем не следует считать уравнение Шредингера центральным для квантовой механики. Безусловно оно полезно, но не следует отождествлять квантовую механику и уравнение Шредингера.

Давайте теперь найдем решение этого уравнения. Как мы видим, само уравнение не такое уж и сложное. Если бы вместо оператора эволюции была простая функция, а вместо Гамильтониана число, то решением была бы простая экспонента. Действительно, производная от e ax равна a*e ax , то есть та же самая функция, умноженная на константу.

Формально решение можно записать в следующем виде.

Заметьте, что в показателе экспоненты стоит оператор. Получается число е возводится в степень матрицы. Оказывается, математики и все математические пакеты умеют это делать. Не будем вдаваться в то как именно, но результатом также будет матрица. То есть мы получили не просто формальную запись решения, а действительно полезное решение. Оно позволяет получить матрицу оператора эволюции из матрицы оператора Гамильтона. Говоря математическим языком, Гамильтониан является генератором временной эволюции.

Данное выражение для оператора эволюции работает для любого промежутка времени, а не только малого Δt. Заметьте также, что принцип непрерывности соблюдается. При t=0 оператор эволюции примет вид единичной матрицы.

Оператор Гамильтона в данном выражении не зависит от времени. Переменная t выступает просто как множитель. Время и в уравнении Шредингера и в его решении для оператора эволюции входит лишь как параметр. То есть оно не является наблюдаемой в квантовомеханическом смысле. Ему не соответствует никакой оператор, в отличие, например, от координат x, y, z, которые являются операторами.

Может показаться, что если учесть теорию относительности, то времени всё-таки надо поставить в соответствие оператор. Ведь пространство неотделимо от времени и образует единое пространство-время. Однако в релятивистской квантовой теории поля получается наоборот — координаты x, y, z становятся простыми параметрами. Это один из многих намеков заставляющих ученых полагать, что пространство и время не являются фундаментальными сущностями.

Уравнение Шредингера

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме d V в области с координатами x y z , описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В 1962 г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ( 1887 — 1961 , Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

В наиболее общем виде его записывают так:

— h 2 m ∇ 2 Ψ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i h ∂ 2 Ψ ∂ t 2 .

Здесь m обозначает массу частицы, i 2 — мнимую единицу, ∇ – так называемый оператор Лапласа, равный ∇ 2 Ψ = ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 , Ψ – искомую волновую функцию, а выражение U ( x , y , z , t ) соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция U не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z ) e — i E h t .

Параметр E обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение E остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

— h 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = E Ψ .

∇ 2 Ψ + 2 m h 2 ( E — U ) Ψ = 0 .

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона H ^ . Его можно найти, сложив значения операторов — h 2 2 m ∇ 2 + U = H ^ . Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии E .

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.