Применение теории монотонных операторов сдвига по траекториям к исследованию устойчивости роторов на электромагнитной подвеске Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сабаев Е. Ф., Сабаева Т. А.
Рассмотрены основные сведения теории устойчивости для монотонных операторов сдвига по траекториям и примеры применения этой теории к исследованию устойчивости роторов на электромагнитных подшипниках .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сабаев Е. Ф., Сабаева Т. А.
APPLICATION OF THE THEORY OF MONOTONIC SHIFT OPERATORS ALONG THE TRAJECTORIES TO THE STUDY OF STABILITY OF ROTORS ON ELECTROMAGNETIC BEARINGS
The essentials of the stability theory for monotonic shift operators along the trajectories have been considered. Some examples of the theory application to the study of stability of rotors on electromagnetic bearings are given.
Текст научной работы на тему «Применение теории монотонных операторов сдвига по траекториям к исследованию устойчивости роторов на электромагнитной подвеске»
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 1, с. 152-155
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ СДВИГА ПО ТРАЕКТОРИЯМ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ РОТОРОВ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ПОДВЕСКЕ
© 2010 г. Е.Ф. Сабаев, Т.А. Сабаева
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского sabaeva@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 10.03.2009
Рассмотрены основные сведения теории устойчивости для монотонных операторов сдвига по траекториям и примеры применения этой теории к исследованию устойчивости роторов на электромагнитных подшипниках.
Ключевые слова: монотонный оператор, устойчивость, ротор, электромагнитные подшипники, скользящие режимы.
Роторы и электромагнитные подшипники являются составной частью различных машин: газовых турбин, систем охлаждения ЯЭУ и др., где возникают трудности со смазкой вращающихся частей или она полностью невозможна.
Теория монотонных операторов сдвига развита в работах [1, 2]. Получены условия устойчивости непосредственно по виду правых частей системы уравнений, используемых в математической модели. Приведём результаты теории монотонных операторов, которые понадобятся в дальнейшем.
1. Пусть А — монотонный оператор, то есть если х > у (неравенства понимаются по конусу), то Ах > Ау.
2. Если из х е К следует Ах е К, то оператор А называется положительным. Таким образом, монотонный оператор — это положительный оператор по отношению к приращениям.
3. Если х0 е К и Ах0 е -К, то уравнение X = Ах имеет решение х(?, х0), удовлетворяющее неравенству х(?, х0) 0 для всех д е Я”>, и матричное уравнение
Оператор сдвига по траекториям для таких уравнений будет монотонным.
Уравнение НА + АХ = -Є называется уравнением Ляпунова. Это уравнение имеет полото т
жительное решение Н = |еА 1 ОеА* & > 0, если
спектр матрицы А а(А) лежит в открытой левой полуплоскости, то есть Яеа(А) 0 и
/^ > 0 оба уравнения (2) и (3) имеют положительный оператор сдвмга по тр>аектор>иям. Таким образом, оператор сдвига по траекториям для (2) будет монотонным оператором. Следовательно, критерий устойчивости запишется в виде Яеа(А + аЬ^аУа) 0, то есть а > 0, b > 0.
где х — координата ротора, g — ускорение свободного падения, х0 — расстояние до ограничителей, а и Ь — параметры системы управления. Матричное уравнение, соответствующее этому случаю, имеет вид
Так как ау + Ьх = а, то траектории на фазовой плоскости (х, у) совпадают с представленными на рис.1. Прямая ау + Ьх = 0 является прямой скользящих движений. Таким образом, система уравнений (5) дает полную картину поведения траекторий уравнения (4).
Пример 2. Движение по вертикали ротора на электромагнитных подшипниках описывается уравнениями
На плоскости (х, у) фазовые траектории уравнения (4) представлены на рис. 1, где обозначено цифрами: 1 — линия скользящих движе-
Тт—2 + (T + т)-+ i = i0Signa, а = (ax + bx).
Здесь х — координата ротора, g — ускорение свободного падения, хо — расстояние до ограничителей, a и b — параметры системы управления,
T = L/R, L — индуктивность катушки, а R — ее сопротивление, т — малая постоянная времени, i — текущее значение тока через катушки индуктивности, i0 — его максимальное значение. Характеристическое уравнение имеет вид
(ГЛ2 + (T + т)Х +1) + -fg (а\ + b) = 0. (7)
Необходимые условия устойчивости: 1——-т Т > 0.
При нарушении этого условия ротор будет неустойчив при любых других значениях параметров.
Замечание. Поскольку вес ротора в уравнение не вошел, то можно подумать, что ротор большего размера можно исследовать с помощью ротора малого веса. Но это не так, так как Т пропорционально X. При возрастании веса ротора Р увеличиваются габариты магнитов, а следовательно, и X.
Область устойчивости в плоскости параметров (а, Ь) определяется Д-разбиением, описываемым системой
Условие а = 0 соответствует скользящему режиму. Кривой Д-разбиения, отвечающей скользящему режиму, соответствует параметр а = 1. Уравнения, описывающие скользящий режим и его устойчивость, приведены в работе
[3]. Для определения вектора скорости Р = = (Рх, Ру) нужно найти векторы правых частей уравнения ^ = (Х+, ^ -) и определить прямую, соединяющую концы этих векторов Р = Х+ а + + ^ -(1 — а), 0 0, > 0 .
Матричное уравнение для этого случая запишется в виде
— = ах + хл1 + X (а ъ; х + щ а)
Характеристическое уравнение будет иметь вид
(XI — А) = £ (а,ьТ + ЪгОТ)£^.
Для определения области устойчивости достаточно найти точку х0 е К, в которой вектор скорости — е -К .
Получены условия устойчивости системы дифференциальных уравнений с многими нели-
аг = Ьг х, х, Ьг- е Я. Для этих уравнений получено характеристическое уравнение
= ^, то есть в линейном слу-
чае. Это уравнение дает необходимые и достаточные условия устойчивости. Область притяжения (или ее часть) можно определить из уравнения
х = Ах + хЛТ + (а,Ь,Тх + хЬ, ^’) .
Для этого достаточно определить точку х0 е К, в которой X е — К .
1. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980.
2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.
3. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.
4. Митенков Ф.М., Кодочигов Н.Г., Востоков В.С. и др. Расчетно-экспериментальное исследование электромагнитного подшипника с дополнительным электромагнитом // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. № 3.
APPLICATION OF THE THEORY OF MONOTONIC SHIFT OPERATORS ALONG THE TRAJECTORIES TO THE STUDY OF STABILITY OF ROTORS ON ELECTROMAGNETIC BEARINGS
E.F. Sabaev, T.A. Sabaeva
The essentials of the stability theory for monotonic shift operators along the trajectories have been considered. Some examples of the theory application to the study of stability of rotors on electromagnetic bearings are given.
Keywords: monotonic operator, stability, rotor, electromagnetic bearings, zero-overshoot response.