Операторное уравнение при ненулевых начальных условиях

Операторное уравнение при ненулевых начальных условиях

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал	Изображение
A

Некоторые свойства изображений

Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

.

.

С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

.

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где — начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях

.

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

.

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

.

или при нулевых начальных условиях

,

откуда операторное сопротивление конденсатора

.

Закон Ома в операторной форме

Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

.

,

(2)

где — операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 — ; 2 — .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ; и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где .

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,

(3)

где — к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

.

При

.

Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лопиталя, запишем

.

.

Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

1. В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
2. Что такое операторная схема замещения?
3. Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
4. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
5. Для чего используются предельные соотношения?
6. Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?

С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

Ответ: .

С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.

Ответ: .

Операторный метод расчета переходных процессов

Содержание:

Операторный метод расчета переходных процессов:

Для решения линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений в теории электрических цепей нашел широкое применение так называемый операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа.

Сущность этого метода заключается в том что функции вещественного переменного t преобразуются в функции комплексного переменного

Переход от функции вещественного переменного t к функции комплексного переменного p осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа

Обратный переход от функции комплексного переменного р к функциям вещественного переменного t осуществляется на основании обратного преобразования Лапласа

Функцию называют оригиналом, а функцию — изображением оригинала по Лапласу или просто изображением.

Напомним, что для того чтобы функция имела изображение (8.1), необходимо, чтобы она:

1. удовлетворяла условиям Дирихле;
2. была равна нулю для отрицательных значений t, т. е. при
3. в интервале не возрастала быстрее, чем некоторая показательная функция

где — произвольные положительные числа, т.е. здесь не требуется абсолютная интегрируемость функции как это требуется в интегралах Фурье. Поэтому преобразования Лапласа возможны для более широкого класса функций, чем преобразования Фурье.

Применение свойств преобразования Лапласа в сочетании с теоремой разложения дает возможность составить таблицы изображений и оригиналов, облетающие и ускоряющие нахождение оригиналов по изображениям [4, 26]. Применение операторного метода совместно с компьютерными математическими программными средами делает анализ и расчет электрических цепей доступным, быстрым и интересным.

Особенностью метода является необходимость выполнения трех этапов:

Эквивалентные операторные схемы замещения элементов

Активное сопротивление:

На рис. 8.1 изображена схема замещения в операторном виде участка цепи с активным сопротивлением. Для этого участка цепи связь между операторным напряжением и током записывается в виде

Индуктивность:

Для участка цепи с индуктивностью при ненулевых начальных условиях операторная схема замещения изображена на рис. 8.2.

Связь между операторным напряжением и током записывается в виде

Емкость:

Для участка цепи с емкостью при ненулевых начальных условиях операторная схема замещения изображена на рис. 8.3.

Связь между напряжением и током устанавливает соотношение

В эквивалентных операторных схемах для индуктивности и емкости с ненулевыми начальными условиями возникают дополнительные источники ЭДС которые называются внутренними. Они указывают на то, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Таким образом, начальные условия автоматически учитываются при переходе от интегрально-дифференциальных уравнений к алгебраическим (постоянную интегрирования вычислять не нужно).

Порядок расчета:

1. определяют независимые начальные условия;
2. составляют эквивалентную операторную схему замещения для послекоммутационной цепи;
3. составляют систему уравнений в операторной форме в соответствии с выбранным рациональным методом расчета эквивалентной схемы замещения и решают ее относительно изображений неизвестных величин;
4. для нахождения оригиналов неизвестных величин используют таблицы соответствия, формулы теоремы разложения, компьютерные программные среды и др.

Операторные функции электрических цепей

Основные операторные функции:

Операторной функцией цепи называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях, т. е,

Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее схемы. Различают входные и передаточные операторные функции. В табл. 8.1 приведены соотношения для расчета операторных функций сложных цепей.

Для расчета операторных функции можно применять все методы расчета комплексных функций

т. е. комплексная функция является частным случаем операторной при замене оператора на переменную

Анализ переходных процессов в цепях с помощью операторных функций

По известной операторной функции цепи и операторному изображению воздействия можно найти реакцию цепи на это воздействие

На рис. 8.4 (а—в) приведены временные диаграммы переходных процессов, а также полюсно-нулевое представление на комплексной плоскости.

По расположению полюсов операторной функции можно судить о характере переходное процесса:

• если все полюсы расположены только на отрицательной вещественной полуоси, то переходный процесс в цепи носит апериодический характер;
• если имеются сопряженные полюсы в левой полуплоскости, то переходный процесс носит характер затухающих колебаний;
• если все полюсы расположены только на отрицательной мнимой оси, то переходный процесс в цепи носит характер незатухающих колебаний.

Примеры решения задач

Пример 8.4.1.

В интегродифференцирующем контуре постоянного тока (рис. 8.5), применяемом для коррекции ЭЦ и САУ. определить напряжение построить его график, если

Решение

Определяют независимые начальные условия — напряжения на емкостях. До коммутации ключ был разомкнут, напряжение на емкостях отсутствовало:

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.6).

Находят изображение напряжения где

Сопротивление всей цепи определяется выражением

По данному изображению находят оригинал (рис. 8.7) напряжения для этого пользуются таблицей преобразования Лапласа (см. табл. 8.2, п. 3.5) или преобразованиями в среде Mathcad (рис. 8.7).

Пример 8.4.2.

К пассивному RС-фильтру нижних частот подключается нагрузка (рис. 8.8). Рассчитать и построить график, изменения

Дано:

Решение

Определяют независимые начальные условия — напряжение на емкости

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.9).

Операторный ток определяют методом наложения, т.е. как алгебраическую сумму двух частичных токов

Операторные схемы, соответствующие частичным токам, изображены на рис. 8.10.

Искомый ток

Определяют частичный ток

Аналогично определяют частичный ток

По данному изображению находят оригинал

Подставляя числовые значения величин, получают

Строят график тока в компьютерной программной среде (рис. 8.11).

Выводы. До коммутации напряжение на емкости определялось падением напряжения на сопротивлении Ток, проходящий через емкость, был равен нулю. После коммутации произошло перераспределение напряжения между сопротивлениями вследствие чего напряжение на емкости повысилось и образовался зарядный ток. Когда конденсатор зарядится до напряжения, определяемого на сопротивлениях прохождение тока через емкость прекратится.

Пример 8.4.3.

Рассчитать коэффициент передачи по напряжению пассивной цепи (рис. 8.12) и составить ее схему так, чтобы при подключении на вход источника постоянной ЭДС получить на выходе напряжение вида:

Решение

Применяя преобразования Лапласа, находят изображения

Из прямых преобразований Лапласа и Фурье следует, что

Если принять тогда и схему можно составить из элементов (рис. 8.13).

Если принять тогда и схему можно составить из элементов (рис. 8.14).

Если принять тогда и схема будет иметь вид, изображенный на рис. 8.15.

Если принять тогда и схема будет иметь вид, изображенный на рис. 8.16.

Пример 8.4.4.

Параллельный колебательный контур (рис. 8.17) включается на постоянное напряжение

Определить напряжение на конденсаторе и построить его опюру, если:

Решение

Определяют независимые начальные условия: напряжение на конденсаторе ток в катушке индуктивности

Строят эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.18).

Находят изображение напряжения на конденсаторе

По данному изображению находят оригинал по теореме разложения дробно-рациональной функции

где — некратные полюсы изображения напряжения — начальные значения компонент изображения

При простых (некратных) полюсах начальные значения компонент определяются но выражению [4]

а) Для первого варианта значений:

Полюсы изображения после вычислений имеют значения:

Вычисляют производную и ее значение при .

Вычисляют начальные значения компонент

Графики напряжения на конденсаторе и его компонентов получены в среде Mathcad и показаны на рис. 8.19.

Тоn же результат может быть получен по таблице преобразования Лапласа (табл. 8.2, п. 8), если знаменатель изображения напряжения на конденсаторе представить в виде

б) Для второго варианта числовых значений:

а полюсы

Находят производную от и вычисляют ее значения при

По теореме разложения определяют

где

или

График изменения напряжения представлен на рис. 8.20.

Тот же результат может быть получен по таблице преобразования Лапласа (см. табл. 8.2, п. 13), если знаменатель представить в виде

Примечание. Результаты этого примера сравните с результатами примера 6.3. Оцените достоинства и недостатки классического и операторного методов расчета переходных процессов.

Пример 8.4.5.

После замыкания ключа четырехполюсник (рис. 8.21) используется для работы на частоте

а) коэффициент передачи по напряжению в режиме холостого хода и при активной нагрузке

б) характер переходного процесса по кривой переходного процесса.

Дано:

Решение

В режиме холостого хода

Изображают эквивалентную операторную схему замещения. На рис. 8.22 приведена операторная схема замещения при нулевых начальных условиях.

Находят изображение напряжения на выходе

Определяют полюсы операторной функции из уравнения тогда

Переходной процесс в цепи имеет апериодический характер, что видно из расположения полюсов на комплексной плоскости (рис, 8.23).

В режиме нагрузки

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.24).

Определяют операторную функцию по методу контурных токов, используя соотношение (см. табл. 8.1):

Определяют полюсы операторной функции из уравнения

Для этога вначале вычисляют L и С.

Находят корни уравнения:

Переходный процесс в цепи имеет характер затухающих колебаний, что видно из расположения полюсов на комплексной плоскости (рис. 8.25).

• Метод пространства состояний электрических цепей
• Синтез электрических цепей
• Цепи с распределенными параметрами
• Электрическая энергия, ее свойства и применение
• Переходные процессы в колебательных контурах
• Расчет переходных процессов
• Классический метод расчета переходных процессов
• Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Операторное уравнение при ненулевых начальных условиях

19.4. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПОЛУЧЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ НЕНУЛЕВЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

Расчет переходного процесса операторным методом состоит из трех этапов.

Первый этап — переход от оригиналов к изображениям — прямое преобразование Лапласа исходных данных задачи — уравнений электрической цепи, законов изменения во времени действующих на цепь источников, начальных условий. Переход к изображениям источников ЭДС и тока выполняют с помощью формулы прямого преобразования Лапласа по известному закону изменения во времени источника. Так, для постоянной ЭДС, включаемой в момент времени t = 0, e ( t ) = E 0 × 1( t ), поэтому ее изображение по Лапласу имеет вид E ( s ) = E 0 / s . Нулевой нижний предел интегрирования в формуле прямого преобразования Лапласа означает, что действие источников в цепи начинает учитываться лишь с момента коммутации t = 0, т. е., предполагается, что эти источники включаются в момент коммутации. Предыстория процесса, связанная с их действием до коммутации, учитывается в начальных условиях, которые должны быть заданы для переменных состояния — токов в катушках и напряжений на конденсаторах.

Из линейности законов Кирхгофа следует, что и для изображений токов, напряжений и ЭДС они имеют аналогичный вид:

;

.

В результате перехода от оригиналов токов и напряжений к их операторным изображениям, дифференциальные соотношения между токами и напряжениями на катушках и конденсаторах становятся алгебраическими, и вся совокупность уравнений цепи сводится к системе алгебраических уравнений, в которой отражены все исходные данные задачи, включая начальные условия.

Второй этап — определение изображения искомой величины — тока или напряжения — связан с чисто алгебраическими преобразованиями полученных уравнений.

Третий этап — определение оригинала искомой величины с помощью формулы обратного преобразования Лапласа или вытекающих из нее соотношений.

Выполнение преобразований первого и второго этапов существенно зависит от того, при каких начальных условиях (нулевых или ненулевых) рассчитывается цепь. Рассмотрим сначала более общий случай ненулевых начальных условий.

Уравнения для операторных изображений токов и напряжений цепи при ненулевых начальных условиях можно получить, используя независимые уравнения Кирхгофа и компонентные уравнения. При этом, в отличие от метода переменных состояния, на выбор дерева, на основе которого записывают систему уравнений, не накладывается никаких ограничений — оно может включать элементы любого вида. Не требует особого подхода и наличие Ce -контуров или LJ -сечений. Операторный метод позволяет решать и задачи, в которых нарушаются законы коммутации (см. п. 19.7). При этом в качестве начальных условий в систему вводят значения переменных состояния до коммутации, т. е. u C (– 0) и i L (– 0).

Однако более компактный по сравнению с использованием уравнений Кирхгофа способ решения состоит в использовании известных методов расчета — узловых напряжений, контурных токов — к схеме, полученной из исходной в результате замены катушек и конденсаторов введенными выше эквивалентными операторными схемами (см. п.19.3). Применение такого подхода рассмотрено в Задаче 15.1.