Задача Коши онлайн
Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
при заданных начальных условиях:
При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .
Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:
удовлетворяющее начальным условиям:
Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:
Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:
Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :
Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :
Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:
Другие полезные разделы:
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)
Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.
Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:
$$F(p) = \int_0^\infty f(t) e^<-pt>dt$$
Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.
Как найти изображение функции
Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению
Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.
Задача 3. Найти изображение функции: $\int_0^t \cos \tau \cdot e^<-3\tau>d\tau. $
Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = \int_0^\infty f(x) e^<-px>dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).
Как найти оригинал функции
Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где
Задача 6. Найти оригинал изображения
Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов
Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом
Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом
Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления
Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка
Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.
Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения
Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа
Как решить интегральное уравнение
Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения
$$ y(t)=\cos t +\int_0^t (t-\tau)^2 y(\tau)d \tau. $$
Задача 16. Решить интегральное уравнение
$$ \int_0^t ch (\tau) x(t-\tau)d \tau = t. $$
Как найти свертку функций
Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $\phi(t)=\sin 5t$.
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Применения операционного исчисления
Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами
Пример 1.
Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin
Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin
Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin . \end Пример 2. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin Запишем операторное уравнение: \begin Пример 3. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Пример 4. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Решаем полученное уравение: \begin . \end Пример 5. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Запишем изображения: \begin , \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1> . \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1> .\\ \end Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end Пример 6. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \begin . &\\ \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end Пример 7. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1> .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin +\displaystyle\frac<4> -\displaystyle\frac<2p+3> \risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox +\displaystyle\frac<2> \risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox Введем обозначения: Запишем алгоритм решения. ,\\ h(p)=p^n+a_1p^ 2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin Пример 8. Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin 2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin . \end \,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1> Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin Пример 9 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin -\frac . \end Находим изображение для $\displaystyle\frac<1> $ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin \risingdotseq \mbox \risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox $ по теореме запаздывания будет равно: \begin \risingdotseq (-\mbox Решение заданного уравнения: \begin Пример 10 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end (1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2> (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin =\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда. Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maoper http://vmath.ru/vf5/oplaplace/seminar5_2Решение задачи Коши для систем линейных ДУ
Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда
Решение задачи Коши с периодической правой частью