Описание с помощью дифференциального уравнения

2. Математическое описание систем автоматического управления

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

если , то уравнение принимает вид:

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

тогда, разделив на k, имеем:

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

, что эквивалентно

где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:

где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

где дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

1. Нелинейностью статической характеристики.
2. Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
3. Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N₀ Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если , то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки будет выглядеть так:

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

или в операторном виде:

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x₀, y₀), если полное уравнение динамики имеет вид:

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

1. Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
2. Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

Заметим, что:
.

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:

Вводим новые обозначения:

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем:

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

где: — решение однородного дифференциального уравнения y_<част.>(t) $inline$ — частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2) Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:

где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

Суммируя , имеем:

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

Реферат: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Автоматики и управления

по математическим основам теории систем

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Проверил: Разнополов О. А.

1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления 3

2. Элементы теории дифференциальных уравнений 4

2.1. Понятие дифференциального уравнения 4

2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений 4

2.3. Задача Коши 5

2.4. Свойства дифференциальных уравнений 6

2.5. Ломаная Эйлера и e-приближенное решение 6

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров 7

2.7. Линейные дифференциальные уравнения 8

2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений 8

2.7.2. Общее решение линейной однородной системы 9

2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля 9

2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных 10

2.7.5. Формула Коши 12

2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка 13

2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 14

2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 15

3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем 16

3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов системы 16

3.2. Понятие пространства состояний 18

3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений 18

3.4. Описание систем переменными состояния 19

3.5. Понятие наблюдаемости системы 19

3.6. Понятие управляемости системы 20

3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения 21

3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению 22

3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений 22

Список литературы 24

Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальн ых уравнени й систем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элемент ов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы.

Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну – на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выходную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных элементов системы.

Рассмотрим пример: управление самолетом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием порывов ветра отклонилась от заданного направления y на угол q (рис.1). Возвращение самолета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно j . Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J. Восстанавливающая сила руля пропорциональна j, трением в воздухе пренебрегаем.

Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона:

где kj(t) – восстанавливающая сила; m(t) – момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b=–k/J, x (t)=m(t)/J, а также принимая j(t) за управляющее воздействие u(t), получаем

Вводя в рассмотрение переменные состояния

к двум дифференциальным уравнениям первого порядка

которые в векторной форме запишутся так

Вводя векторно-матричные обозначения

приходим к дифференциальному уравнению:

Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальны е уравнени я называются уравнениями в частных производных.

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция x=x(t), определенная на некотором интервале D’t, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество на всем интервале D. Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n-го порядка x (n). При определенных условиях его можно решить относительно x(n):

Пусть x=x(t) – решение данного дифференциального уравнения. Тогда x(t) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоскости (t,x) решению x=x(t) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой.

Функция x=x(t,C) называется общим решением дифференциального уравнения, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интегральную кривую.

В дифференциальные уравнения вида

может входить n неизвестных функций x1,…, xn . Тогда системой дифференциальных уравнений будет совокупность соотношений

Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных. В этом случае получим систему уравнений:

Такая система называется канонической системой дифференциальных уравнений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести эту систему к системе первого порядка. Пусть

Тогда наша система перепишется в виде

В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде

Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных уравнений. Эту систему будем записывать в векторной форме:

Тогда данная система будет представлена в виде:

Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi=xi(t), определенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G.

Если вектор-функция не зависит явно от времени t, то эта система называется автономной (стационарной).

Начальной задачей или задачей Коши для системы

называется следующая задача. Найти решение системы дифференциальных уравнений, определенное на некотором интервале G, содержащем точку t0, и удовлетворяющее условиям:

причем t0, xi0 (i=1, 2,…, n) называются начальными значениями для решения x1(t), …, xn(t), а эти условия – начальными условиями. Если ввести в рассмотрение (n+1)-мерное пространство с координатами t, x1,…, xn, то совокупность n функций xi=xi(t) будет представлять линию в n-мерном пространстве. Начальные значения t0, x10,…, xn0 представляют собой точку в этом пространстве.

Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений в векторной форме

(1)

Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n функций xi=xi(t,c1,…,cn), i=1,2,…,n. Будем говорить, что функция f(t,x1,…,xn) удовлетворяет условию Липшица в области G по переменным x1,…,xn, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек (t,x1,…,xn) и (t, xs1,…,xsn), принадлежащих G, выполняется неравенство

Пусть в системе (1) функции fi(t, x) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по x1,…,xn в некоторой области G. Тогда существует и притом единственное решение xi=xi(t), I=1,2,…n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi(t0)=xi0, определенное на отрезке K, содержащем точку t0.

Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K, содержащем точку t0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G.

Если функция f(t, x1, . хn) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.

Рассмотрим систему уравнений

(2)

причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Совокупность n функций z1(t), . zn(t) называется e -приближенным решением системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и

во всех точках tÎK, кроме точек разрыва непрерывности этой производной.

Пусть задана начальная точка (t0, x10, …, хn0) и пусть функции fi(t, xi. хn) непрерывны по t в области Gи удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным t, x1, х2, . хn. Можно показать, что в этом случае функции fi(t, x1. хn) будут непрерывны по совокупности переменных t, x1. хn в области G. Из непрерывности функций fi (t, x1. хn) в замкнутой области G сле­дует их равномерная непрерывность. Таким образом, для любого e>0 найдется такое d >0, зависящее только от e, что при

будет справедливо неравенство

Построим e-приближенное решение системы (2). Для этого разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими d (для случая n=1 построение проведено на рис. 2, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки (t, xlo, . хn0) проведем прямую

Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба. Обозначим точку пересечения ( t1, x11. xn1). Из этой точки проведем прямую

которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересечения (t2, x12. xn2), через эту точку проводим новую прямую

В результате указанных действий получим ломаную xi =xi(t) (i=l, 2, . n), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы области G.

Пусть xi(t) (i=l, 2, . n) — точное решение системы (2), удовлетво­ряющее начальным условиям. Обозначим через si(t) (i=1, 2, . n) e-приближенное решение системы (1) для тех же начальных условий. Тогда

Отсюда следует, что если |t–t0| 0 существует такое d(e, h)>0, что другое решение x=s(t, t0, z0), удовлетворяющее начальным условиям

Описание с помощью дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения. Тезисы. Примеры применений.

Тип публикации: Тезисы

Язык: Русский

Enter the password to open this PDF file:

Григоренко М.Н., Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург Дифференциальные уравнения и их применение Изучая разделы математики можно рассматривать решение задач с использованием математического аппарата, например таких как, методы расчета рисковых оптимального временного ситуаций, использования ряда [2]. Более выбор оптимального ресурсов, анализ подробно портфеля, и задачи прогнозирование рассмотрим применение дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения — раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных дифференциальные) или порядков одного нескольких аргумента аргументов (обыкновенные (дифференциальные уравнения в частных производных) [1]. В самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения применяются для математического описания природных явлений. Так, например, в биологии дифференциальные уравнения применяются для описания популяции; в физике многие законы можно описать с помощью дифференциальных уравнений. Широкое применение находят дифференциальные уравнения и в моделях экономической динамики. В данных моделях отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени. Рассмотрим одну из задач макроэкономической динамики [1]. Например, пусть y(f) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y (t )  py(t ) Обозначим через I(t) величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональная величине инвестиций, т.е. y’ (t )  lI (t ) , где 1/l – норма акселерации. (Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, то есть считаем, что инвестиционный лаг равен нулю). Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим I (t )  mY (t )  mpy(t ) , где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина ( 0  m  1 ). Подставляя последнее выражение для I(t) в y’ (t )  lI (t ) приходим к уравнению y’  ky , где k  mpl . Полученное дифференциальное уравнение — с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t )  y0 e k ( t t0 ) , где y0  y(t 0 ) . Заметим, что уравнение y’  ky описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др. Модель роста в условиях роста конкурентного рынка имеет вид y’ mlp( y) y . Научный руководитель Кныш А.А., старший преподаватель Список литературы: 1. Высшая математика для экономического бакалавриата: учебник и практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Три-шин, М. Н. Фридман; под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2012. — 909 с. 2. Кныш А.А. Примеры реализации межпредметных связей на занятиях математики в экономическом вузе // Новая наука: от идеи к результату. — Стерлитамак: АМИ, 2017. — №2 (2) – С. 55 – 57.