Определение корней уравнения на промежутке

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Решение тригонометрических уравнений на промежутке

Разделы: Математика

Цель урока:

а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.

1)cos x = -0,5, где хI [- ]. Ответ: .

2) sin x = , где хI [0;2?]. Ответ: ; .

3)cos 2x = —, где хI [0;]. Ответ:

Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.

В это время класс работает устно.

Найдите значение выражения:

а) tg – sin + cos + sin . Ответ: 1.

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Ответ: ?

в) arcsin + arcsin . Ответ: .

г) 5 arctg (-) – arccos (-). Ответ:– .

– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.

Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.

2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.

– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.

– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.

– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)

– Пример 1. (Ученик выходит к доске)

cos x = -0,5, где хI [- ].

Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске

х = + 2?k, где k R.

– Запишем это решение в виде совокупности:

– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).

(Составим математическую модель для нахождения k).

1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)

2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).

5 способов отбора корней в тригонометрических уравнениях

Исследовательская работа для подготовки к ЕГЭ (13 задание профильной математики)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Межрегиональная научно-практическая конференция

посвященная Году экологии в Российской Федерации.

Тема: «5 способов отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Физико-математический (физика, математика, информатика)

Кудряшова Светлана Олеговна,

ученица 10 класса МБОУ «Азбабинская СОШ»

Апастовского муниципального района РТ

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях………………..3 стр.

Алгебраический способ……………………………………………………… ..4 стр

Геометрический способ: изображение корней на тригонометрической

Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой……….5 стр.

Функционально-графический способ…………………………………………6 стр

Список использованной литературы………………………………………….8 стр.

Уравнения и системы уравнений занимают важное место в математике. В 10 классе очень много внимания уделяется решению тригонометрических уравнений. Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать не только формулы и методы решения этих уравнений, но и правильно отбирать корни на заданном промежутке или при других дополнительных условиях. Следует также отметить, что в профильном варианте ЕГЭ по математике в 2017 году 13 задание это- «Решить тригонометрическое уравнение и выполнить отбор корней, удовлетворяющих условию или решить систему уравнений». Поэтому в данной работе я решила исследовать различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях, что поможет в дальнейшем для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Объект исследования: тригонометрические уравнения.

Предмет исследования: способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Цель работы: Изучить различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

• определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;
• рассмотреть примеры решения уравнений, где необходимо выполнить отбор корней;

1) Изучение литературы

2)Анализ и обобщение изученной информации

3) Решение тригонометрических уравнений

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что помимо распространённого способа отбора корней с помощью тригонометрической окружности, в меньшей мере используются арифметический и алгебраический подходы. Ученик, знающий несколько приёмов отбора корней, может при решении уравнения выбрать более рациональный.

Прикладная значимость результатов исследования определяется вкладом в развитие логического математического мышления, развитие умения самостоятельного решать тригонометрические уравнения различными способами. Результаты исследования могут быть использованы на уроках математики, а также при подготовке к ЕГЭ по математике.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

• Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
• Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
• Геометрический способ:

— изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

— изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом

Каждый из этих способов по-своему хорош и удобен для применения в том или ином случае.

Сначала решим уравнение в общем виде :

а) 1- 2 x +3 x =1, 25

б)А теперь надо найти решения данного уравнения на промежутке [ 𝝅 ; 5 𝝅/2 ]

I. Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Придадим параметру k последовательно значения 0, 1.2, …, -1.-2, … и подставим эти значения в общую формулу.

Если k=0, то х=± 𝝅/6 не входит в промежуток [ 𝝅 ; 5 𝝅/2 ]

Если k=1, то х= 𝝅/6 + 𝝅 =7 𝝅 /6 это число входит в данный промежуток

х=- 𝝅 /6 + 𝝅 =5 𝝅/6 это число не входит в данный промежуток

Если k=2, то х= 𝝅/6 + 2𝝅 =13 𝝅 /6 это число входит в данный промежуток

х= -𝝅/6 + 2𝝅 =11 𝝅 /6 это число входит в данный промежуток.

Итак, заданному отрезку принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра: k=1, 2. Эти корни таковы: 7 𝝅 /6 ; 11 𝝅/6 ;13 𝝅/6 .

II. Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.

Так как должно выполняться условие 𝝅≤х≤ 5 𝝅/2, то для первой серии имеем

𝝅≤ 𝝅 /6+ 𝝅 k ≤ 5 𝝅/2 ⇔ 1 ≤ 1 /6+k ≤ 5/2 ⇔ 1-1 /6 ≤ k ≤ 5/2- 1/6 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 7/3, то k= 1; 2.

Тогда х=7 𝝅 /6 ; х=13 𝝅 /6

Для второй серии имеем 𝝅≤ -𝝅 /6+ 𝝅 k ≤ 5 𝝅/2 ⇔ 1 ≤ -1 /6+k ≤ 5/2 ⇔

1+ 1 /6 ≤ k ≤ 5/2+ 1/6 ⇔ 7/6 ≤ k ≤1 7/6, то k= 2.

Итак, 7 𝝅/6 ; 11 𝝅/6 ;13 𝝅/6

III. Геометрический способ:

Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

Все числа вида α+2 𝝅k, где k𝟄Z, соответствуют единственной точке числовой окружности, так как при обходе окружности в положительном или отрицательном направлении на целое число оборотов из данной точки мы приходим в эту же точку.

Проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Во-первых , на тригонометрической окружности отметим промежуток [ 𝝅 ; 5 𝝅/2 ] , длина которого 3π /2. Для этого полученные значения в серии решений изобразим на тригонометрической окружности . Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только три значения из этих серий:

IV. Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

Тригонометрическую окружность удобно использовать для изображения точек вида α+βn, n 𝟄Z, где отношение 2π:β- натуральное число. Ещё одна причина выбора числовой прямой связана с периодами функций, превосходящих 2π.

Итак, на числовой прямой рассмотрим промежуток [ 𝝅 ; 5 𝝅/2 ] . У нас 2 серии ответов: x= — 𝝅 /6+ 𝝅 k и x= 𝝅 /6+ 𝝅 k

Отметим точками числа:- — 𝝅 /6; 𝝅 /6; 𝝅 ; 5 𝝅/2; 7𝝅/6, 11𝝅/6; 13 𝝅/6.

На рисунке видно, что числа 7𝝅/6, 11𝝅/6; 13 𝝅/6 входят в промежуток [ 𝝅 ; 5 𝝅/2 ] .

Ответ: 7𝝅/6, 11𝝅/6; 13 𝝅/6

V. Функционально-графический способ

При решении тригонометрических уравнений иногда используются графики тригонометрических функций. При этом подходе требуется умение схематичного построения графика тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений. Схематично изобразим графики функций y=sinх и y=0,5 , y= -0,5. Найдем три корня уравнения на промежутке [ 𝝅 ; 5 𝝅/2 ] . Это 7𝝅/6, 11𝝅/6; 13 𝝅/6

В своей работе я рассмотрела 5 способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений с выбором ответа.

Проведя анализ всех решений, я пришла к выводу, что иногда уместно отобрать корни разными способами, чтобы твёрдо знать, что отбор выполнен верно.

Таким образом, арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в следующих случаях:

-заданные ограничения охватывают большой промежуток, и последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям;

-серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций;

-требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям.

Во всех случаях, перечисленных выше, удобен алгебраический способ отбора корней. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2π, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

Работа нашла своё применение и на уроках математики, а так же при подготовке к ЕГЭ по математике.