Решение неоднородных уравнений первой степени относительно sin x и cos x
Разделы: Математика
При изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе достаточное внимание уделяется рассмотрению примеров решений уравнений, сводящихся к квадратным и решению однородных уравнений первой и второй степени относительно sin x и cos x. При этом практически не рассматриваются примеры решения уравнений первой степени, являющихся неоднородными относительно функций sin x и cos x.
Изучая в школьном курсе 10 класса тему «Преобразование тригонометрических выражений», целесообразно ввести формулу a sinx + b cosx = sin(x+), где tg = . В дальнейшем она будет использоваться при решении неоднородных линейных уравнений. Формулы универсальной подстановки и формулы половинного аргумента выводятся в теме «Преобразование тригонометрических выражений» при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений.
Цели:
- ввести понятие неоднородного тригонометрического уравнения I степени;
- ознакомить с алгоритмами решения неоднородных тригонометрических уравнений I степени;
- проверить прочность усвоения ранее изученных формул тригонометрии.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: индивидуальная и фронтальная работа с учащимися.
Ход урока
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя: Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» кроме рассмотренного нами ранее вопроса о способах решения однородных тригонометрических уравнений I степени предполагает также рассмотрение способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Но прежде, чем мы перейдем к изучению нового материала, необходимо вспомнить применение формул тригонометрии при решении уравнений и неравенств.
II. Актуализация опорных знаний, умений
Математический диктант (10-12 минут).
I вариант | II вариант | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
Ответы варианта I | Ответы варианта II | ||||||||||||
| (-1) + ; (-1) + , n+ n; + 2n, narctg(-2) + n; arctg + n, n+ ≤ x ≤ + , n+ ≤ x ≤ + , nПо окончанию самостоятельной работы учащиеся меняются тетрадями и проводят взаимопроверку. Правильные ответы заранее записаны учителем на закрытой доске. III. Формирование новых знаний и понятийСлова учителя: Теперь мы переходим к новой теме нашего занятия – решению неоднородных тригонометрических уравнений I степени. Дается определение: Уравнение вида a sin x + b cos x = c, где а, b, с не равны 0, называется неоднородным тригонометрическим уравнением I степени. Данное уравнение может быть решено тремя способами. Первый способ – универсальная подстановка
cos x = Второй способ – введение дополнительного угла
Третий способ – переход к функциям половинного аргумента
cos x = cos — sin IV. Применение знаний, навыков, понятийЗадания на отработку применения разобранных способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Решаются у доски учениками с помощью учителя: 1) sin 2x + cos 2x = sin 3x (через введение дополнительного угла)
2) 3 sin x – 4 cos x = 5 (применение универсальной подстановки)
3) cos x – sin x = 1 (через переход к функциям половинного аргумента)
Для самостоятельной работы учащихся (перед началом указываются способы решения): 1) sin x + cos x = (через введение дополнительного угла)
2) 3 sin x + 5 cos x= 6 (универсальная подстановка)
Определение неоднородного тригонометрического уравнения второй степени
Методы решения тригонометрических уравнений.1. Алгебраический метод.( метод замены переменной и подстановки ). 2. Разложение на множители.П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 . Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения: П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1. Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 , sin x · cos x – sin 2 x = 0 , sin x · ( cos x – sin x ) = 0 , П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1. Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x , 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x , cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 , cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 , 1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 , 3. Приведение к однородному уравнению.а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3, 4. Переход к половинному углу.П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7. Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) , 2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 , tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 , 5. Введение вспомогательного угла.где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x . Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: источники: http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij |