Определение области нахождения корней нелинейного уравнения

Определение области нахождения корней нелинейного уравнения

Читайте также:
  1. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  2. I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
  3. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  4. III. Определение оптимального уровня денежных средств.
  5. IV Деятельность в области таможенного дела
  6. IV. Механизмы и основные меры реализации государственной политики в области развития инновационной системы
  7. V Ответственность в области таможенного дела
  8. АБСЦЕССЫ И ФЛЕГМОНЫ ЧЕЛЮСТНО-ЛИЦЕВОЙ ОБЛАСТИ
  9. Аксиомы науки о безопасности жизнедеятельности. Определение и сущность.
  10. Альтернативные подходы в области информационной подготовки
  11. Анализ технологии законодательного процесса в Тюменской области.
  12. Анализ функциональной связи между затратами, объемом продаж и прибылью. Определение безубыточного объема продаж и зоны безопасности предприятия

Одной из часто встречающихся практических задач является вычисление корней нелинейного уравнения. В общем случае уравнение имеет вид

. (21.1)

Корнем уравнения называется такое значение аргумента х0, при котором это уравнение обращается в тождество. Графически корень уравнения соответствует значению аргумента х0, при котором график функции пересекает ось абсцисс.

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня. Фактически всегда решается уравнение

или , (21.2)

где e — некоторая положительная достаточно малая величина. Попытка поиска точного решения или, что то же самое, задание в программе e=0 приводит к зацикливанию вычислительной программы.

Будем считать, что функция f(x) на интервале [a,b] непрерывна. При этом функция может не быть гладкой, т.е. содержать изломы, но на этом интервале не должна иметь разрывов.

Задача распадается на несколько отдельных задач:

1) оценить диапазон определения функции (диапазон значений, которые может принимать аргумент);

2) исследовать количество, характер и расположение корней;

3) найти приближенные значения корней;

4) выбрать из них интересующие и вычислить их с требуемой точностью.

Зависимость f(x) может выражаться с помощью системы уравнений и не иметь аналитического вида. Однако и в этом случае мы должны иметь возможность для любого х из допустимого диапазона найти соответствующее ему значение f(x).

Если аналитический вид уравнения известен, то первая задача решается путем анализа вида функции f(x). Например, в уравнении

х не может принимать значения, равные или меньше -3, т.к. логарифм нуля и отрицательных чисел не существует.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)

Определение области нахождения корней нелинейного уравнения

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;. ∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.

    Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.

    Рис. Структограмма для метода

      Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c) ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.

    F(a)∙F(c) ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x0)∙F»(x0)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.

    Рис. Структограмма для

  1. Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.
  2. Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0), второе — x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)| ε

    Рис. Структограмма для метода итераций

    Контрольное задание. Лабораторная работа 4.

    Решение нелинейных уравнений.

    Задание. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.

    Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице.

    Решение нелинейных уравнений

    Содержание

    · Решение нелинейных уравнений

    Отделение корней

    Уточнение корней до заданной точности

    Решение нелинейных уравнений

    Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD, в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

    Дано алгебраическое уравнение

    Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

    Чтобы решить задачу предварительной локализацией корней, в самых простых случаях можно использовать графическое представление f(x).

    Понятно, что в случае многомерных систем такой способ практически неприменим. Если требуется исследовать определенную область определения переменных уравнения на наличие корней, определив их примерное положение, то обычно применяют весьма расточительный способ, называемый сканированием. Оно состоит в последовательном поиске корня, начиная из множества подобных точек, покрывающих расчетную область.

    Пример организации упрощенного варианта сканирования по одной переменной приведен на рисунке 5.6. График функции, корни которой подлежат определению, показан в его верхней части. Затем осуществляется решение уравнения при помощи функции root, для нескольких последовательно расположенных узлов. Результат выдается в последней строке листинга в виде таблицы, из которой видно, что на рассматриваемом интервале уравнение имеет три корня.

    Решение нелинейных уравнений

    (Уточнение корней до заданной точности)

    Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных и многие другие.

    Функция root.В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения введена функция root, которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. root(f(x),x) или root(f(x),x,a,b), где f(x)-имя функции или арифметическое выражение, х-скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, a,b-границы интервала локализации корня

    Пример (В MathCAD)

    Решить уравнение с точностью

    1. Сначала вводиться функция , соответствующая левой части уравнения

    2. Задается точность

    3. Графически находится приближенное решение уравнения (можно использовать трассировку)

    4. При помощи функции выполняется нахождение решения уравнения с заданной точностью

    5. Выполняется проверка найденного решения

    Функция polyroots.Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка n (не выше 5) рекомендуется использовать функциюpolyroots. Обращение к этой функции имеет вид polyroots(v),где v-вектор, состоящий из n+1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

    Пример (В MathCAD)

    Решить уравнение

    Блок Given.При уточнение корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительные блок Given, имеющий следующую структуру:

    (Вызов функции Find или Minerr)

    Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно. Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

    Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find(х), где х-переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr(х), которая возвращает приближенное значение корня.

    Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find(х) и в появившемся контекстном меню выбрать подходящий алгоритм.

    Если заданно уравнение f(x)=0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given-Find:

    1. Задать начальное приближение

    2. Ввести служебное слово

    3. Записать уравнение, используя знак жирное равно

    4. Написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

    5. В результате после знака равно выведется найденный корень

    Решить уравнение


    источники:

    http://toehelp.ru/theory/informat/lecture12.html

    http://megapredmet.ru/1-59222.html

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут